preobrazovanie_grafikov

1.

Построение
графиков функций
путем
преобразования
1

2.

Цели урока:
Повторить способы преобразования
графиков функций.
Проверить знания учащихся.
2

3.

Преобразования:
1. y = f(x – a)
2. y = f(x) + b
3. y = - f(x)
4. y = f(-x)
5. y = kf(x), где k>0
6. y = f(kx), где k>0
7. y = |f(x)|
8. y = f(|x|)
3

4.

Запишите уравнение параболы с координатами вершины ( x0;y0)
Y
10
9
8
7
6
5
y=x2 4
y
3 0
2
1
y ( x x0 )2 y0
X
0
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
5 6 7 8 9 10
-1 1 2 3 4 x
0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
4

5.

1. Параллельный перенос (сдвиг).
Рассмотрим параллельный перенос
вдоль оси абсцисс. Пусть дан график
функции y = f(x). Как по отношению к
нему будет расположен график
функции y = f(x – a), a>0 ?
5

6.

График функции y = f (x - a), a > 0, получается из
графика функции y = f(x) сдвигом (переносом)
вдоль оси Ох на а единиц вправо.
y=f(x)
y=f(x - 2)
(a = 2)
6

7.

Ясно, что если а<0, то график функции y = f (x - a)
получается из графика функции y = f(x) сдвигом
(переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево.
y=f(x+1)
(a = -1)
y=f(x)
7

8.

Пример 1. График функции y = (x + 4)2 получается из
графика функции y = x2 сдвигом (переносом) вдоль
оси Ох на 4 единицы влево.
y=(x+4)2
y=x22
y=x
8

9.

Пример 2. График функции y x 2
получается
из графика функции y x сдвигом (переносом)
вдоль оси Ох на 2 единицы вправо.
yy xx
y x 2
9

10.

Рассмотрим теперь параллельный
перенос вдоль оси ординат. В этом
случае график функции y = f(x) + b
получается из графика функции y=f(x)
при b > 0 смещением на b единиц
вверх, а при b < 0 – на |b| единиц вниз.
10

11.

Пример 3. Чтобы построить график функции y=3x - 1,
сначала строим график функции y =3x, а затем
сдвигаем его вниз на единицу.
y =3x
y=3x - 1
11

12.

Пример 4. Чтобы построить график функции y
сначала строим график функции
сдвигаем его вверх на единицу.
y
y
y
2
3x
2
1 ,
3x
, а затем
2
1
3x
2
3x
Тест
12

13.

Вопрос 1.
Тест
График функции (зеленый) получен из графика функции y=x2 с помощью
параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.
Y
10
9
8
7
6
2
5
y=x
4
3
2
X
1
-10 12 3 4 56 7 8910
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
2
y=(x+1)
+4
1.
2. y=(x-1)2-4
3. y=(x-1)2+4
4. y=(x+1)2+4
13

14.

Вопрос 2.
График функции (зеленый) получен из графика функции y=x3 с помощью
параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу.
Y
10
9
8
7
6
5
y=x3
4
3
2
X
1
-10 12 3 4 56 7 8910
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1. y=(x-6)3+2
2. y=(x-6)3-2
3. y=(x+6)3-2
4. y=(x+6)3+2
14

15.

Вопрос 3.
График функции получен из данного с помощью параллельного
переноса и симметричного отображения относительно прямой Ох.
Напишите соответствующую формулу.
y=x2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Y
0
-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
1.
y ( x 4) 2 4
2. y ( x 4) 4
2
X
3. y ( x 4) 4
2
4. y ( x 4) 4
2
15

16.

2. Деформация (растяжение и сжатие) графика.
График функции
у = f(ω·x), ω > 0 , получается
из графика функции у = f(x), «сжатием» к оси у в
1
ω раз при ω > 1 и «растяжением» от оси у в
раз при 0 < ω < 1. Показать
График функции у = k·f(x), k > 0 , получается из
графика функции у = f(x), «растяжением» от оси
х в k раз при k > 1 и «сжатием» к оси х в раз при
0 < k <1. Показать
Замечание.
16

17.

Пример 5. График функции y =sin 2x получается из
графика функций y = sin x «сжатием» к оси у в 2 раза.
4
2
y=sin x
-1 0
-8
-6
-4
-2
2
-2
4
6
8
y=sin 2x
-4
17

18.

Пример 6. График функции y sin 1 x получается из
2
графика функции y = sin x 4«растяжением» от оси у в 2
раза.
2
y sin x
-6
-4
-2
2
1
y sin x
2
4
6
-2
-4
18

19.

Пример 7. График функции y = 2·f(x) получается из
графика функции y = f(x) «растяжением» от оси х в 2
раза.
y = 2·f(x)
y = f(x)
19

20.

Пример 8. График функции y 1 f ( x) получается из
2
графика функции y = f(x) «сжатием» к оси х в 2 раза .
y f (x)
y
1
f ( x)
2
20

21.

3. Отражение.
График функции y = - f(x) получается зеркальным отражением
графика функции y = f(x) относительно оси х.
у
y = f(x)
х
y = -f(x)
21

22.

График функции y = f(-x) получается
зеркальным отражением графика функции
y = f(x) относительно оси у.
y = f(-x)
у
y = f(x)
х
22

23.

График функции y=|f(x)| получается из графика функции y= f(x)
следующим образом:
а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения;
б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично
относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет.
y=|f(x)|
y = f (x)
23

24.

y= f (|x|);
y=f(| x |) – четная функция, ее график получится отражением
ветви при x ≥ 0 графика функции y = f(x) симметрично
относительно оси Оу. Ветвь графика y = f(x) при х < 0
пропадает.
у = f(| x |)
y = f (x)
24

25. Замечание.

Нетрудно показать, что если у = f(x) − периодическая
функция с периодом Т, то функция у = f(ω·x), ω > 0,
является периодической с периодом T . В самом деле, так
как функция f(x) имеет период Т, то при любом х
выполняется равенство f(x + T) = f(x).
Положим
φ(x)=f(ω·x) ; тогда для любого х получим
T
T
x f x f ( x T ) f ( x) ( x)
и, следовательно, функция φ(x) имеет период T
2
.
Например, функция y = sin2x имеет период
, а
2
1
2
функция y sin x − период
4 .
1
2
2
25

26.

Аверкина Татьяна Петровна,
учитель математики и информатики МОУ
«Тархановская средняя школа»
Ичалковского района РМ.
Список использованной литературы:
1. Бахтина Т. П. «Таблетки» и «компрессы» при построении графиков. //
Математика в школе. 2000. № 8.
2. Игудисман О. С. Математика на устном экзамене. Пособие для
поступающих в вузы с повышенными требованиями по математике. ─
М: «Московский Лицей», 1997.
3. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. ─ М: ШколаПресс, 1997. - 384с. (Cерия «ШАНС» — «Школа Абитуриента: Научись
Сам»).
26