Матрицы и определители (часть 1)

1. Лекция 4 Матрицы и определители (ч1)

2. Матрица (Matrix)

Опр. Матрицей размерности m на n называется
прямоугольная таблица чисел
a11 a12
a
a
21
22
A aij
m n
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
Обозначения: А – матрица, aij - элемент матрицы,
i -номер строки, в которой расположен данный
элемент, j -номер столбца; m – число строк
матрицы, n – число ее столбцов.

3.

Опр. Матрица называется квадратной (square
matrix), если m = n. Число n в этом случае
называют порядком квадратной матрицы.
main diagonal
antidiagonal
1 2
5
0
4 7 13
2 0 7
1 2 22

4.

Опр. Равные матрицы А и В (одинаковых
размерностей)
A B aij bij i 1, m, j 1, n
Опр. Матрицу В называют транспонированной
(transposed) матрицей А, а переход от А к В
транспонированием, если bij a ji .
а11 a12
a
a
21
22
A
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11
a
12
T
B A
...
a1n
a21
a22
...
a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

5. Некоторые виды матриц

Диагональная
матрица
(Diagonal matrix)
Единичная
матрица
(Identity matrix)
a11 0
0 a
22
A
... ...
0
0
1
0
E
...
0
... 0
... 0
... ...
... ann
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1

6. Некоторые виды матриц

Если aij = aji , то матрица называется
симметрической (symmetric M)
2 1 5
1 3 6
5 6 4
Нулевая матрица (zero M): aij = 0, ∀i, j:
0 0 ... 0
O ... ... ... ... .
0 0 ... 0

7. Некоторые виды матриц

Вектор - строкой (row) называется матрица,
состоящая из одной строки:
R a11 a12
a13 ... a1m
Вектор - столбцом (column) называется
матрица, состоящая из одного столбца:
a11
a
T
21
C
a11 a21 ... an1
...
a n1

8. Некоторые виды матриц

Верхней (нижней) треугольной матрицей
(upper (lower) triangular M) называется
квадратная матрица, все элементы которой ниже
(выше) главной диагонали равны нулю:
1
0
0
0
3 7 2
2 5 3
0 4 5
0 0 8
aij 0 i j.

9. Некоторые виды матриц

Ступенчатая матрица (row echelon form) - это
матрица вида:

10. Операции над матрицами

Опр. Умножение матрицы на число
B A bij aij , R.
Опр. Сложение матриц. Операция сложения
определена только для матриц одинаковых
размерностей:
C A B cij aij bij .

11. Операции над матрицами

Опр. Линейной комбинацией матриц A и B
называется выражение вида:
C A B cij aij bij .
где α и β - числовые коэффициенты.
C 3 A 5 B,
1 2
0 3
если A
.
, B
1 0
2 1
П. Найти значение выражения

12.

1 2
0 3
3 A 5B 3
5
1 0
2 1
3 6 0 15
3 0 10 5
3 21
.
7 5

13.

Опр. Произведением матрицы А размерности m х p
и матрицы В размерности p х n называется
матрица С размерности m х n, каждый элемент
которой определяется формулой:
p
cij aik bkj , i 1,..., m, j 1,..., n.
k 1
Элемент
cij
представляет
собой
сумму
произведений элементов i-й cтроки матрицы А на
соответствующие элементы j-го столбца матрицы
В.

14.

П. Перемножить матрицы А и В
2 1
3 1 5
A
, B
4 5
2 1 4
c11 c12 c13
aik 2 х 2 bkj
cij 2 х 3
2 х3
c21 c22 c23
c11 2 3 ( 1) ( 2) 8; c12 2 1 ( 1) 1 1 ...
... c23 4 ( 5) 5 4 0.
8 1 14
.
Ответ: C
0
2 9

15.

Упр. Перемножить матрицы А и В
2
5
A 1 ;
1
4
Ответ:
B 3 4 5 0 1 .

16.

Свойства операций над матрицами
1. А+В=В+А
7. А·В≠В·А
2. А+(В+С)=(А+В)+С 8. А·(В·С)= (А·В)·С
9. А·(В+С)= А·В+А·С
3. А+O=А
(А+В)·С= А·С+В·С
4. (α·β)·А= α·(β·А)
10. А·Е= Е·А=А
5. (α+β)·А= α·А+β·А
11. (А·B)T=BTAT
6. (А+В)·α=α·А+α·В
Упр. Доказать три любых свойства

17.

Определители матриц
Опр. Определителем (determinant) квадратной
матрицы А второго порядка называется число
det A A
a11
a21
a12 def
a11a22 a12 a21
a22

18.

Определители матриц
Опр. Определителем квадратной матрицы A
третьего порядка называется число
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a31
a32
a33
a11a22 a33 a13a21a32 a12 a23a31
a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 .

19.

Правило треугольников
Правило Саррюса

20.

П. Вычислить определитель
1 2 3
2
1 3 .
0
1 2
По правилу треугольников:
1 1 2 2 3 0 2 1 3
3 1 0 2 2 2 3 1 1 19

21.

По правилу Саррюса: