Призма и ее свойства

1.

ГОУ СПО «Димитровградский технический колледж»
Тема: “Призма и ее свойства”
Автор: Тихонов Никита Евгеньевич
Руководитель: Кузьмина В. В.
2007 г.

2. Содержание

Историческая справка
Призма и ее свойства
Решение задач
Задачи для самостоятельной работы
Литература

3.

Еще в древности существовали два пути
определения геометрических понятий.
Первый вел от фигур высшего порядка к
фигурам низшего. Такой точки зрения
придерживался, в частности, Евклид,
определяющий поверхность как границу
тела, линию – как границу поверхности,
концы же линии – как точки.

4.

Второй путь ведет, наоборот, от фигур
низшего измерения к фигурам высшего:
движением точки образуется линия,
аналогично из линий составляется
поверхность и т. д.
Одним из первых, который соединил обе эти
точки зрения, был Герон Александрийский,
писавший, что тело ограничивается
поверхностью и вместе с этим может
быть рассмотрено как образованное
движением поверхности.

5.

В появившихся позже на протяжении
веков учебниках геометрии
принималась за основу то одна, то
другая, а иногда и обе вместе точки
зрения.

6.

Евклид употребляет термин «плоскость»
как в широком смысле (Рассматривая ее
неограниченно продолженной во все
направления), так и в смысле конечной,
ограниченной ее части, в частности грани,
аналогично применению им термина
«прямая» ( в широком смысле бесконечная прямая и в узком – отрезок).

7.

В XVIII в. Тейлор дал такое
определение призмы: это
многогранник, у которого все грани,
кроме двух, параллельны одной
прямой.

8.

В настоящее время геометрия тесно
переплетается со многими другими
разделами математики. Одним из
источников развития и образования
новых понятий в геометрии, как и в
других областях математики,
являются современные задачи
естествознания, физики и техники.

9.

Термин “призма”
греческого
происхождения и
буквально означает
“отпиленное”

10. Призма

Призма – это тело,
ограниченное
многогранной
поверхностью, две
грани которой n –
угольники, а
остальные n –
параллелограммы.
А1
А
С1
F1
В1
С
F
В

11.

Рассмотрим два равных
многоугольника А1 А2 ... Аn
и B1 B2 ...Bn ,
расположенных в
параллельных
плоскостях
и
так, что отрезки
А 1 В 1 , А 2 В 2 , ..., А n B n
, соединяющие
соответственные
вершины
многоугольников,
параллельны (рис. 1).
a
b
рис.1

12.

Каждый из n четырехугольников
А 1 А 2 В 2 В 1 , А 2 А 3 В 3 В 2 ,..., А n А 1 В 1 В n
является параллелограммов, так как имеет попарно
параллельные противоположные стороны.
Например, в четырехугольнике А1 А2 В2 В1 стороны
А1 В1 и А2 В2 параллельны по условию, а стороны
А1 А2и В1 В2 - по свойству параллельных
плоскостей, пересеченных третьей
плоскостью (рис. 2).
( рис.2)

13.

Многоугольники А1 А2 ... Аn и
B1 B2 ...Bn
называются основаниями, а параллелограммы –
боковыми гранями. Отрезки А1 В1 , А2 В2 ,..., Аn Bn
называются боковыми ребрами призмы.
Призму с основаниями А1 А2 ... Аn и B1 B2 ...Bn
n - угольной призмой.
( рис. 3)

14.

Призма называется
правильной, если ее
основания – правильные
многоугольники. У
такой призмы все
боковые грани – равные
прямоугольники. На
рисунке 4 изображена
правильная
шестиугольная призма.
( рис. 4 )

15.

Поверхность призмы, таким образом,
состоит из двух равных
многоугольников (оснований) и
параллелограммов (боковых граней).
Различают призмы треугольные,
четырехугольные, пятиугольные и т.д.,
в зависимости от числа вершин основания.

16.

Поверхность многогранника состоит
из конечного числа
многоугольников. Площадь
поверхности многогранника есть
сумма площадей всех его граней.
Площадь поверхности призм ( S пр )
равна сумме площадей ее боковых
граней (площади боковой
поверхности) ( S бок ) и площадей
двух оснований (2Sосн) - равных
многоугольников:
= +
Sпр Sбок 2Sосн

17. Площадь поверхности призмы

В
1
Теорема. Площадь
поверхности призмы равна
удвоенной площади
основания, сложенной с
произведением длины
бокового ребра на
периметр
перпендикулярного
сечения этой призмы.
С
1
А
Е
1
К
1
1
F
1
А
В
С
Е
К
F

18.

Боковые грани прямой призмы
– прямоугольники, основания
которых – стороны призмы, а
высоты равны высоте h
призмы.
Площадь боковой поверхности
призмы равна сумме
произведений сторон
основания на высоту h. Вынося
множитель h за скобки,
получим в скобках сумму
сторон основания призмы, т.е.
его периметр Р.
Итак, Sбок=Рh.
Теорема доказана.

19. Задача на нахождение Sполн призмы.

В1
Вычислить площадь полной
поверхности, если высота
равна 12см, сторон основания
равна 7см.
Дано: ABCA1B1C1 правильная треугольная
призма; высота; Н=12см;
АС=7см
Найти: Sполн.
А1
С1
В
А
С

20. Решение:

S полн = 2 S осн + S бок
S осн
a2 3
=
4
Sбок = Росн Н
14
3
= 5,95
S=
4
S бок = 168 ( см )
2
Ответ: S
полн
2
(cм )
=11,9 +168 =179,9(см2 )
S
полн
=11,9 +168 =179,9(см2 )

21.

Дано:
ABCA1 B1C1 правильная призма,
АВ =8 см, АА1=6 см
Найти: S A B C - ?
1 1
Решение: 1) Т.к. призма
правильная, то A1C = B1C
A1C = AA12 + FC 2 = 36 + 64 = 10см
1
A 1 B 1 CK
2
CK = A1C 2 - A1K = 100 - 16 = 84 = 2 21см
1
Отсюда: S A1 B1C = 8 2 21cм 2
2
2) S A1 B 1 C =
( рис. 5)

22.

Дано: ABCA1 B1C1 - призма
DABC - правильный
Доказать: а) BC ^ AA1 б) CC BB
1
1
- прямоугольник
Доказательство:
1) Т.к. A1 AC = A1 AB , то АН биссектриса САВ
DАВС - равносторонний, значит по
свойству биссектрисы АН ^ ВС
АН = пр( АВС ) АА1 и АН ^ ВС , значит
АА1 ^ СВ
( рис. 6)

23.

АА1 || СС1 || ВВ1 (определение призмы)
АА1 ^ СВ СС1 ^ CВ
и
ВВ1 ^ СВ1 ,
значит СС1 ВВ1 - прямоугольник

24.

Докажите, что:
а) у прямой призмы все боковые грани –
прямоугольники;
б) у правильной призмы все боковые грани –
равные прямоугольники.
Сторона правильной треугольной призмы равна 8
см, боковое ребро равно 6 см. Найдете площадь
сечения, проходящего через сторону верхнего
основания и противолежащую вершину нижнего
основания.

25.

Основаниями прямой призмы является
равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9
см и высотой 8 см. Найдите двухгранные углы при
боковых ребрах призмы.
Диагональ правильной четырехугольной призмы
образует с плоскостью боковой грани угол 30`.
Найдите угол между диагональю и плоскостью
основания.

26.

Дадаян А. А. Математика: Учебник - М.:
ИНФРА - М, 2006
Геометрия 10 - 11; Учеб. Для
общеобразовательных учреждений под ред.
А. Н. Тихонова - М.: Просвещение, 2001
Internet ресурсы:
www.5ballov.ru
www.4students.ru