Двойной интеграл: основные понятия, геометрический смысл, свойства и вычисление в декартовых координатах

1. Двойной интеграл

Основные понятия
Геометрический смысл двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах
1/17

2. Основные понятия

2/17
Основные понятия
Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная
функция z = f(x, y).
y
Разобьем область D на n
«элементарных областей» Di,
площади которых обозначим через
ΔSi, а диаметры (наибольшее
расстояние между точками области)
через di.
Di
В каждой области Di выберем
произвольную точку Mi(xi; yi).
D
Mi(xi; yi).
Составим сумму вида:
0
x
n
f ( x , y ) S f ( x , y ) S f ( x , y ) S f ( x , y ) S
i 1
i
i
i
1
1
1
2
2
2
n
n
n

3. Основные понятия

3/17
Основные понятия
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, y) в
области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к
бесконечности, таким образом, что
max d i 0
Если этот предел существует и не зависит от способа
разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то
он называется двойным интегралом от функции f(x; y) по
области D и обозначается:
f ( x ; y )dxdy
D
f ( x ; y )dS
D

4. Основные понятия

4/17
Основные понятия
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством:
n
f ( x; y ) dxdy lim f ( x ; y ) S
D
n
max d i 0 i 1
i
i
i
Функция f(x; y) называется интегрируемой в области D,
D – область интегрирования, x; y – переменные интегрирования,
dxdy (или dS) – элемент площади.
Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот
вопрос дает ответ теорема:
Теорема
Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, то
она интегрируема в этой области (достаточное условие
интегрируемости функций).

5. Геометрический смысл двойного интеграла

Геометрический смысл двойного
z = f(x; y)
интеграла
5/17
Рассмотрим тело, ограниченное сверху
поверхностью z = f(x; y),
z
снизу замкнутой областью D на плоскости
XOY ,
с боков цилиндрической
поверхностью, образующая которой
параллельна оси OZ, а
направляющей служит граница
области D.
0
y
D
x
Такое тело называют цилиндрическим. Найдем его объем.

6. Геометрический смысл двойного интеграла

f(xi ; yi)
6/17
Разобьем область D на n областей
Di, площади которых равны ΔSi
z
Рассмотрим цилиндрические столбики с
основанием Di, ограниченные сверху
кусками поверхности z = f(x; y)
В своей совокупности они составляют тело
V
Обозначив объем столбика с основанием
Di, через ΔVi, получим:
0
y
n
V Vi
i 1
Di
x
Возьмем на каждой площадке Di точку Mi(xi; yi)
и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же
основанием Di и высотой zi = f(xi; yi).
Mi(xi; yi).

7. Геометрический смысл двойного интеграла

7/17
Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi
цилиндрического столбика
Vi f ( xi ; y i ) Si
Тогда получаем: V
n
V f ( x ; y ) S
i 1
i
i
i
Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше
размеры элементарных областей, поэтому:
V lim
n
f ( x ; y ) S f ( x ; y )dxdy
n
max d i 0 i 1
i
i
i
D
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной
функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит
геометрический смысл двойного интеграла.
i

8. Свойства двойного интеграла

8/17
Свойства двойного интеграла
1
c f ( x; y )dxdy c f ( x; y )dxdy
D
2
D
f ( x; y ) f ( x; y ) dx dy f ( x; y ) dx dy f ( x; y ) dx dy
1
2
1
D
2
D
D
y
3
Если область D разбить на две
области D1 и D2 не имеющих общих
точек, то
D1
0
f ( x ; y )dxdy f ( x ; y )dxdy f ( x ; y )dxdy
D
4
dS S
D
D1
D2
D2
x

9. Свойства двойного интеграла

9/17
Свойства двойного интеграла
5
Если в области D имеет место неравенство:
f ( x; y ) 0
f ( x ; y )dxdy 0
D
6
Если в области D функции f(x; y) и g(x; y) удовлетворяют
неравенству:
f ( x ; y ) g( x ; y )
f ( x; y )dxdy g( x; y )dxdy
D
7
D
Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S то:
mS f ( x ; y )dxdy MS
D
где m и M соответственно наименьшее и наибольшее
значение подынтегральной функции в области D.

10. Свойства двойного интеграла

8
10/17
Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D,
площадь которой S, то в этой области существует такая точка
(x0 ; y0), что
f ( x; y )dxdy f ( x ; y ) S
0
D
Величину
0
1
f ( x 0 ; y 0 ) f ( x ; y )dxdy
S D
называют средним значением функции f(x ; y) в области D.

11. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

11/17
Область D называется правильной в направлении оси ОY
ОX,
если любая прямая, параллельная оси ОY
ОX , пересекает границу
области не более чем в двух точках.
Правильная область
Неправильная область
y
y
D
D
0
x
0
x
Аналогично определяется область, правильная в направлении
оси OX.
Область, правильная, как в направлении оси OX, так в
направлении оси OY, называется просто правильной

12. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

12/17
Пусть область D ограничена прямыми x = a, x = b (a < b) и
кривыми y = φ1(x), y = φ2(x), причем функции φ1(x) и φ2(x)
непрерывны и таковы, что
1( x ) 2 ( x )
x a, b
y
y = φ22(x)
Таким образом задается область,
правильная в направлении оси OY.
D
0
f ( x; y )dxdy dx f ( x, y )dy
D
a
(1)
y = φ1(x)
b
x

13. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

b
2 ( x )
f ( x ; y )dxdy dx f ( x , y )dy
D
a
13/17
(1)
1( x )
Формула (1) представляет собой способ вычисления двойного
интеграла в декартовых координатах.
Правую часть формулы (1) называют двукратным (или
повторным) интегралом от функции f(x, y) по области D.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний
интеграл, считая x постоянным,
затем берем внешний интеграл, то есть результат первого
интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

14. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

14/17
Пусть область D ограничена прямыми y = c, y = d (c < d) и
кривыми x = ψ1(y), x = ψ2(y), причем функции ψ1(y) и ψ2(y)
непрерывны и таковы, что
1( y ) 2 ( y )
y c, d
y
x = ψ11(y)
d
Таким образом задается область,
правильная в направлении оси OX.
При вычислении внутреннего
интеграла считаем
y - const
f ( x; y )dxdy dy f ( x, y )dx
D
D
Ψ22(y)
(y)
x=ψ
c
0
x
(2)

15. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычислить
( x 2y ) dxdy
y
y 0;
2
D
y x 2;
D:
y 2 x
Воспользуемся формулой (2)
15/17
xy = x2 yy
1
yx = 22 -- xyy
D
1
00
( x 2y ) dxdy dy ( x 2y ) dx
D
2
2 y
x
dy
2yx
2
y
0
1
2
(2 y )2
y
постоянная
2y (2 y ) 2y y dy
2
2
0
1
x

16. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

16/17
3
2
y
y
2
2
2 2y
4 y 2y 2y dy
2
2
0
1
3
3y 2 3y
2
2
2y dy
2
2
0
1
y 3 3y 2 4y
2y
2
4
5
5
2
1
1 3 4
2 1.45
2 4 5
0

17. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Изменить порядок интегрирования
1
x
0
0
dx f ( x; y ) dy
Интеграл записан по формуле (1)
Выпишем уравнения линий,
ограничивающих область D:
y
x yy22
2
11
00
x 0; x 1; y 0; y x
Теперь запишем интеграл по формуле (2)
dy f ( x; y ) dx
17/17
1
2
x 1
x