Свойства и способы вычисления двойных интегралов. (Семинар 29)

1. Семинар 29

Двойные интегралы. Свойства
двойных интегралов. Способы
вычисления двойных
интегралов.

2.

Пусть f(x,y) – функция, ограниченная в некоторой замкнутой ограниченной
области D.
i - частичная область области D. i - площадь частичной области i
Pi ( xi , yi ) i , f ( xi , yi ) значение функции в точке Pi ( xi , yi )
n
Составим сумму
i 1
f ( x i , y i ) i (*)
Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D,
соответствующей данному разбиению области D на n – частичных
областей.
Определение
Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к
которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 наибольшего
диаметра частичных
областей
n
Запись lim n f ( xi , yi ) i f ( x, y )d
i 1
D

3.

«Двойной интеграл от функции f(x,y) по области D»
f ( x, y )d - выражение; f(x,y) – подынтегральная функция;
d - элемент площади; D – область интегрирования.
Свойства двойных интегралов
1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме
интегралов от слагаемых функций:
f ( x, y) ... f
1
n
( x, y) d f1 ( x, y)d ... f n ( x, y)d
D
D
D
2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за
символ двойного интеграла:
сf ( x, y)d с f ( x, y)d
D
D
3. Если область D разбита на две области D1 , D2 без общих внутренних
точек, то:
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d
D
D1
D2
4. Если во всех точках области D функция f ( x, y ) ( x, y ) , то:
f ( x, y)d ( x, y)d
D
D

4.

5. Значение двойного интеграла заключено между произведениями
наименьшего (m) и наибольшего (M) значений подынтегральной функции в
области D на площадь области интегрирования: mS f ( x, y)d MS , где S D
площадь области D.
6. Двойной интеграл равен произведению значения подынтегральной
функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области
интегрирования, то есть: f ( x, y)d f ( , )S , f ( , ) - среднее значение
D
функции f(x,y) в области D
При вычислении f ( x, y)d элемент d удобнее представлять в
D
следующем виде.
Область D в плоскости ОХУ разбивается на частичные области посредством
двух систем координатных линий: x=const, y=const. Эти прямые
соответственно параллельны ОХ и ОУ. Частичные области прямоугольники.
Площадь каждой частичной области не примыкающей к границе D , будет
равна произведению x y.

5.

Поэтому запишем
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
b
V f ( x, y)dxdy dx
D
a
(*)
y2 ( x )
x2 ( y )
d
f ( x, y)dy (**) V f ( x, y )dxdy
y1 ( x )
D
с
dy
f ( x, y )dx
(***)
x1 ( y )
Если область D – прямоугольник со сторонами параллельными осям
координат, то есть имеет вид, представленный на рисунке, то пределы
интегрирования – постоянные величины
b
d
d
b
a
c
c
a
f ( x, y)dxdy dx f ( x, y)dy dy f ( x, y)dx
D
Замена переменных в двойном интеграле
Полярные координаты
При вычислении определенных интегралов важную роль играет правило
замены переменной, согласно
которому
при соблюдении соответствующих
x
u
условий имеет место f ( x)dx f [ (u )] ' (u )du
2
2
x1
u1

6.

Обычно функция x (u ) монотонна; тогда она осуществляет
взаимнооднозначное соответствие между точками интервала [u1 , u 2 ] изменения
переменной u и точками интервала [ x1 , x2 ] изменения переменной х. Заменяя x (u )
Правило замены переменной в двойном интеграле достаточно сложное. Приведем
формулу замены.
При переходе в двойном интеграле от переменных x,y к новым переменным u,v:
x=x(u,v), y=y(u,v) (*) формула замены такова
( x, y )
f
(
x
,
y
)
dxdy
f
[
x
(
u
,
v
),
y
(
u
,
v
)]
dudv (**), где
D
*
(u, v)
D
x x
( x, y )
x y x y
u v
y y
(u, v)
u v v u
x dv
Есть функциональный определитель Якоби (Якобиан) составленный из
частных производных функций (*), то есть
( x, y )
d dxdy
dudv
(u, v)

7.

Старая область интегрирования D заменяется на новую область D* по
переменным u,v. Новое выражение для d называется элементом площади в
координатах u,v.
Применим формулу (**) к преобразованию с помощью полярных координат
(обозначения общепринятые)
x r cos , y r sin , r 0,0 2 ( )
( x, y) x y x y
cos r cos ( r sin ) sin r
Якобиан будет равен
(r , ) r r
Тогда
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd (***), где
D
D и – D*
D*
соответствующие друг другу области в плоскостях OXY и O1r (здесь r и
рассматриваются как декартовы координаты точки).

8.

Примеры с решениями
1. Вычислить x ln ydxdyесли D – прямоугольник 0 x 4,1 y e
D
4
x2
e
Решение. Имеем x ln ydxdy xdx ln ydy y ln y y 1 8(e e 1) 8
2 0
D
0
1
4
2
x2
1
x
e
2. Вычислить I dx (2 x y )dy
x2
x2
Решение. Имеем I dx (2 x y)dy 2 xy 1 y 2 2 x3 1 x 4 2 x 2 1 x 2 dx
2 x 1
2
2
1
x
1
2
2
2
2
1 5
1 3
1 4
x
x
x 0,9
2
10
2 1
3. Перейдя к полярным координатам вычислить
если D – I четверть круга x 2 y 2 a 2
Решение. Полагая x cos , y sin имеем
D
x y dxdy
2
2
D
x 2 y 2 dxdy
D
12 3 a
a3 2
a 3
cos sin d d d d 0 d d
30
30
6
0
0
2
2
2
2
2
a
2

9.

4. Вычислить
2
2
ln(
x
y
)dxdy,
где D –кольцо между окружностями
D
x y e , x y 2 e4
2
2
2
2
Решение. Перейдем к полярным координатам
ln( x
2
y 2 )dxdy
D
ln
2
2
e2
0
e
d d 2 ln d d 2 d ln d
D
2
e2
Взяв по частям интеграл, зависящий от получим2 1 2 ln 1 2 d e 2 (3e 2 1)
4 e
0 2
5. Вычислить интеграл ( x y )dxdyпо области D, ограниченной линиями
D
y=x и y x 2
Решение
а) Интегрируем сначала по у, затем по х
1
x
1
1
y2 x
3x 2
x4
x3 x 4 x5 1 3
3
D ( x y)dxdy 0 dx 2 ( x y)dy 0 [ xy 2 ] |x 2 dx 0 ( 2 x 2 )dx ( 2 4 10 ) |0 20
x
b) Интегрируем сначала по х, затем по у
5
y
1
1 2
1
2
2
x
y
3y
y 2 y 2 y3 1 3
y
D ( x y)dxdy 0 dy y ( x y)dx 0 [ 2 xy] |y dy 0 ( 2 y y 2 )dy ( 4 5 2 ) |0 20

10.

Примеры для самостоятельного решения
1. Вычислить y ln xdxdy
, если область D ограничена линиями xy 1, y x , x 2
D
2. Вычислить xdxdy
, если область D – треугольник с вершинами A(2;3),
D
B(7;2), C(4;5).
e
ln x
sin x
3. Изменить порядок интегрирования dx f ( x, y)dy, dx f ( x, y)dy
1
0
0
0
3
2
(
x
y
)
(
x
y
)
dxdy, если D – квадрат, ограниченный
4. Вычислить
D
прямыми x+y=1, x-y=1, x+y=3, x-y=-1
5. Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:
2
y
a) 1 2 dxdy, если область D – круг x 2 y 2 2
D
x
1
2
y
1
x
,
область
D
ограничена
полуокружностью
dxdy
D x 2 y 2 1
и осью ОХ.
x 2 y 2 dxdy , - область D ограничена окружностью x 2 y 2 2ax
с)
b)
D
d)
D
sin x 2 y 2
x2 y2
x2 y 2 2 / 9
dxdy если область D ограничена линиями: 2
x y2 2