Алгоритмы трендов 1

1. Алгоритмы трендов 1

1. Постановка задачи
2. Основные понятия
3. Метод средних квадратов
4. Метод наименьших квадратов

2. Постановка задачи

На машиностроительном предприятии
выпускается корпусные детали. В
соответствии с технологическим процессом
после обработки выполняется упрочнение,
для чего деталь помещается в специальную
камеру.. Время выдержки определяется
прочностью материала детали и задается
вручную.
Необходимо автоматизировать процесс
упрочнения с учетом расширения
номенклатуры выпускаемых деталей.
Технологическая карта упрочнения
Прочность,ед. 4
Время, мин.
5
10,2 6,7
6
7
8
9
4,8
3,6 2,7 2,1
10
1,7
Для автоматизации нужно определить закон управления T=f(P)

3. Основные понятия

• Апроксимацией называется функция, заменяющая исходную с
минимальным отклонением.
• Апроксимация, при которой приближение строится на заданном
дискретном пространстве точек называется точечной.
• Апроксимация, при которой приближение строится на
непрерывном множестве точек называется непрерывной или
интегральной.
Интерполяция – основной тип точечной
апроксимации.
Xi – узлы интерполяции
Глобальная интерполяция – строится для
всего интервала.
Кусочная (локальная) – строится для
отдельных частей.
Интерполирование применяется для
апроксимации функции между крайними
точками, а если применяется для
вычисления значений вне
рассматриваемого участка – называется
экстраполяцией

4. Метод неопределенных коэффициентов

• Метод неопределенных коэффициентов применяется для
нахождения интерполяционной функции с использованием
интерполяционного многочлена.
где, ai – неопределенные коэффициенты,
n-показатель степени (порядок полинома), обычно равен 1,2,3
Для нахождения коэффициентов составляется система линейных уравнений
в узлах интерполяции:
Определитель системы называется определителем Вандермонда, и если он
не равен нулю система имеет единственное решение. Коэффициенты полинома
находят методом средних или наименьших квадратов

5. Метод средних квадратов

Прочность,ед.
Время, мин.
4
10,2
5
6,7
6
4,8
7
3,6
8
2,7
9
2,1
10
1,7
Составим систему уравнений для полинома 3 степени
A 0 + A 1 4 + A 2 16
A 0 + A 1 5 + A 2 25
A 0 + A 1 6 + A 2 36
10,2 = e
_1
6,7 = e
_2
4,8 = e
_3
A0
A0
A0
A0
3,6 = e
_4
2,7 = e
_5
2,1 = e
_6
1,7 = e
_7
+ A 1 7 + A 2 49
+ A 1 8 + A 2 64
+ A 1 9 + A 2 81
+ A 1 10 + A 2 100
Условие
аппроксимации
min
i

6.

Сведем систем у до 3 уравнений, поскольку имеем 3 неизвестных
2A 0 + A 1 9 + A 2 41 = 16,9
2A 0 + A 1 13 + A 2 85 = 8,4
3A 0 + A 1 27 + A 2 245 = 6,5
Решив систему находим коэффициенты А
y = 26,168
5,2168x + 0,2811x 2

7. Метод наименьших квадратов

При точечном квадратичном аппроксимировании за меру отклонений
многочлена
m
Qm ( x) a0 a1 x ... am x
от данной функции на множестве точек принимают величину
n
S Qm ( x i ) f ( x i )
2
i 1
называемую квадратичным отклонением (способ наименьших
квадратов)., где s0=n+1
a 0 s 0 a1 s1 a 2 s 2 ... a m s m t 0
a 0 s1 a1 s 2 a 2 s 3 ... a m s m 1 t1
a 0 s 2 a1 s 3 a 2 s 4 ... a m s m 2 t 2
s x k x k ... x k
0
1
n
(k=0,1,2,…)
t x k y x k y ... x k y
k
0 0
1 1
n n
(k=0,1,2,…)
a 0 s m a1 s m 1 a 2 s m 2 ... a m s 2 m t m

8. Метод наименьших квадратов

x
0,78
1,56 2,34
3,12
3,81
y
2,50
1,20 1,12
2,25
4,28
y a0 a1 x a2 x
Метод наименьших квадратов
2
x0
x
x2
x3
x4
y
xy
x2y
1
x0
x02
x03
x04
y0
x0y0
x02y0
1
x1
x12
x13
x14
y1
x1y1
x12y1
1
x2
x22
x23
x24
y2
x2y2
x22y2
1
x3
x32
x33
x34
y3
x3y3
x32y3
1
x4
x42
x43
x44
y4
x4y4
x42y4
s0
s1
s2
s3
s4
t0
t1
t2
x0
x
x2
x3
x4
y
xy
x2y
1
0,78
0,608
0,475
0,370
2,50
1,950
1,521
1
1,56
2,434
3,796
5,922
1, 20
1,872
2,920
1
2,34
5,476
12,813
29,982
1,12
2,621
6,133
1
3,12
9,734
30,371
94,759
2,25
7,020
21,902
1
3,81
14,516
55,306
210,717
4,28
16,307
62,128
5
11,61
32,768
102,761
341,750
11,35
29,770
94,604

9.

x0
x
x2
x3
x4
y
xy
x2y
1
0,78
0,608
0,475
0,370
2,50
1,950
1,521
1
1,56
2,434
3,796
5,922
1, 20
1,872
2,920
1
2,34
5,476
12,813
29,982
1,12
2,621
6,133
1
3,12
9,734
30,371
94,759
2,25
7,020
21,902
1
3,81
14,516
55,306
210,717
4,28
16,307
62,128
5
11,61
32,768
102,761
341,750
11,35
29,770
94,604
Отсюда система для определения коэффициентов a0, a1, a2
имеет вид:
5a0 11,61a1 32,768a2 11,35
11,61a0 32,768a1 102,761a2 29,770
32,768a0 102,761a1 341,750a2 94,604
Решив систему, будем иметь: a0=5,045; a1=-4,043; a2=1,009.
:
y=5,045-4,043x+1,009x^2.