Понятие случайной величины и её функции распределения вероятностей

1. § 15. Понятие случайной величины и её функции распределения вероятностей

• Определение. Случайной величиной Х называется действительная
числовая функция Х = Х(ω), определенная на пространстве
элементарных событий и такая, что для любого х ℝ множество тех
ω, для которых Х(ω) < x, принадлежит алгебре событий данного
эксперимента.
Случайные величины
Дискретные (ДСВ)
Непрерывные (НСВ)
• Определение. Функцией распределения вероятностей случайной
величины Х называется функция F(x)= P(X < x).

2.

Пример1a. Игральная кость подбрасывается 1 раз. Если выпадает четное число, игрок
выигрывает 1 руб., если нечетное – проигрывает 1 руб. Какова вероятность того, что
игрок выиграет?

3.

Свойства функции распределения:
1. 0 FХ(x) 1
x R
2. FХ (x1) FХ (x2)
x1 x2
(функция распределения – неубывающая функция)
FХ (x2) = P (X < x2) = P(X < x1) + P(x1 X x2 )
P(x1 X x2) 0 => P(X < x2) P(X < x1)
Следствие: P(x1 X < x2) = FХ (x2) – FХ (x1)
3. FХ (- ) = 0, FХ (+ ) = 1
4. Функция распределения FХ(x) непрерывна слева.

4. §16. Дискретные случайные величины (ДСВ)

Определение. Случайная величина X называется дискретной
случайной величиной, если все её значения можно пронумеровать, т.е.
X= {xi}, (i=1, 2, 3…)
Определение. Законом распределения дискретной случайной
величины (распределением) называется соответствие между ее
возможными значениями и их вероятностями, то есть совокупность
{xi, pi}, (i=1, 2, 3…)
Закон распределения ДСВ может быть задан:
а) в виде таблицы - ряда распределения ДСВ;
б) в виде формулы;
в) названием распределения.

5.

а) закон распределения может быть задан в виде ряда распределения ДСВ
• Определение. Рядом распределения ДСВ называется таблица, первая
строка которой содержит все возможные значения ДСВ, расположенные
в порядке возрастания, а вторая строка соответствующие этим значениям
вероятности.
∑pi=1

6.

Пример 1. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, извлекается 3
шара. Написать закон распределения (ряд распределения) для числа белых
шаров среди извлеченных.
X= {число белых шаров среди извлеченных}
xi
0
1
2
3
pi
1/6
1/2
3/10
1/30
∑pi=1

7.

8.

9.

б) закон распределения может быть задан в виде формулы
Пример 2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, извлекается 3
шара по схеме выборки с возвращением. Записать закон распределения
для числа Х белых шаров среди извлеченных.
X= {число белых шаров среди извлеченных}
X= m, где m =0, 1, 2, 3.
P(X=m) =P3 (m)=