Арксинус: уравнение sin x = a и определение арксинуса

1. Уравнение sin x = α

2. АРКСИНУС ЧИСЛА

Определение. Арксинусом числа a 1;1 называется
такое число ;
синус которого равен а
,
2 2
sin arcsin a a,
arcsin a
2
1 a 1
2
,

3. Арксинус sin t = а

у
π − arcsin a
arcsin a
а
π−t
t
π
0
t = arcsin a
t = π − arcsin a
0 x

4.

Уравнение sin x=a
sin x a; a 1.
y 1
a
0
1
x
x 2 n;
x 2 n;
n Z.
arcsin a

5. Определение арксинуса

Арксинусом числа а называется
такой угол из промежутка [− 0,5π; 0,5π],
синус которого равен а, где lаl ≤ 1.
arcsin a = t , sin t = a
где t [− 0,5π; 0,5π]
а [− 1; 1]
sin(arcsin a) = a, а [− 1; 1]
arcsin(sin t) = t, t [− 0,5π; 0,5π]

6. АРКСИНУС ЧИСЛА

• Например
2
arcsin
;
2
4
arcsin 0 0;
3
arcsin
;
3
2
2
т.к.
; sin
.
2 4 2
4
2
т.к.
т.к.
2
0
2
; sin 0 0.
3
; sin
.
2 3 2
3 2

7. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

y 1
а
arcsin a
0
1
x
-а
arcsin a arcsin a
arcsin a

8. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Например
2
2
1
1
2 arcsin 3 arcsin
2 arcsin
2
2
2
2
3
13
3 2
4
6
4
3
12
1
3
2.
2 arcsin 1 5 arcsin 0
arcsin
2
2
1. 3 arcsin
1
3
arcsin
2 5 0
2
2
2
1
7
2 3
6
6

9. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

cos 1 sin
2
arcsin a
arcsin a ;
2 2
cos arcsin a 1 sin arcsin a 1 a
2
2

10. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

sin(arcsina) = a
• Например
3
3
arcsin
3. sin
2
2
6 6
4. sin arcsin
7 7
1
3
5. cos arcsin cos
2
2
6
2
2
2
4
6. cos arcsin 1 1
25
5
5
21
25
21
5
cos(arcsin a) =
1 а2

11.

АРКСИНУС ЧИСЛА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
sin arcsin a a, arcsin a ; , a 1;1
2 2
arcsin a arcsin a
cos arcsin a 1 a
2
arcsin sin , ;
2 2

12. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
7. tg 5 arcsin 2 tg tg tg 1
4
4
4
2
5
1
cos arcsin
1
3
ctg
arcsin
8.
1
3
sin arcsin
3
8
3 2 2
9
1
1
9
1
3

13. АРКСИНУС ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Например
9. arcsin sin
5
5
arcsin sin , ;
2 2
3 arcsin sin 2
10. arcsin sin
5
5
2
2
arcsin sin
5
5

14. Уравнение sinx=a

sin x a, a 1
y1
arcsin a
arcsin a
a
0
x arcsin a 2 n
x arcsin a 2 n, n Z
1
x
x 1 arcsin a n, n Z
n
sin x 0
sin x 1
x n, n Z
x
2
2 n, n Z
sin x 1
x
2
2 n, n Z

15. Уравнение sinx=a

x 1 arcsin a n, n Z
n
Пусть n-чётное число, n=2k, тогда
x 1 arcsin a 2 n arcsin a 2 n, n Z
2n
Пусть n-нечётное число, n=2k+1, тогда
x 1
2 n 1
Итак
arcsin a 2n 1 arcsin a 2 n, n Z
x arcsin a 2 n
x arcsin a 2 n, n Z

16. Уравнение sinx=a

1
sin 2 x
2
1
2 x arcsin 2 2 n
2 x arcsin 1 2 n
2
x 12 n
, n Z.
x 5 n
12
2 x 6 2 n
; 2 x 2 n ;
6
2
x
2 n
6
2 x 5 2 n ;
6
или
1
2 x 1 n arcsin n;
2
2 x 1
x 1
n
n
6
n
12
;
n
2
, n Z.

17. Уравнение sinx=a

1
sin x
4
2
1
x 4 arcsin 2 2 k
;
1
x
arcsin
2 k
4
2
x 4 4 2 k
;
x 2 k
4
4
1
x
arcsin
2 k
4
2
;
x arcsin 1 2 k
4
2
x 2 k
3
x 2 k , k Z .
2