Основные методы решения логарифмических уравнений

1. Три основных метода решения логарифмических уравнений: функционально-графический, метод потенцирования, метод введения новой

2. Основные методы решений логарифмических уравнений

3. Определение

Логарифмом положительного числа b по
основанию a, где a>0, a 1 , называется
показатель степени, в которую надо
возвести a, чтобы получить b.

4. 1. Использование определения логарифма.

5. 2. Метод потенцирования.

Пример 2.
lg ( x – 9 ) = lg (4x + 3)
2
x – 9 = 4x + 3
x – 4x – 12 = 0
2
2
x 6
x 2
x= –2 - не входит в ОДЗ
Ответ: 6.
3
x 4
4 x 3 0 x 3
2
ОДЗ: x 9 0
x 3
x>3

6. 3. Введение новой переменной.

Пример 3.
log x – 2log x – 3 = 0
2
4
4
ОДЗ: x > 0
Пусть log x = t
t – 2t – 3 = 0
4
2
t 3
t 1
log 4 x 3
log 4 x 1
1
Ответ: 4 ; 64.
x 64
x 1
4

7. 4. Приведение логарифмов к одному основанию.

Формулы перехода:
log c b
1) log a b = log a
c
1
2) log a b = log a
b
Пример 4.
log 3 x – 6log x 3 = 1
ОДЗ: x > 0, x 1
log 3 x – log6 x = 1
3
Пусть log 3 x = t
t – 6t = 1
t2 – t – 6 = 0
t 2
t 3
log 3 x 2
log 3 x 3
1
Ответ: 9 ; 27.
1
x
9
x 27

8. 5. Метод логарифмирования.

Пример 5.
x log x = 64x
2
ОДЗ: x > 0
логарифмируем обе части уравнения по основанию 2
log 2 x log x = log 2 64x
log 2 x log 2 x = log 2 64x
log 22 x = log 2 64 + log 2 x
log 22 x – log 2 x – 6 = 0
2
Пусть log 2 x = t
t2– t – 6 = 0
t 2
t 3
1
Ответ: 4 ; 8.
log 2 x 2
log 2 x 3
1
x
4
x 8

9. 6.

Применение формулы
a logc b = b log c a
Пример 6.
9
log 3 lg x
= 2lg x + 3
x 0
ОДЗ: lg x 0
x 0
x 1
x>1
(lg x) log3 9 = 2lg x + 3
lg 2 x – 2lg x – 3 = 0
Пусть lg x = t
t 2 – 2t – 3 = 0
lg x 1
t 1
lg x 3
t 3
x 0,1
x 1000
x = 0,1- не входит в ОДЗ

10. Каждому уравнению поставьте в соответствие метод его решения

метод логарифмирования
решение по формуле
метод потенцирования
по определению логарифма
метод подстановки
13.03.2026
10

11. Функциональные методы решения логарифмических уравнений

13.03.2026
11

12. Использование области допустимых значений уравнения

13. Определение Областью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнение

Утверждение1
Если область допустимых значений уравнения пустое
множество, то уравнение не имеет корней.
Например:
ОДЗ
Ответ : корней нет.

14. Утверждение 2.

Если область допустимых значений уравнения состоит из
конечного числа значений, то корни уравнения содержатся
среди этих значений.
Это условие является необходимым, но не является
достаточным.
Поэтому необходима проверка.
Пример.
+
ОДЗ

15. Проверка: При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х = -1 не является корнем уравнения. При х=1 получаем 0=0. Значит

х=1 - корень уравнения.
Ответ:1

16. Алгоритм решения

1) Находим ОДЗ уравнения.
2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней.
Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения
надо подставить в уравнение.

17. Использование монотонности функций.

18.

Теорема.
Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то
уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного
корня.
Пример:
log3 x + log8 (5 + x) = 2
ОДЗ: х > 0
5+x>0 0<x<5
Подбором находим корень уравнения x = 3.
Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух
возрастающих функций, то она возрастающая.
Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 3.
13.03.2026
18

19.

Теорема.
Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а
функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом
промежутке не более одного корня.
Пример:
log0,5 8/х = 2 – 2х
ОДЗ: x > 0
Подбором находим корень уравнения x = 2.
Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие
Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая
(как убывающая функция от убывающей)
Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая
Тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 2
13.03.2026
19

20. Алгоритм решения

• Найти ОДЗ.
• Подбором найти корень уравнения.
• С помощью монотонности функции
доказать, что корень единственный.
13.03.2026
20

21. Использование множества значений (ограниченности) функций

22.

f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества
значений этих функций.
Утверждение 1.
Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x)
пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет
корней.
Пример:
Рассмотрим функции f(x)=
и g(x)=
Найдём их области значений.
Е(f):
Е(g):
E(ƒ)∩ E(g)=Ø
Ответ: нет корней
13.03.2026
22

23.

Утверждение 2.
Если E(ƒ)∩E(g)=
и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение
f(x)= g(x) равносильно системе уравнений
Пример
X=0
Ответ: 0
13.03.2026
23

24. Алгоритм решения

1.Оценить обе части уравнения
2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно
тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут
равны M, т.е.
f(x)= g(x)
• Можно решить одно уравнение системы и полученный
корень подставить в другое уравнение.
13.03.2026
24

25.

• Домашнее задание:
13.03.2026
25