Стереометрия

1.

2.

Основные понятия стереометрии
Стереометрия — это геометрия в трёх
измерениях. Здесь, как и в планиметрии,
есть точки, прямые, углы, но добавляется
третье измерение — высота. Это позволяет
описывать объёмные фигуры: коробки,
здания, мебель, сцены, детали механизмов.

3.

Точка, прямая, плоскость
• Точка — обозначает положение. Не имеет
размеров.
• Прямая — бесконечная линия, проходящая
через две точки.
• Плоскость — это «лист», который
простирается во всех направлениях.
Представьте поверхность стола, только
бесконечно большую и идеально ровную.

4.

Изображение фигур в пространстве
На бумаге мы рисуем объёмные фигуры в
виде проекций — как будто смотрим на
них с определённого ракурса.
Например:
• Квадрат может выглядеть как
параллелограмм,
• Окружность — как эллипс.
Главное — понимать, что скрывается за
изображением.

5.

Аксиомы стереометрии
Аксиомы — это
фундаментальное утверждение, принимаемое
в рамках определенной теории как истинное
без необходимости доказательств.
ИЛИ
Аксиома — положение, принимаемое без
доказательств.

6.

Аксиома 1
Через любые три точки, не
лежащие на одной прямой,
можно провести одну и только
одну плоскость.

7.

Аксиома 2
Если две точки прямой лежат в некоторой
плоскости, то вся прямая лежит в этой
плоскости.

8.

Аксиома 3
Если две различные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой,
проходящей через эту точку.

9.

Следствия из аксиом
Следствие 1
Через прямую и точку, не лежащую на ней,
проходит одна и только одна плоскость.
Почему? Возьмём две точки на прямой +
данную точку → три точки, не на одной
прямой → аксиома 1.

10.

Следствия из аксиом
Следствие 2
Через две пересекающиеся прямые
проходит единственная плоскость.
Почему? Пересекаются → есть
общая точка; возьмём по одной
дополнительной точке на каждой
прямой → три точки → аксиома 1.

11.

Следствия из аксиом
Следствие 3
Через две параллельные прямые проходит
единственная плоскость.
Параллельные прямые никогда не
пересекаются, но лежат в одной
плоскости.

12.

Взаимное расположение прямых в пространстве
В пространстве две прямые могут быть расположены
тремя способами:
1. Пересекающиеся прямые
Имеют одну общую точку.
2. Параллельные прямые
Не имеют общих точек и лежат в одной плоскости,
причём расстояние между ними постоянно.
3. Скрещивающиеся прямые
Не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

13.

Как определить тип расположения двух прямых?
Признак
Есть общая точка
Нет общих точек, но
лежат в одной
плоскости
Нет общих точек, не
лежат в одной
плоскости
Расположение
Пересекаются
Параллельны
Скрещиваются

14.

Параллельность прямых в пространстве
Две прямые в пространстве называются
параллельными, если они:
• не пересекаются,
• и лежат в одной плоскости.
В пространстве нельзя просто сказать «не
пересекаются» — могут быть
скрещивающимися.

15.

Теорема о параллельных прямых
Через точку, не лежащую на
данной прямой, можно
провести единственную
прямую, параллельную данной.

16.

Параллельность трёх прямых
Если две прямые параллельны
третьей, то они параллельны
друг другу.
a∥c, b∥c ⇒ a∥b

17.

Параллельность прямой и плоскости
Прямая и плоскость называются
параллельными, если они не
имеют общих точек.

18.

Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая a, не лежащая в плоскости
α, параллельна какой-нибудь прямой b,
лежащей в этой плоскости, то a∥α.

19.

Свойства
• Если прямая параллельна
плоскости, то через каждую её
точку можно провести в плоскости
прямую, параллельную данной.
• Все прямые в плоскости,
параллельные данной, будут также
параллельны самой прямой.

20.

Углы в пространстве
Угол между двумя
пересекающимися прямыми — это
меньший из углов, образованных
ими.

21.

Угол между скрещивающимися прямыми
Невозможно измерить угол напрямую, но
можно сделать следующее:
• Через произвольную точку проведём
прямые, параллельные данным.
• Угол между этими новыми прямыми — и
есть угол между исходными.
Т.Е. Угол между скрещивающимися прямыми
— это угол между параллельными им
пересекающимися прямыми.

22.

Углы с сонаправленными сторонами
Если стороны двух углов попарно
сонаправлены, то эти углы равны.

23.

Параллельность плоскостей
Две плоскости называются
параллельными, если они не пересекаются.

24.

Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны
двум прямым другой плоскости, то такие
плоскости параллельны.

25.

Свойства параллельных плоскостей
1. Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то линии
пересечения параллельны.
2. Отрезки параллельных прямых,
заключённые между параллельными
плоскостями, равны.
3. Через точку вне плоскости можно
провести одну и только одну плоскость,
параллельную данной.

26.

Простейшие пространственные фигуры

27.

Тетраэдр
Фигура из четырёх треугольников.
4 вершины,
6 рёбер,
4 грани.

28.

Параллелепипед
Фигура из шести параллелограммов.
Противоположные грани — равны и
параллельны.
8 вершин, 12 рёбер, 6 граней.
Виды:
• Прямоугольный параллелепипед
— все грани прямоугольники.
• Куб — все грани — квадраты.

29.

Куб
Особый случай параллелепипеда:
• Все рёбра равны,
• Все грани — квадраты,
• Все углы — прямые.

30.

Построение сечений
Сечение — это плоская фигура,
полученная при пересечении
многогранника плоскостью.

31.

Метод следов
Основной способ:
• Находим точки
пересечения секущей
плоскости с рёбрами,
• Соединяем их
последовательно

32.

Пример: сечение куба
Пусть нужно построить сечение куба
плоскостью, проходящей через три точки
на рёбрах
Шаги:
• Отмечаем точки.
• Соединяем те, что лежат в одной грани.
• Находим точки пересечения с другими
рёбрами.
• Последовательно соединяем.