Планиметрия. Стереометрия

1.

2. Геометрия

Планиметрия
Стереометрия

3.

Стереометрия изучает свойства
фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит
от греческих слов «стереос»
объемный, пространственный,
«метрео» – мерить.

4.

Основные понятия в стереометрии:
точка
А
А
расстояние
Обозначение:
А; В; С; ….
множество
Всякое множество
точек в геометрии
называют фигурой
(пример: прямая и
плоскость)
|АВ|
плоскость
прямая
Обозначение: a, b, с, d…
или двумя заглавными
латинскими (АВ)
α
Обозначение: α, β, γ…
или (АВС)
а
В

5.

∈
принадлежит
∃
существует
⊂
∩
подмножество
пересечение
A∈d
∉
∃!
не принадлежит
∀
любое, всякое
∪
существует только
единственное
объединение
A∉d

6.

∥
параллельны
∸
скрещивающиеся
⊥
перпендикулярны
∦
не параллельны
⟺
⇒
равносильны
следует

7. Прочитайте чертеж

С
A
C
A

8. Прочитайте чертеж

b
B
c
a
b B
a
c

9.

Ответьте на вопросы по
рисунку:
М
β
А
В
N
Р
1. Назовите точки,
лежащие в плоскости β; не
лежащие в плоскости β.
2. Назовите прямые,
лежащие в плоскости β; не
лежащие в плоскости β

10.

Наряду с основными фигурами мы будем
рассматривать геометрические тела и их
поверхности. Такие, как: куб, параллелепипед,
призма, пирамида.

11.

А также тела вращения: шар, сфера,
цилиндр, конус.

12.

Аксиома – это предложение не
требующее доказательство.
В аксиомах стереометрии
выражены основные свойства
неопределяемых понятий: точки,
прямой, плоскости и расстояния.

13. Аксиома 1

Существует хотя бы одна прямая и хотя бы
одна плоскость. Каждая прямая и каждая
плоскость есть не совпадающее с
пространством непустое множество точек.
а
α
Для любой плоскости α и
прямой а существует хотя
бы одна не принадлежащая
им точка.

14. Аксиома 2

Через любые две различные точки
проходит одна и только одна прямая.
А
В
Если прямые имеют по
две общие точки, то эти
прямые совпадают: а = b

15. Аксиома 3

Прямая, проходящая через две
различные точки плоскости,
лежит в этой плоскости
А
В
α

16.

Аксиома 4
Через три точки, не принадлежащие одной
прямой, проходит одна и только одна
плоскость.
В
А
С
Если плоскости имеют три
общие точки, не
принадлежащие одной
прямой, то эти плоскости
совпадают (α=β)

17.

Аксиом 5
Если две различные плоскости
имеют общую точку, то их
пересечение есть прямая.
Две плоскости,
пересечением которых
является прямая (α∩β=а),
называются
пересекающимися
плоскостями.

18. Аксиома 6

Для любых двух точек А и В имеется
неотрицательная величина, называемая
расстоянием от А до В. Расстояние |АВ| равно
нулю в том и только в том случае, если точки
А и В совпадают.
А
В
А
В

19. Аксиома 7

Расстояние от точки А до точки В
равно расстоянию от точки В до
точки А: |АВ|=|ВА|
А
В

20. Аксиома 8

Для любых трех точек А,В,С расстояние от
А до С не больше суммы расстояний от А
до В и от В до С: |АС|≤|АВ|+|ВС|
|АС|=|АВ|+|ВС|
|АС|<|АВ|+|ВС|
когда точки лежат
на одной прямой
А
В
если точки не лежат
на одной прямой
В
С
С
А

21. Аксиома 9

Для каждой плоскости выполняются
известные из планиметрии аксиомы
порядка, подвижности плоскости и
параллельных прямых
Из принятых выше аксиом вытекает, что в каждой
плоскости можно применять теоремы
планиметрии.
Например, в каждой плоскости
выполняется теорема Пифагора, сумма
углов любого треугольника равна 180°

22.

Следствие 1
Через прямую и не принадлежащую ей
точку можно провести одну и только
одну плоскость.
Q
a
P
М

23. Доказательство

1) А2 : В а, С а,
Дано:
а,
2) А4 : (АВС) = α – единст.
А а
(через три точки, не лежащие на одной
прямой проведем плоскость α)
Доказать:
1) ∃ α ; а∈ α; А∈α
2) α - единственная
3) А3 : В∈α; С∈α ⇒ (ВС)∈α
(ВС)= а ∈α
4) А4 : α - единственная
А
а
α
В
(т.к. две точки прямой а принадлежат
плоскости, то и вся прямая лежит в
этой плоскости)
С
(т. к. через три точки, не лежащие на
одной прямой проходит только одна
плоскость)

24.

Следствие 2
Через две пересекающиеся прямые можно
провести одну и только одну плоскость.
Т
b
a
М
N

25. Доказательство

Дано: а ∩ b=М
Доказать:
1) ∃ α ;а ∈ α; b ∈ α
2) α - единственная
Доказательство
1) А2 : М ∈ а, А а
М ∈ b, В ∈ b
2) А4 : (АВС) = α – единст.
(через точку А и прямую b проведем
плоскость α)
b В
а
А
M
3) А3 :
А ∈ α; М ∈ α; (АМ) = а ∈ α
В ∈ α; М ∈ α; (ВМ) = b ∈ α
4) А4 : α - единственная
(т. к. через три точки, не лежащие на
одной прямой проходит только
одна плоскость)

26.

Определение:
Две прямые называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не имеют
общей точки.
α
a
b

27.

Следствие 3
Через две различные параллельные
прямые можно провести только одну
плоскость.
a
b

28.

Ответьте на вопрос
1.
Сколько плоскостей можно провести через
выделенные элементы?
а)
г)
б)
д)
в)
е)

29.

В1
А1
С1
Д1
В
С
1. Изобразите в тетради куб
(видимые линии – сплошной
линией, невидимые –
пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба
заглавными буквами
АВСДА1В1С1Д1
3. Выделите цветным карандашом:
А
Д
-вершины А, С, В1, Д1
-отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
-диагонали квадрата АА1В1В

30.

Дано: куб АВСДА1В1С1Д1
Найдите:
Д1
А1
С1
2) Несколько точек, которые не
лежат в плоскости α;
В1
Д
1) Несколько точек, которые
лежат в плоскости α;
3) Несколько прямых, которые
лежат в плоскости α;
С
4) Несколько прямых, которые
не лежат в плоскости α;
5) Несколько прямых которые
пересекают прямую ВС;
α
А
В
6) Несколько прямых, которые
не пересекают прямую ВС.

31.

Д1
А1
С1
В1
Д
α
А
Лежат ли прямые АА1,
АВ, АД в одной
плоскости?
С
В
Прямые АА1, АВ, АД
проходят через точку А,
но не лежат в одной
плоскости

32.

Назовите плоскости, в
которых лежат прямые
РЕ, МК, DB, AB, EC
D
K
Назовите точки, лежащие
в плоскостях АDB и DBC
P
M
C
A
E
B

33.

B1
Q
P
A1
Назовите точки,
лежащие в
плоскостях DCC1 и
BQC
C1
D1
M
K
R
B
A
C
D
Назовите плоскости,
в которых лежит
прямая АА1

34.

• Задание 1.
Запишите с помощью
символов взаимное
расположение точек,
прямых и плоскостей,
изображенных на
рисунке.
K
A
α
a
P
b

35.

• Задание 2.
Дан куб ABCDA1B1C1D1 .
Запишите с помощью символики
ответы на вопросы:
а) По какой прямой пересекаются
плоскости:
1) (ABC) и (AA1D1 );
2) (AA1B1) и (AA1D );
3) (BB1C1 ) и (CC1D1 ).
б) Каким плоскостям принадлежат
точки: A, C1 , D ?
в) Принадлежит ли B1 плоскости:
1) (ABC) ; 2) (BB1C1 ) ; 3) (A1B1C1) ?
B1
A1
C1
D1
B
A
C
D