показательная функция

1. «Показательная функция»

2. Определение

Показательная функция – это
x
функция вида
,
y a
где x – переменная,
a - заданное число, a >0, a 1.
Примеры:
у 3 ;
х
х
1
у ;
2
у 0,4
х

3. Свойства показательной функции

Свойства показательной
х
функции у а
1. Область определения:
все действительные числа
D(y) = R;
2. Множество значений:
все положительные числа
E(y) = (0; + ∞);
3. При a > 1 функция возрастающая;
при 0 < a < 1 функция убывающая.

4. График показательной функции

Т.к. а 1 , то график любой показательной
функции проходит через точку (0; 1)
0
а 1
0 а 1
у
у
1
0
х
1
0
х

5. Показательные уравнения

Определение
Простейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений

6. Определение

Уравнение, в котором
переменная содержится в
показателе степени, называется
показательным.
Примеры:
2 8; 9 5 3 6 0
х
х
х

7. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

a a , где a 0, a 1.
x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a a x b
x
b

8.

Способы решения сложных
показательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем

9. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется,
если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x 1
4 2
x 2
32

10. Замена переменной

При данном способе показательное
уравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1

11. Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если
основания степеней разные.
x
x
=5 |:5
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например: 2
х
х
x
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
x
2x
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x

12.

Показательные неравенства
Определение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств

13. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11

14. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.

15.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a a
x b
0 a 1
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.

16.

• Построение графика
• Сравнение чисел с использованием свойств
показательной функции
• Сравнение числа с 1
а) аналитический способ;
б) графический способ.

17. Задача 1 Построить график функции y = 2x

Задача 1
x
Построить график функции y = 2
у
x
y
8
-1
1
2
7
0
1
6
1
2
2
4
3
8
5
4
3
2
1
х
-3 -2
-1
0
1
2
3

18. Задача 2 Сравнить числа

Задача 2
1
1
и
Сравнить числа 3 3
2
1, 4
Решение
1
3
2 1,41... 1,4
0
1
1
3
Ответ:
1
3
2
1, 4
1
3
2
1, 4
1
3

19. Задача 3 Сравнить число с 1.

Задача 3
5
Сравнить число 3 с 1.
Решение
1 3
0
-5 < 0
5
3 3
3 1
Ответ: 3 5 1
0
5
3 1

20. Задача 4 Cравнить число р с 1

р=2
3
2 > 1, то
t
функция у = 2 –
возрастающая.
3
Ответ: 2 > 1.
1
р = 2
4
1
0 < 2 < 1, то
функция у =
– убывающая
4
1
Ответ: > 1
2