pokazat_fun

1. «Показательная функция»

2. Цель:

• Рассмотрение основных свойств
показательной функции.
• Построение графика.
• Решение показательных уравнений.
• Решение показательных неравенств.

3. Определение

Показательная функция – это
x
функция вида
,
y=a
где x – переменная,
a - заданное число, a >0, a 1.
Примеры:
у =3 ;
х
х
1
у= ;
2
у = 0,4
х

4. Свойства показательной функции

Свойства показательной
х
функции у = а
1. Область определения:
все действительные числа
D(y) = R;
2. Множество значений:
все положительные числа
E(y) = (0; + ∞);
3. При a > 1 функция возрастающая;
при 0 < a < 1 функция убывающая.

5. График показательной функции

Т.к. а = 1 , то график любой показательной
функции проходит через точку (0; 1)
0
а 1
0 а 1
у
у
1
0
х
1
0
х

6. Задача 1 Построить график функции y = 2x

Задача 1
x
Построить график функции y = 2
у
x
y
8
-1
1
2
7
0
1
6
1
2
2
4
3
8
5
4
3
2
1
-3 -2
-1
0
1
2
3
х

7. Задача 2 Сравнить числа

Задача 2
1
1
и
Сравнить числа 3 3
2
1, 4
Решение
1
3
2 = 1,41... 1,4
0
1
1
3
Ответ:
1
3
2
1, 4
1
3
2
1, 4
1
3

8. Задача 3 Сравнить число с 1.

Задача 3
−5
Сравнить число 3 с 1.
Решение
1= 3
0
-5 < 0
−5
3 3
3 1
Ответ: 3−5 1
0
−5
3 1

9. Показательные уравнения

Определение
Простейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений

10. Определение

Уравнение, в котором
переменная содержится в
показателе степени, называется
показательным.
Примеры:
2 = 8; 9 − 5 3 + 6 = 0
х
х
х

11. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида

a = a , где a 0, a 1.
x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a =a x=b
x
b

12. Простейшие показательные уравнения

3x+4
x −7
1). 2
=2
3х + 4 = х − 7
3х − х = −7 − 4
2х = −11
х = −5,5.
Ответ: - 5,5.
x 2 −3 x
=1
х 2 −3 х
= 50
2). 5
5
х 2 − 3х = 0
х (х − 3) = 0
х = 0,
х = 3.
Ответ: 0; 3.

13.

Способы решения сложных
показательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем

14. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

Данный способ используется,
если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x +1
− 4 2
x−2
= 32

15. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем

2
x +1
− 4 2
x−2
= 32
2 х −2 ( 23 − 4 1) = 32
2 х −2 (8 − 4) = 32
2 х − 2 4 = 32 | : 4
2 х−2 = 8
2 х − 2 = 23
х−2=3
х=5
Ответ: 5
x + 1 - (x - 2) =
=x+1–x+2=3

16. Замена переменной

При данном способе показательное
уравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1

17. Замена переменной (1)

основания степеней одинаковы, показатель одной из
степеней в 2 раза больше, чем у другой .
2x
х
3 – 4 · 3 – 45 = 0
t = 3x (t > 0)
t 2 – 4t – 45 = 0
По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4
t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию
x
x
2
3 = 9; 3 = 3 ; x = 2.
Ответ: 2

18. Замена переменной (2)

Основания степеней одинаковы,
коэффициенты перед переменной противоположны.
2
2− х
−2
−х
х −1
=1
−1
2 2 − 2 2 =1
t = 2 x (t 0)
2
х
4 t
− =1
t 2
8 − t = 2t
2
t + 2t − 8 = 0
2
По т. Виета:
t1 t2 = −8, t1 + t2 = −2
t1 = − 4 - Не удовлетворяет условию
t2 = 2
x
2 =2
х =1
Ответ: 1

19. Деление на показательную функцию

Данный способ используется, если
основания степеней разные.
x
x
=5 |:5
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например: 2
х
х
2x
x
2x
x
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x

20. Деление на показательную функцию

а) 2 = 5 |: 5
х
х
х
2
=1
5
х
2 2
=
5 5
х=0
Ответ: 0
0
x

21. Деление на показательную функцию

3 25 х − 8 15 х + 5 9 х = 0 : 9 х
3 52 х 8 5 x 3 x
−
+5 = 0
2х
2x
3
3
2x
x
5
5
3 − 8 + 5 = 0
3
3
5
t =
3
х
(t 0)
3t 2 − 8t + 5 = 0
D = 64 − 4 3 5 = 4 = 2 2
8 + 2 10 5
t1 =
=
= ;
6
6 3
8−2
t2 =
= 1.
6
х
х
5
5
=
3
3
5
=1
3
х =1
5 5
=
3 3
х
х=0
3t − 8t + 5 = 0
2
Ответ: 0; 1.
0

22.

Показательные неравенства
Определение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств

23. Определение

Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 + 5 2
х
х +1
11

24. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:

a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.

25.

При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a a
x b
0 a 1
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.

26. Простейшие показательные неравенства

1). 3 9 3 3 x 2
х
х
x
2
x
1
1 1
1
2).
4
2
2 2
2
x 2

27. Двойные неравенства

1
3+ x
3 9
3
−1
3+ x
3 3 3
3 > 1, то − 1 3 + x 2
2
−1 − 3 x 2 − 3
− 4 x −1
Ответ: (- 4; -1).

28. Решение показательных неравенств

Метод: Вынесение за скобки степени с меньшим
показателем
3
3
х −3
х −3
1 х
+ 3 10
3
1 3
(1 + 3 ) 10
3
3
х −3
(1 + 9) 10
3
х −3
10 10 : 10
х −3
1
х −3
3
3
3
Т.к.
3 > 1, то знак неравенства
остается прежним
х 3.
0
х −3 0

29. Решение показательных неравенств

Метод: Замена переменной
1
3 (t + 4) t − 0
3
3 9 + 11 3 4
х
х
3 3 + 11 3 − 4 0
2х
х
3 = t (t 0)
2
3t + 11t − 4 0
х
D = 11 − 4 3 (−4) = 121 + 48 = 169 = 13
2
− 11 + 13 2 1
t1 =
= =
2 3
6 3
− 11 − 13 − 24
t2 =
=
= −4
6
6
2
1
1
x
0 t ;0 3
3
3
−1
3 3 ;
х
3>1, то
х −1.

30. Используемая литература.

• А.Г.Мордкович: Алгебра и начала
математического анализа(профильный
уровень), 10класс,2011г.
• А.Н. Колмогоров: Алгебра и начала
математического анализа,2008г.
• Интернет