ЕГЭ Расстояние между скрещивающимися прямыми_

1. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

2.

Материал, полученный и собранный в
ходе работы над проектом, является
незаменимым при подготовке к решению
задач ЕГЭ.
Умение решать задачи на нахождение
расстояния между скрещивающимися
прямыми разными способами может
существенно сократить время их решения.

3. Способы нахождения:

• 1) Общий перпендикуляр – отрезок,
перпендикулярный 2м параллельным плоскостям, в
которых лежат скрещ. прямые.
• 2)Перпендикуляр между прямой и проекцией
другой прямой. Первая прямая лежит в плоскости, а
другая пересекает её под прямым углом
• 3)Перпендикуляр между прямыми. Одна прямая
лежит в плоскости, а другая параллельна этой
плоскости
• 4)Перпендикуляр между проекциями на плоскость.

4.

Построение общего перпендикуляра.
Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость,
перпендикулярная другой прямой.
• Искомый общий перпендикуляр лежит на прямой пересечения этих
плоскостей и является отрезком с концами в точках пересечения
прямых с соответствующими плоскостями.
a b
aϵα
bϵβ
AB- общий перпендикуляр
а
α
B
b
β
A
α
β = AB
AB b
AB a

5.

Другой вариант
построения
• Не требуется рисовать обе плоскости, только одну.
• Тогда общий перпендикуляр- это перпендикуляр из точки пересечения одной прямой с
плоскостью на другую прямую.
a b
b ϵβ
а
B
b
β
A
AB b
AB a

6.

Задача №1. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1 (все ребра равны 1). Найти
расстояние между скрещивающимися прямыми AA1 и BD.
Построим общий перпендикуляр прямых AA1 и BD,
равный расстоянию между скрещивающимися прямыми.
AA1
B
A
D
B1
A1
BD ϵ (ABD)
C
O
(АBD) значит, можно воспользоваться способом 2,
для построения общего перпендикуляра
AA1 (ABD) = A, опустим перпендикуляр из А на BD.
Это отрезок АО. АО ϵ АС, АС и BD – диагонали квадрата
ABCD, пересекаются в О под прямым углом.
АО – расстояние между скрещивающимися прямыми AA1 и BD
C1
D1
Найдем его: АО = 0,5 АС.
Т.к. квадрат со стороной 1, то его диагональ АС =
Тогда, АО =
Ответ:

7.

Задача №2. В основании пирамиды MАВС лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник АВС (АС=ВС=4). Ребра МА, МВ и МС равны 8.
Найдите расстояние между прямыми АВ и СМ.
АВС и AМВ – равнобедренные, значит, высота является и медианой.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости MCN, а прямая МС лежит в этой
плоскости. Опустим перпендикуляр из точки N на
прямую МС в этой плоскости. NK – искомое
M
расстояние (общий перпендикуляр).
K
A
N
450
B
Из CNВ :
NC
sin 450
;
BC
C
2 NC
;
2
4
4 2
NC
;
2
NC 2 2 .
Из NMB :
MB 2 NM 2 NB 2 ;
2
8 NM 2 2 ;
2
2
NM 2 64 8;
NM 56 ;
NM 2 14 .

8.

Найдем высоту MNС.
Составим систему уравнений.
Применили теорему Пифагора для
прямоугольных треугольников СNK и NKM.
2
2
2
NM h x
2
2
2
NC
h
8
x
48 64 16 х;
16 х 64 48;
M
16х 112.
K
х 7.
56 h 2 49;
h 2 56 49;
Подставим в первое уравнение
C
A
N
h 2 7;
h
h
К
8-x
N
М
h
450
B
C
Ответ : NK