Лекция 1

1. Лекция 1

2.

Теории вероятностей.
История
возникновения.

3.

Явления окружающего нас мира можно условно разделить на
детерминированные, случайные и неопределенные.
Например, на основании законов небесной механики по
известному в настоящем положению планет Солнечной системы
может быть практически однозначно предсказано их положение в
любой наперед заданный момент времени, в том числе очень точно
могут быть предсказаны солнечные и лунные затмения. Это пример
детерминированных законов 1 . Но не все явления окружающего
нас мира поддаются точному предсказанию, несмотря на то, что
наши знания о нем постоянно углубляются и расширяются.
Например, долговременные изменения климата, кратковременные
изменения погоды, землетрясения и другие природные катаклизмы
не являются объектами для точного прогноза. Определенные
физиологические параметры человека, например, пульс, давление,
ЧСС и т.д. тоже не поддаются точному предсказанию. Такого рода
явления можно предсказывать лишь с определенной долей
вероятности. Еще менее детерминированными являются некоторые
законы и явления микромира. Например, нельзя говорить о точном
положении электрона в определенный момент времени, но можно
лишь говорить о его распределенном положении в пространстве
(электронное облако). Такого рода
законы называются
статистическими – будущее состояние системы определяются не
однозначно, а лишь с некоторой вероятностью 1 .

4.

Но в макромире и микромире существуют явления, будущее
состояние которых нельзя предсказать даже с определенной
вероятностью. Такие явления можно назвать неопределенными
(хаотичными), например, длительность боевых действий при
вооруженных конфликтах, количество погибших, разрушений,
количество заболевших при различных эпидемиях и т.д.
Таким образом окружающий нас мир состоит из явлений с
детерминированной, случайной, или неопределенной (хаотичной)
составляющей, но в большинстве случаев реальные объекты и
явления имеют черты всех 3 составляющих, которые могут
проявляться в большей или меньшей степени, поэтому вопрос
«Каким является мир на самом деле, детерминированным,
хаотичным, случайным?» в принципе не допускает
однозначного ответа.
Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных
явлений или событий, способных многократно повторяться при
воспроизведении определенного комплекса условий. Основное
свойство любого случайного события, независимо от его природы,
– мера или вероятность его осуществления.

5.

Теория
вероятностей
–
математическая
наука.
Из
первоначально заданной системы аксиом вытекают другие ее
положения и теоремы. Впервые законченную систему аксиом
сформулировал в 1936 г. советский математик академик А.Н.
Колмогоров в своей книге «Основные понятия теории
вероятностей» 1 .
Теория вероятностей вначале развивалась как прикладная
дисциплина и обязана своему появлению азартным играм. Хотя
сегодня теория вероятностей с азартными играми имеет столько
же общего как геометрия с измерением площадей. Игра в кости
была самой популярной азартной игрой до конца средних веков.
Слово «азарт» происходи от арабского слова «alzar»,
переводимого как «игральная кость». Согласно греческой легенде,
игру в кости предложил Паламедей для развлечения греческих
солдат, скучающих при ожидании битвы при Трое (5-й век до
нашей эры).
Возможно, игра в кости была известна значительно раньше. Так
Дж. Нейман в своей книге «Вводный курс теории вероятностей и
математической статистики» пишет, что археологи обнаружили в
гробнице фараона две пары костей: «честные» – с равными
вероятностями выпадения всех граней и фальшивые – с
умышленным смещением центра тяжести, что увеличивало
вероятность выпадения шестерок.

6.

Карточные игры появились в Европе лишь в 14 в., в то время как
игра в кости пользовалась успехом еще в Древнем Египте во
времена 1-й династии, позднее в Греции и Римской империи.
Самой ранней книгой по теории вероятностей является «Книга об
игре в кости» Джордано Кардано (1501-1576). Эта книга была
опубликована лишь в 1663 г., спустя 100 лет после написания.
Аналогичный трактат был написан Галилеем между 1613г. и 1624г.
Ключевыми моментами развития теории вероятностей были
парадоксы, возникающие при попытках моделирования азартных
игр. Рассмотрим некоторые из них 3 .
Парадокс 1. Игральная кость при бросании с равной
вероятностью падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. Когда
бросают две кости сумма выпавших очков заключена между 2 и 12.
Как 9 так и 10 из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 можно получить как две
суммы двух слагаемых:
9 = 4 + 5 = 6 + 3; 10 = 5 + 5 = 4 + 6. В задаче с тремя костями 9 и 10
получаются как шесть сумм трех слагаемых.
Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 –
чаще, когда бросают три кости.
Несмотря на простоту задачи, некоторым великим математикам не
удавалось ее решить.

7.

Парадокс 2. Однажды Даламберу задали вопрос: с какой
вероятностью монета, брошенная дважды по крайней мере
один раз выпадет гербом вверх. Ответ ученого был 2/3.
Понятно, что великий Даламбер ошибался.
Парадокс 3. Задача Шевалье де Мере. Одновременно
подбрасываются две кости. Какова вероятность того, что в
двадцати четырех подбрасываниях две шестерки выпадут, по
крайней мере, 1 раз. По его подсчетам эта вероятность больше
1/2. Но, играя длительное время, он почему-то проигрывал.
Шевалье обратился за помощью к Блезу Паскалю, который
решил ее и показал, что эта вероятность равна 0,49. Эта задача
была также решена Пьером Ферма. Дата опубликования
Паскалем решения этой задачи (1654 г.) считается днем
рождения науки «Теория вероятностей».

8. Классическое определение вероятности.

9.

Введем ряд простых определений.
Испытание – это ситуация с более чем одним возможным
результатом.
Исход – это результат наблюдения или измерения в процессе
испытания.
Единичный (отдельный) исход называется элементарным
событием.
Набор всех элементарных событий некоторого испытания
называется множеством элементарных событий.
Событие определим как
подмножество множества
элементарных событий.
Достоверное событие – это событие, которое при выполнении
определенного комплекса условий обязательно произойдёт.
Невозможное событие – это событие, которое при выполнении
определенного комплекса условий никогда не произойдёт.
Случайное событие – это событие, которое при выполнении
определенного комплекса условий, может как произойти так и не
произойти. Мера возможности осуществления такого события и
есть его вероятность.
Будем случайные события обозначать прописными латинскими
буквами A, B, C…; достоверное событие обозначим
,
невозможное – .

10.

Два события A и B называются несовместными, если
появление одного из них исключает появление другого.
Суммой двух событий A и B называется третье событие C = A +
B, которое происходит тогда, когда наступает либо событие А
либо событие В, либо оба одновременно. Это определение
равносильно другому определению:
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в
наступлении хотя бы одного из этих событий.
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, В –
выпадение чисел кратных 3, тогда С – выпадение чисел 2, 3, 4, 6.
Произведением двух событий A и B называется третье событие
C = A B, которое происходит тогда, когда происходит и событие A
и событие B.
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, В –
выпадение чисел кратных 3, С – выпадение числа 6.
Событие A называется противоположным событию A, если
оно несовместно с A и вместе (в сумме) образуют достоверное
событие, т.е.
A +А = .
Пример: А – выпадение четных чисел на игральной кости, A –
выпадение нечетных чисел.

11.

Классическое определение вероятности основывается на
равной возможности любого из конечного числа исходов и на
предположении, что события составные, т.е. состоят из одного или
большего числа элементарных событий (исходов).
Так, например, при бросании игральной кости равновозможно
выпадение любого из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Обозначим эти исходы
1, 2, 3, 4, 5, 6. Естественно, что шанс осуществится не
одному исходу, а одному из двух, например или 3, или 6 , в два
раза больше. Рассуждая, таким образом, можно определить шансы
осуществления любого составного события, состоящего из
нескольких элементарных событий.
В общем случае, когда имеется n равновозможных исходов 1,
2… n, вероятность наступления любого события A, состоящего
из m исходов i1, i2… im, определяется как отношение числа
исходов благоприятствующих наступлению события A, к
общему числу:
P(A) = m/n
(1)
Так, при бросании игральной кости событие А– выпадение
четных чисел состоит из трех исходов – 2, 4, 6. Поэтому P(A)
= 3/6 =1/2.

12.

Событие ’ включающее все исходы называется полным.
Тогда по формуле (1)
P( ’) = n/n = 1,
т.е. полное событие является достоверным, так как оно
обязательно произойдет, следовательно = ’ и P( ) = 1, т.е.
вероятность достоверного события равна 1.