10 класс

1. Тема: «Линейный и экспоненциальный рост. Число e. Формула сложных процентов». .

ТЕМА: «ЛИНЕЙНЫЙ И ЭК
СПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОС
Т.ЧИСЛО E. ФОРМУЛА СЛ
ОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ».
.

2.

•Понять разницу между линейным и экспоненц
иа-льным ростом.
•Изучить формулы простых и сложных процент
ов.
•Узнать, что такое число e и как оно связано с
непрерывным ростом.
•Научиться применять формулы на практике.

3.

•Определение: линейный рост это увеличение величины на одно и то же значение за равные про
межутки времени.
•Формула:
y=P⋅(1+r⋅t),
где:
* y — итоговая сумма,
* P — начальный вклад,
* r — процентная ставка (в долях единицы),
* t — время в годах.
•Пример: вклад 10 000 руб. под 5% годовых (простые проценты).
Через 5 лет:
y=10 000⋅(1+0,05⋅5)=12 500 руб.

4.

•Определение: экспоненциальный рост —
это увеличение величины, при котором проценты начисляю
тся на текущую сумму, включая ранее начисленные процен
ты
(«проценты на проценты»).
•Формула:
y=P⋅(1+r)t,
где обозначения те же, что и в формуле линейного роста.
•Пример: вклад 10 000 руб. под 5% годовых (сложные проц
енты). Через 5 лет:
y=10 000⋅(1,05)5≈12 763 руб.

5.

Таблица роста вклада (сложные проценты
)
Год
Сумма на счету (руб.
)
Прирост за год (руб.)
0
10 000
—
1
10 500
+500
2
11 025
+525
3
≈11 576
+551
4
≈12 155
+579
5
≈12 763
+608

6.

•Линейный рост: прирост постоянный, график —
прямая.
•Экспоненциальный рост: прирост увеличивается, гра
фик — кривая.
•Вывод: при одинаковых условиях (сумма, ставка) слож
ные проценты дают больший доход в долгосрочной пер
спективе.

7.

•Число e: математическая константа, приблизитель
но
равная 2,71828.
•Связь с ростом: число e возникает при рассмотре
нии непрерывного начисления процентов.
•Предел: если проценты начисляются бесконечно ч
асто (непрерывно), сумма стремится к:
y=P⋅ert,
где e — число Эйлера, r — ставка, t — время.

8.

•Задача: вклад 1 000 руб. под 100% годовых. Как измен
ится сумма, если проценты начисляются:
• 1 раз в год: 1 000⋅2=2 000 руб.;
• 2 раза в год: 1 000⋅(1+21​)2=2 250 руб.;
• 4 раза в год: 1 000⋅(1+41​)4≈2 441 руб.;
• непрерывно: 1 000⋅e1≈2 718 руб.
•Вывод: чем чаще начисляются проценты, тем больше
итоговая сумма, но она не может превысить P⋅e.

9.

Формула сложных процентов с начислением n раз в
год
•Общая формула:
y=P⋅(1+nr)n⋅t,
где n — количество начислений в год.
•При n→∞: формула переходит в y=P⋅er⋅t.
•Экономический смысл: непрерывное начисление проц
ентов даёт максимальный возможный рост вклада.

10.

Практическое применение
•Финансы: расчёт вкладов, кредитов, инвестици
й.
•Экономика: моделирование роста ВВП, инфля
ции.
•Биология: рост популяций, размножение бакте
рий.

11.

Задачи для самостоятельного решения
1.Вклад 20 000 руб. под 4% годовых. Постройте гра
фики для простых и сложных процентов на 5 лет.
2.Какой вклад выгоднее на 10 лет: 30 000 руб. под 3
%
(простые) или 30 000 руб. под 2,5% (сложные)
?
3.Рассчитайте сумму вклада 5 000 руб. через 3 года
при непрерывном начислении 6% годовых (e0,18≈1
,197).

12.

Итоги
•Линейный рост описывается арифметической прог
рес-сией, экспоненциальный — геометрической.
•Сложные проценты дают больший доход, чем прос
тые.
•Число e —
основа для описания непрерывного роста.
•Формулы роста применяются в разных областях н