Колебательное движение и волны

1.

ЛЕКЦИЯ ПО ФИЗИКЕ
Колебательное движение
и волны
Механические колебания и волновые процессы
Общая физика
Университетский курс

2.

СОДЕРЖАНИЕ
Структура лекции
1
Колебательное движение
3
Свободные колебания
5
Затухающие колебания
7
Пружинный маятник
9
Резонанс
11
Звук и ультразвук
Основные понятия и определения
Условия возникновения
Причины и характеристики
Жесткость и период
Условия и проявления
Применение в технике
2
Гармонические колебания
4
Превращение энергии
6
Математический маятник
8
Вынужденные колебания
10
Механические волны
Уравнения и характеристики
Энергетические преобразования
Период и закономерности
Внешнее воздействие
Типы и характеристики

3.

Колебательное
движение

4.

1.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Что такое колебательное движение?
Определение
График колебаний
Колебательное движение — это движение, которое повторяется во времени и
происходит около положения равновесия.
Характеристики колебаний:
Период (T) — время одного полного колебания, с
Частота (ν или f) — число колебаний в секунду, Гц
Амплитуда (A) — максимальное отклонение от равновесия, м
Связь: T = 1/ν, ν = 1/T
Примеры: маятник часов, колебания струны, вибрация моста, сердцебиение,
электромагнитные колебания
Рис. 1: Периодическое движение с постоянной
амплитудой

5.

1.2 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармонические колебания
Определение
График гармонических колебаний
Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина
изменяется по закону синуса или косинуса.
x(t) = A·sin(ωt + φ₀)
или x(t) = A·cos(ωt + φ₀)
Параметры уравнения:
A — амплитуда (м)
ω — циклическая частота (рад/с)
t — время (с)
φ₀ — начальная фаза (рад)
Связь частот: ω = 2πν = 2π/T
Важно: Гармонические колебания — простейший вид колебаний. Любые сложные колебания
можно представить как сумму гармонических.
Период
Амплитуда
T
A
Рис. 2: Синусоидальное изменение координаты

6.

1.3 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные механические колебания
Определение
Процесс свободных колебаний
Свободные (собственные) колебания — это колебания, возникающие в системе после
выведения её из положения равновесия и последующего прекращения внешнего
воздействия.
Условия возникновения:
1 Наличие силы, возвращающей систему в положение равновесия (упругая сила, сила тяжести)
2 Инерция системы (масса тела препятствует мгновенному изменению скорости)
3 Начальное отклонение от положения равновесия или начальная скорость
Рис. 3: Свободные колебания без затухания
Собственная частота
Частота свободных колебаний определяется только свойствами системы:
ω₀ = √(k/m)
для пружинного маятника
Важно: В идеальной системе без трения
свободные колебания продолжаются бесконечно
долго с постоянной амплитудой.

7.

1.4 ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАНИЙ
Превращение энергии при колебательном движении
Виды энергии в колебательной системе
Кинетическая энергия
Превращение энергии при колебаниях
Потенциальная энергия
Eₖ = mv²/2
Eₚ = kx²/2
Максимальна в положении равновесия
Максимальна в крайних положениях
Закон сохранения энергии
E = Eₖ + Eₖ = const
E = kA²/2 = mω²A²/2
При гармонических колебаниях полная механическая энергия остаётся постоянной (в отсутствие
трения).
Процесс превращения: В положении равновесия Eₖ = max, Eₚ = 0. В крайних точках Eₖ = 0, Eₚ =
max. Происходит непрерывный обмен энергией между кинетической и потенциальной
формами.
Рис. 4: Зависимость кинетической и потенциальной энергии от
времени
Eₖ
Eₚ
E
Кинетическая
Потенциальная
Полная

8.

1.5 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
Свободные затухающие механические колебания
Причины затухания
График затухающих колебаний
В реальных системах колебания затухают из-за сил сопротивления среды (трение, вязкость, сопротивление
воздуха).
Fсопр = -rv = -r(dx/dt)
r — коэффициент сопротивления
Уравнение затухающих колебаний
x(t) = A₀·e^(-βt)·cos(ωt + φ₀)
β = r/2m — коэффициент затухания
ω = √(ω₀² - β²) — частота затухающих колебаний
Логарифмический декремент затухания
δ = ln(Aₙ/Aₙ₊₁) = βT
Отношение двух последовательных амплитуд. Характеризует скорость затухания.
Рис. 5: Затухающие колебания с убывающей амплитудой
Добротность Q: Q = ω₀/2β = π/δ — показывает, во сколько
раз запасённая энергия больше энергии, теряемой за
период.

9.

Маятники

10.

2.1 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Математический маятник
Схема математического маятника
Определение
Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой
нити в поле тяжести.
Период колебаний
T = 2π√(L/g)
L — длина нити (м)
g — ускорение свободного падения (м/с²)
Условия применимости формулы
Малые углы отклонения (α < 5°)
Невесомая и нерастяжимая нить
Материальная точка (размерами пренебречь)
Отсутствие сопротивления воздуха
Изохронность: При малых углах период колебаний не зависит от амплитуды и массы груза.
Рис. 6: Силы, действующие на математический маятник
При L = 1 м
Частота
T≈2с
ν = 1/T

11.

2.2 ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК
Пружинный маятник
Схема пружинного маятника
Определение
Пружинный маятник — это система, состоящая из тела массой m, прикреплённого к пружине
жёсткостью k, совершающего колебания под действием упругой силы.
Период колебаний
T = 2π√(m/k)
m — масса груза (кг)
k — жёсткость пружины (Н/м)
Упругая сила (закон Гука)
F = -kx
Сила пропорциональна отклонению и направлена к положению равновесия.
Рис. 7: Колебания пружинного маятника
Собственная частота: ω₀ = √(k/m) — определяет, как быстро система совершает свободные
колебания.
Зависимость: При увеличении массы период
увеличивается, при увеличении жёсткости —
уменьшается.

12.

Вынужденные колебания
и резонанс

13.

3.1 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Вынужденные механические колебания
Процесс вынужденных колебаний
Определение
Вынужденные колебания — это колебания, возникающие в системе под действием внешней
периодической силы.
Уравнение внешней силы
F(t) = F₀·cos(Ωt)
F₀ — амплитуда силы
Ω — частота внешней силы
Установившиеся колебания
После затухания переходного процесса система колеблется с частотой внешней силы:
x(t) = A·cos(Ωt - φ)
Рис. 8: Переходный процесс и установившиеся колебания
Амплитуда вынужденных колебаний
A = F₀/m√((ω₀²-Ω²)² + 4β²Ω²)
Время установления: Определяется коэффициентом
затухания β. Чем больше β, тем быстрее устанавливается
режим.

14.

3.2 РЕЗОНАНС
Резонанс
Резонансная кривая
Определение
Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении
частоты внешней силы с собственной частотой системы.
Условие резонанса
Ω = ω₀
частота внешней силы = собственная частота
Aрез = F₀/(2mβω₀)
амплитуда при резонансе
Примеры резонанса
Полезный: настройка музыкальных инструментов, радиоприёмники, УЗИ
Вредный: разрушение мостов, зданий, механизмов
Рис. 9: Зависимость амплитуды от частоты внешней силы
Ширина резонанса
Добротность
Δω = 2β
Q = ω₀/2β

15.

Механические волны

16.

4.1 ТИПЫ ВОЛН
Поперечные и продольные волны
Определение волны
Сравнение типов волн
Механическая волна — это процесс распространения колебаний в упругой среде, при
котором переносится энергия без переноса вещества.
Поперечные волны
Продольные волны
Частицы среды колеблются перпендикулярно
направлению распространения волны.
Частицы среды колеблются параллельно
направлению распространения волны.
⊥ направлению
Примеры: волны на струне, воде,
электромагнитные волны
Условия возникновения волн
∥ направлению
Примеры: звуковые волны, волны в пружине
Рис. 10: Поперечные и продольные механические волны
Источник колебаний (возмущение)
Упругая среда (способность к деформации)
Инерция частиц среды
Важно: Волны переносят энергию, а не вещество.
Частицы среды остаются в среднем на своих местах.

17.

4.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНЫ
Характеристики волны
Основные характеристики
Характеристики волны
Длина волны
Период
λ
T
Расстояние между соседними гребнями
Время одного полного колебания
Частота
Амплитуда
ν
A
Число колебаний в секунду
Максимальное отклонение
Скорость волны
v = λ/T = λ·ν
λ = v·T = v/ν
Волновое уравнение
Рис. 11: Длина волны, амплитуда и период
y(x,t) = A·sin(ωt - kx)
k = 2π/λ — волновое число
λ
Длина волны
T
A
Период
Амплитуда

18.

Звуковые волны
и ультразвук

19.

5.1 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
Звуковые волны
Звуковые волны
Определение
Звуковые волны — это продольные механические волны в упругой среде (газе, жидкости, твёрдом теле),
воспринимаемые органом слуха.
Частотный диапазон
Инфразвук
Слышимый звук
Ультразвук
< 16 Гц
16 Гц - 20 кГц
> 20 кГц
Скорость звука
В воздухе (20°C)
343 м/с
В воде
1500 м/с
В стали
5000 м/с
Характеристики звука
Рис. 12: Сжатия и разрежения в звуковой волне
Громкость — определяется амплитудой (интенсивностью)
Высота — определяется частотой
Интенсивность: Измеряется в децибелах (дБ). Порог
Тембр — определяется спектром (наличием обертонов)
слышимости — 0 дБ, боль — 130 дБ.

20.

5.2 УЛЬТРАЗВУК
Ультразвук и его применение
УЗИ-аппарат
Определение
Ультразвук — это акустические волны с частотой выше 20 кГц, не воспринимаемые
человеческим ухом.
Диапазон частот
20 кГц — 10⁹ Гц
(граница зависит от среды)
Получение ультразвука
Пьезоэлектрические излучатели — кварцевые пластинки
Магнитострикционные излучатели — ферромагнитные материалы
Электродинамические излучатели — как в громкоговорителях
Рис. 13: Ультразвуковое исследование в медицине
Применение ультразвука
Медицина:
УЗИ диагностика, физиотерапия, лечение камней в почках
Промышленность:
Дефектоскопия, очистка, сварка, резка
Техника:
Эхолоты, гидролокаторы, датчики уровня

21.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ключевые выводы
1
Колебательное движение
Повторяющееся движение около положения равновесия.
4
Характеризуется периодом T, частотой ν и амплитудой A.
2
Гармонические колебания
5
Резонанс
Резкое возрастание амплитуды при Ω = ω₀. Может быть полезным
и вредным.
простейшим видом колебаний.
3
Математический: T = 2π√(L/g). Пружинный: T = 2π√(m/k). Период
зависит от параметров системы.
Описываются функцией x(t) = A·sin(ωt + φ₀). Являются
Превращение энергии
Маятники
6
Волны и ультразвук
Происходит непрерывный обмен между кинетической и
Волны переносят энергию без переноса вещества. Ультразвук (f >
потенциальной энергией. Полная энергия E = kA²/2.
20 кГц) широко применяется в медицине и технике.
Колебания и волны — фундаментальные явления, лежащие в основе многих процессов в природе и технике