8 кл. Алгебра. 17.04..26. Свойства ф-ций

1. Функция. Свойства функции.

2.

Определение функции
Зависимость между двумя переменными х и у,
при котором каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у называют функцией .
Обозначают у = f(х),
где х – независимая переменная (аргумент),
у = f(x) – зависимая переменная (функция).
у
у
у
у2
у1
хо
у1
хо
О
у2
Не является функцией
х1
О
х
х
у1
х2
О
у2
Не является функцией
Является функцией
х

3. Способы задания функции

Описанием (с помощью
естественного языка)
Аналитический (формулой)
1) у = 2х + 5;
2)
Например:
«Каждому отрицательному числу
соответствует – 1, нулю – число 0,
а каждому положительному –
число 1»
f(x) = x, еслих 2;
0,5 х 3, если 2 х 2;
7 х, еслих 2.
Графический
Табличный.
у
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
х

4.

Свойства функции
Область определения функции
Множество всех допустимых значений х
(аргумента, независимой переменной)
при которых выражение имеет смысл.
Обозначение: D(f) = [а;b]
у
Область значений функции
Множество всех значений функции у = f(х),
где х принадлежит Х (области
определения).
Обозначение: Е(f) = [m;n]
у
n
х
О
a
О
bх
m

5. Свойства функции

• Зачем знать свойства функции?
• Свойства функции — это особенности, которые помогают понять, как ведет себя
функция. Мы уже знакомы с областью определения и множеством значений.
Благодаря им мы знаем, какие значения может принимать аргумент функции, а
какие — сама функция.
• Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль, называются нулями
функции.

6.

Свойства функции
•Возрастание
•Убывание
Функцию у = f(x) называют возрастающей на
множестве D(f), если для любых двух точек х1 и
х2 области определения, таких, что х1 < х2 ,
выполняется неравенство f(x1 ) < f(x2).
Функцию у = f(x) называют убывающей на
множестве D(f), если для любых двух точек х1
и х2 области определения, таких, что
х1 < х2
, выполняется неравенство f(x1 ) > f(x2).
(Если большему значению аргумента
соответствует большее значение функции)
(Если большему значению аргумента
соответствует меньшее значение функции)
у
у
О
О
x
x
Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют
общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.

7.

Свойства функции
Число M называют наибольшим значением
• Число m называют наименьшим значением
функции у = f(x) на множестве D(f), если:
функции у = f(x) на множествеD(f), если:
1) в области определения существует такая точка хо , 1)в области определения существует такая
точка хо , что f(хо ) = m;
что f(хо ) = M;
2)для всех х из области определения
2) для всех х из области определения выполняется
выполняется неравенство f(x) f(хо).
неравенство f(x) f(хо).
Обозначение: у наим. = у(хо) = m.
Обозначение: у наиб. = у(хо) = M.
у
у
M
хо
хо
О
х
О
х
m
Если у функции существует У наиб.,
то она
ограничена сверху.
Если функция не ограничена сверху, то У
наиб. не существует.
Если у функции существует У наим,
то она
ограничена снизу.
Если функция не ограничена снизу, то У наим.
не существует.

8. Алгоритм исследования функции

• Область определения.
• Область значений.
• Нули функции.
• Возрастание, убывание функции.
• Наибольшее, наименьшее значения функции.
• Непрерывность функции.

9. Линейная функция

K>0
1. D(у) = R;
2. Е(у) = R;
3. у = 0 при х = -m/k
4. Если k > 0, возрастает,
если k < 0 убывает;
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значения;
6. Функция непрерывна;
у
m
О
х
у
K<0
m
О
х

10.

Свойства функции
1. D(f) = [0; + ∞);
2. . Е(f) = [0; + ∞);
3. у = 0 при х = 0;
4. Возрастает;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна.
у
О
х

11. Функция

1. D(f) = R;
2. Е(f) = [0; + ∞);
3. Возрастает на [0; + ∞);
убывает ( - ∞; 0]
4. Наибольшего значения
нет,
наименьшее значение 0,
при х = 0;
6. Функция непрерывна;
y x
у
О
х

12. Функция

1. D(f) = R;
2. Е(f) = [0; + ∞)
3. у = 0 при х = 0;
4. Возрастает на [0; + ∞); убывает ( - ∞; 0]
5. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
6. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0,
при х = 0;
7. Функция непрерывна;
у ах
2
1. D(f) = R;
2. Е(f) = ( - ∞; 0];
3. у = 0 при х = 0;
4. Убывает на [0; + ∞); возрастает ( - ∞; 0]
5. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
6. Наименьшего значения нет,
наибольшее значение 0,
при х = 0;
7. Функция непрерывна;
у
О
у
х
a>0
a<0
О
х

13. Выучите правила в конспекте, решите задания: № 1. Исследуйте функцию по графику

Домашнее задание
Выучите правила в конспекте, решите задания:
№ 1. Исследуйте функцию по графику
№ 2. Найдите нули функцию