Д-31 Кривошлыков Лисов Саргсян (2)

1. РОСЖЕЛДОР Федеральное государственное бюджетное Образовательное учреждение высшего образования «Ростовский Государственный

РОСЖЕЛДОР
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
(ФГБОУ ВО РГУПС)
ТЕХНИКУМ
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
по дисциплине Математика
ТЕМА: «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ, МЕХАНИЧЕСКИЙ И
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ»
Ростов-на-Дону
2026
Выполнили: студенты группы Д-031
Специальность: 23.02.01
Кривошлыков С.А., Лисов С.О.,
Саргсян С.Г.
Руководитель: Тареева Е.А.

2. Понятие производной

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Производная — одна из ключевых идей
математического анализа, связывающая изменение
функции с реальными процессами в природе,
технике и экономике.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Геометрия
Физика
Экономика

3.

Основные определения
Формальное определение
Производная функции
y=f(x) — это предел
отношения приращения
функции к приращению
аргумента при стремлении
приращения аргумента к
нулю. Иначе говоря, она
показывает, как быстро
меняется значение
функции, если аргумент
изменяется совсем немного.
Обозначения
Дифференцирование
В математике производную
записывают по-разному:
f'(x), df/dx, dy/dx. Все эти
записи означают одно и то
же — скорость изменения
функции по отношению к
аргументу.
Процесс нахождения
производной называется
дифференцированием. Он
лежит в основе
исследования функций,
построения графиков,
определения экстремумов и
решения прикладных задач.
Если функция задана формулой, ее производная позволяет понять, где рост становится быстрым, где — замедляется, а где
функция вообще не меняется. Именно поэтому производная считается языком изменений.

4.

Геометрический смысл:
касательная к графику
Геометрический смысл производной связан с касательной к графику
функции в данной точке. Если провести касательную к кривой, то ее
наклон относительно оси абсцисс будет численно равен производной
в этой точке.
Угловой коэффициент
Интерпретация
f'(x) = tg(α), где α — угол
наклона касательной.
Чем больше производная, тем
круче возрастает функция.
Если производная
отрицательна, функция
убывает. Если производная
положительна, функция
возрастает. Если производная
равна нулю, касательная
горизонтальна.

5.

Как выглядит касательная на графике
Что мы видим на рисунке:
Главная идея
Производная в точке показывает,
насколько быстро меняется функция
именно в этой точке, а не на всем
промежутке сразу.
• Касательная приближает график в
окрестности точки.
• Производная задает наклон этой
касательной.
• Чем больше модуль производной, тем резче
изменение.
Таким образом, производная связывает точку на графике с ее геометрическим поведением. Это помогает не
только в учебных задачах, но и в инженерных расчетах, моделировании и анализе процессов.

6.

Механический смысл: скорость
изменения
В физике производная объясняет движение. Если s(t) — путь,
пройденный телом за время t, то производная v(t)=s'(t)
показывает мгновенную скорость.
1.Положение
Функция пути описывает,
где находится тело в каждый
момент времени.
2.Скорость
Первая производная
показывает, как быстро
меняется его положение.
3. Ускорение
Вторая производная описывает изменение скорости и
помогает анализировать ускорение.
Механический смысл производной особенно важен в задачах
транспорта, баллистики, робототехники и любых
динамических систем.

7.

Пример: автомобиль и его скорость
Задана функция пути
Скорость в конкретный момент
s(t) =