ФМП_3_Дифференцирование_явных_функций_2026_1

1.

Дифференцирование
явно заданных
функций
1

2.

Производные и
дифференциалы
первого порядка
2

3.

Найти частные производные первого порядка функции:
К 3.1.3. f x, y sin x x 2 y .
К 3.3.1. f x, y, z xy yz zx .
3

4.

Найти частные производные первого порядка функции:
К 3.1.3. f x, y sin x x 2 y .
f x cos x 2 xy ,
f y x 2
К 3.3.1. f x, y, z xy yz zx .
f x y z ,
f y x z ,
f z y x
4

5.

К 3.13.1. Найти дифференциал функции
f x, y 2 x 3x y x y .
4
2
2
3
5

6.

К 3.13.1. Найти дифференциал функции
f x, y 2 x 3x y x y .
4
2
2
3
Способ 1.
3
2
2
2
3
df 8 x 6 xy 3x y dx 6 x y x dy .
Способ 2.
df 8 x3 dx 6 xy 2 dx 6 x 2 ydy 3x 2 ydx x3 dy .
6

7.

К 3.14.2. Найти точки, в которых дифференциал
функции f равен 0, если
f x, y, z 2 y 2 z 2 xy 2 yz 4 x 1 .
7

8.

К 3.14.2. Найти точки, в которых дифференциал
функции f равен 0, если
f x, y, z 2 y 2 z 2 xy 2 yz 4 x 1 .
2
y
4
f x y 2 4 0
4y z
1z 7
f y 4 y 2 xy z 0 x
2
2y
2y 4
f 2z y 0
z
y
z
2
7
7
Ответ: , 2,1 и , 2, 1 .
4
4
8

9.

К 3.18.1. Найти дифференциал функции f в точке 1,0,1 , если
x
f x, y , z 2 2 2
x y z
9

10.

К 3.18.1. Найти дифференциал функции f в точке 1,0,1 , если
x
f x, y , z 2 2 2
x y z
f x
0
2
2
2 2
x
y
z
1,0,1
x 2 y
1
fy
0
df
dz .
1,0,1
2
2
2 2
2
x y z 1,0,1
x 2z
1
f z
2
2
2 2
2
x
y
z
1,0,1
x2 y 2 z 2 x 2x
10

11.

К 3.40.1. Найти градиент функции f x, y 1 x 2 y 3
в точке 1,1 .
11

12.

К 3.40.1. Найти градиент функции f x, y 1 x 2 y 3
в точке 1,1 .
grad f 1,1 2 xy3 ,3x 2 y 2
2,3
1,1
Второй способ записи:
grad f 2 xy 3 ,3x 2 y 2
1,1
2,3 .
12

13.

К 3.39.1. Найти производную функции
f x, y 3x 2 5 y 2
1 1
по направлению вектора l =
,
в точке M 1,1 .
2 2
13

14.

К 3.39.1. Найти производную функции
f x, y 3x 2 5 y 2
1 1
по направлению вектора l =
,
в точке M 1,1 .
2 2
f
1 1
2 2 .
,
grad f , l0 6 x,10 y
l
2 2 1,1
14

15.

К 3.43.1. Найти производную функции
f x, y 5x 10 x 2 y y 2
в точке M 0 по направлению вектора M 0 M , если
M 0 1,2 , M 5, 1 .
15

16.

К 3.43.1. Найти производную функции
f x, y 5x 10 x 2 y y 2
в точке M 0 по направлению вектора M 0 M , если
M 0 1,2 , M 5, 1 .
a = M 0 M 4, 3 ,
f
4 3
2
grad f , a 0 5 20 xy, 10 x 2 y ,
a
5 5 1,2
4 45 3 14 138
.
5
5
16

17.

f
К 3.48.1. Найти наибольшее значение
в т. M 1,1 ,
l
если f xy 2 3x 4 y 5 .
17

18.

f
К 3.48.1. Найти наибольшее значение
в т. M 1,1 ,
l
если f xy 2 3x 4 y 5 .
l = grad f 1,1 y 2 12 x3 y5 ,2 xy 15x 4 y 4
f
grad f
grad f , l0 grad f ,
l
grad f
11, 13 ,
1,1
grad f 290 .
18

19.

К 3.49.1. Найти единичный вектор l , по направлению
f
которого
в т. M достигает наибольшего значения, если
l
f x, y x 2 xy y 2 , M 1,2 .
19

20.

К 3.49.1. Найти единичный вектор l , по направлению
f
которого
в т. M достигает наибольшего значения, если
l
f x, y x 2 xy y 2 , M 1,2 .
grad f
l
,
grad f
grad f 2 x y, x 2 y 1,2 4,5
5
4
l
,
.
41 41
20

21.

Производные и
дифференциалы
старших порядков
21

22.

К 4.6.1. Найти частные производные второго порядка
f x 1 y 2 z 3 .
22

23.

К 4.6.1. Найти частные производные второго порядка
f x 1 y 2 z 3 .
2 3
f x 1 y z
f y 2 xyz 3
f z 3xy 2 z 2
f xx 0
3
f yy 2 xz
f zz 6 xy 2 z
f xy f yx 2 yz 3
f yz f zy 6 xyz 2
f zx f xz 3 y 2 z 2
23

24.

К 4.14. Найти второй дифференциал функции f x, y , если
1) f x, y x 1 y ,
24

25.

К 4.14. Найти второй дифференциал
1) f x, y x 1 y .
Способ 1.
df dx 1 y xdy
d 2 f d dx 1 y xdy
d 2 x 1 y dx d 1 y dxdy x d 2 y 2dxdy
0
0
dy
Способ 2. Используя символическую формулу
f x 1 y f xx f yy 0
d 2 f 2 1 dxdy
f y x
f xy 1
C1,1 f xy
2
25

26.

К 4.14. Найти второй дифференциал функции f x, y , если
2) f x, y x sin 2 y .
26

27.

К 4.14. Найти второй дифференциал
2) f x, y x sin 2 y .
Воспользуемся символической формулой.
f x sin 2 y
f y x 2sin y cos y x sin 2 y
f xx 0
f yy 2 x cos 2 y
f yx sin 2 y
d 2 f 2 sin 2 y dxdy 1 2 x cos 2 y dy 2
C21,1
f xy
C20,2
f yy
2sin 2 y dxdy 2 x cos 2 y dy 2 .
27

28.

К 4.17.1. Найти второй дифференциал функции
f x, y, z xy yz zx
28

29.

К 4.17.1. Найти второй дифференциал функции
f x, y, z xy yz zx .
f x y z
f y x z
f z y x
f xx f yy f z z 0
f xy f yz f z x 1
C21,1,0 C20,1,1 C21,0,1 2
d 2 f 2 dxdy dydz dxdz .
--------------------------------------------Замечание:
d 2 f f x 2 dx2 f y 2 dy 2 f z 2 dz 2
2 f xy dxdy f yz dydz f xz dxdz
29

30.

К 4.18.1. Найти в точке M 0,0,0 второй
дифференциал функции
f x, y, z x 4 2 y 3 3z 2 2 xy 4 zx 2 yz .
30

31.

К 4.18.1’. Найти в точке M 0,3,0 второй
дифференциал функции
f x, y, z x 4 2 y 3 3z 2 2 xy 4 zx 2 yz .
f x 4 x 3 2 y 4 z
f y 6 y 2 2 x 2 z
f z 6 z 4 x 2 y
d2 f
M
f xx 12 x 2
M
0
f y y 12 y M 36
f zz 6
f xy 2
f yz 2
f zx 4
36 dy 2 6 dz 2 2 2 dxdy 2 dydz 4 dxdz .
31

32.

3
2
d
f
К 4.21.1. Найти
, если f x, y x y .
32

33.

К 4.21.1. Найти d 3 f , если f x, y x 2 y .
d f 3 2 dx dy 6 dx dy
3
2
С32,1
2
f 2
x y
33

34.

К 4.22.4. Найти d f в точке M 0,1,2 , если
3
f x, y, z x 4 xy 2 yz 2 zx 2 .
34

35.

К 4.22.4. Найти d f в точке M 0,1,2 , если
3
f x, y, z x xy yz zx .
4
2
2
2
4 3 2 x M 0,
f xxx
f xy 2 f yz 2 f zx 2 2
C31,2,0 C30,1,2 C32,0,1 3
3
d f
6 dxdy dydz dzdx
2
M
2
2
35

36.

П р и м е р 1.13. Найти d 14 f , если f x, y, z z16 y15 2 x7 y 3 z 4 7 x3 z 2 y 4 5x9 y 7 .
Выпишем сначала все ненулевые частые производные 14-го порядка:
14 f 16! 2
– от первого слагаемого 14
z ;
z
2
14
f
– от второго слагаемого 14 15! y ;
y
14 f
– от третьего слагаемого 7 3 4 2 7!3!4!;
x y z
– от четвертого слагаемого все частные производные 14-го порядка нулевые;
– от пятого слагаемого
14 f
9!
14 f
14 f
7! 2
2
,
,
5
7!
x
5
9!7!
xy
5
9!
y .
7
7
8
6
9
5
x y
2!
x y
x y
2!
Используя символическую формулу получим:
14 f 14 14 f 14
14 f
14
7,3,4
7
3
4
d f 14 dz 14 dy C14
dx
dy
dz
7
3
4
z
y
x y z
C
7,7,0
14
14
14
14 f
7
7
8,6,0 f
8
6
9,5,0 f
9
5
dx
dy
C
dx
dy
C
dx
dy
,
14
14
x7 y 7
x8 y 6
x9 y 5
где частные производные функции f x, y, z уже вычислены.
36