ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

6.31M

Похожие презентации:

Теория вероятностей. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики

Теория вероятностей и математическая статистика

Случайные события. Основные понятия. Алгебра событий. Частота и ее свойства. Вероятность события

Основные теоремы и зависимости математической статистики. Лекция 7

Теория вероятностей и математическая статистика

Комбинаторика. Понятие выборки подмножества

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей (ТВ)

Комбинаторика. Комбинаторные объекты

Теория вероятности. События. Виды событий

1_1 Сл соб — ф24

1.

ПЕРЕСДАЧИ
Вт 11.09.2024 13.00 а.206-4
Вт 18.09.2024 13.00 а.206-4
Вт 25.09.2024 13.00 а.206-4

2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лектор – Пыжкова Ольга Николаевна
ауд. 205-4

• Лекции - 36 ч
• Практические занятия – 30 ч
• Лабораторные занятия – 6 ч (с середины ноября)
• Типовой расчет (допуск к экзамену)
• Защита типового расчета и лабораторных работ допуск к экзамену
• Экзамен
v подготовка рефератов и докладов
v создание тестов
Курс СДО «Теория вероятностей
и математическая статистика»:
• краткие теоретические сведения
• примеры решения задач
• задачи для ПЗ и ДЗ
• задания типового расчета
• тесты

4.

Список рекомендуемой литературы
Е.С. Вентцель. Теория вероятностей и математическая статистика.
В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика.
Д.Т. Письменный. Конспект лекций по теории вероятностей и
математической статистике.
5. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т.1,2.
6. Ю.С. Харин, Н.М. Зуев, Е.Е. Жук. Теория вероятностей,
математическая и прикладная статистика.
7. А.Н. Ширяев. Вероятность.
8. Е.И. Блинова, В.М. Марченко, Н.П. Можей. Теория вероятностей –
БГТУ, 2005.
9. В.М. Марченко, Т.Б. Копейкина. Методы оптимизации и
статистической обработки результатов измерений - БГТУ, 2007.
10. А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. Теория вероятностей. Примеры и
задачи.
1.
2.
3.
4.
V
V
V

5.

Раздел 1. Случайные события и их
вероятности
Теория вероятностей – это раздел современной математики,
в котором изучаются закономерности случайных явлений. Под
случайным явлением понимают явление с неопределенным
исходом, происходящее при неоднократном воспроизведении
определенного комплекса условий.
«Теория вероятностей есть, в сущности, не что иное, как здравый
смысл, сведенный к исчислению.»
Пьер Симон Лаплас

6.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к XVII в.
Первые работы по теории вероятностей представляли собой
попытки создания теории азартных игр (орлянка, кости, рулетка)
с целью дать рекомендации игрокам.
Эти игры с незапамятных
времен создавались рядом
поколений именно так,
чтобы в них исход опыта
был
независим
от
поддающихся наблюдению
условий опыта, был чисто
случайным. Само слово
«азарт» (фр. «le hazard»)
означает «случай».

7.

1654 г. - переписка Б. Паскаля и П. Ферма, в которой
обсуждаются некоторые задачи, связанные с азартными играми.
В частности, «задача об очках», которую поставил перед
Паскалем известный французский игрок XVII в. шевалье де
Мере: сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на
одновременное выпадение хотя бы раз двух шестерок было
выгодно?
Блез Паска́ль
(фр. Blaise Pascal)
(1623–1662)
Пьер де Ферма́
(фр. Pierre de Fermat)
(1601–1665)

8.

Одной из самых знаменитых задач, способствовавших
развитию теории вероятностей, была «задача о разделе ставки»,
помещенная в книге Л. Пачоли «Сумма знаний по арифметике,
геометрии, отношении и пропорции» (1494 г.):
«Двое играют в некоторую игру,
в которой шансы на победу у
каждого игрока равны. Игроки
договорились играть до победы в
6
партиях,
но
игра
остановилась, когда у одного
было 5 побед, а у другого – 3. Как
справедливо разделить ставку?
Фра Лу́ка Бартоломе́о де Пачо́ли
(итал. Fra Luca Bartolomeo de Pacioli)
(1445–1517)

9.

Решением тех же задач занимался и нидерландский ученый
Х. Гюйгенс, который, не зная подробностей переписки Паскаля
и Ферма, изобрел методику решения самостоятельно.
1657 г. - книга Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх»,
первый трактат по теории вероятностей, в предисловии которого
Гюйгенс пишет:
«Я
полагаю,
что
при
внимательном изучении предмета
читатель заметит, что имеет
дело не только с игрой, но что
здесь
закладываются
основы
очень интересной и глубокой
теории».
Христиа́н Гю́йгенс[ ван Зёйлихем
(нидерл. Christiaan Huygens)
(1601–1695)

10.

Мощным стимулом развития теории вероятностей явились
также запросы страхового дела, которое зародилось еще в
XIV в. С конца XVII в. на научной основе стало
производиться страхование от несчастных случаев и
стихийных бедствий. В XVI–XVII вв. во всех странах
Западной Европы получило распространение страхование
судов и страхование от пожара. В XVIII в. были созданы
многочисленные страховые компании и лотереи в Италии,
Фландрии, Нидерландах.

11.

1713 г. - трактат Я. Бернулли «Искусство предположений»,
в котором была сформулирована и строго доказана первая
предельная теорема теории вероятностей – Закон больших
чисел. Именно с этой работы начинается становление теории
вероятностей как математической науки.
Я́коб Берну́лли
(нем. Jakob Bernoulli)
(1655–1705)

12.

Точное
определение
вероятности
впервые
было
сформулировано
французским
математиком П. С. Лапласом
сейчас
оно
называется
классическим
определением
вероятности.
Пьер-Симо́н, маркиз де Лапла́с
(фр. Pierre-Simon de Laplace)
(1749–1827)
Лапласу принадлежит выдающаяся роль в развитии теории
вероятностей. Он впервые дал стройное и систематическое
изложение основ теории вероятностей, доказательство одной из
форм центральной предельной теоремы и развил ряд
замечательных приложений теории вероятностей к вопросам
практики, в частности, к анализу ошибок наблюдений и
измерений.

13.

Особенно быстро теория вероятностей развивалась во второй
половине XIX в. и в XX в.. Фундаментальные открытия были
сделаны в XIX в. учеными Петербургской математической
школы. Со времени появления этой школы развитие теории
вероятностей уже теснейшим образом связано с работами
российских, а в дальнейшем – советских ученых.
Виктор Яковлевич
Буняко́вский
(1804–1889)
В 1846 г. опубликован фундаментальный
учебник «Основания математической
теории вероятностей», первый курс
теории вероятностей на русском языке.
Автор - В.Я. Буняковский, создатель
современной русской терминологии в
теории вероятностей, автор оригинальных
исследований в области статистики и
демографии.

14.

Первыми русскими математиками мирового уровня в теории
вероятностей стали П.Л. Чебышёв, ученик В.Я. Буняковского,
и его ученики А.А. Марков и А.М. Ляпунов.
Пафну́тий Льво́вич
Чебышёв
(1821–1894)
Андре́й Андре́евич
Ма́рков
(1856–1922)
Алекса́ндр Миха́йлович
Ляпуно́в
(1857–1918)

15.

Долгое время теория вероятностей считалась чисто опытной
наукой и «не совсем математикой», её строгое обоснование
было разработано только в 1929 г., то есть даже позже, чем
аксиоматика теории множеств (1922).
В 1933 г. была издана книга
советского академика А.Н. Колмогорова
«Основные
понятия
теории
вероятностей», в которой было дано
аксиоматическое построение теории
вероятностей, основанное на теории
множеств.
Андре́й Никола́евич
Колмого́ров
(1903–1987)

16.

В наши дни теория вероятностей занимает одно из первых
мест в прикладных науках по широте своей области
применения; «нет почти ни одной естественной науки, в
которой так или иначе не применялись бы вероятностные
методы».

17.

§ 1. Множество элементарных событий.
Классическое определение
вероятности
Опр. 1. Достоверным называется событие, которое
обязательно произойдет при данном комплексе условий (в
данном случайном испытании, в данном случайном
эксперименте).
Опр. 2. Невозможным называется событие, которое при
данном комплексе условий заведомо не может произойти.
Опр. 3. Случайным называется событие, которое при данном
комплексе условий может как произойти, так и не произойти.
Мера возможности осуществления случайного события –
это и есть его вероятность.
Случайные события обозначают, как правило, большими
латинскими буквами: A, B, C и т. д.; достоверное событие
обозначают , а невозможное – .

18.

Опр. 4. События A и B называются несовместными, если
появление одного из них исключает появление другого в одном и
том же случайном испытании, т. е. они не могут произойти
вместе в одном испытании. События A и B называются
совместными, если они могут появиться вместе в одном
испытании.
События A1 , A2 , ..., An называются попарно несовместными,
если любые два из них несовместны.
Пример 1. Пусть наудачу подброшен правильный игральный
кубик. Рассмотрим события:
A = {выпало 3 очка};
B = {выпало не более 2 очков};
C = {выпало 2 очка}.
Здесь события A и B - несовместны
события A и C события B и C -
?

19.

20.

Опр. 5. Несколько событий образуют полную группу
событий для данного испытания, если они попарно
несовместны и в результате испытания обязательно появится
одно из них.
Иными словами, в результате испытания должно произойти
одно и только одно из этих событий.
Пример 1 (продолжение). Пусть наудачу подброшен
правильный игральный кубик. Рассмотрим события:
A = {выпало 3 очка};
B = {выпало не более 2 очков};
C = {выпало 2 очка}.
Здесь события A, B и C – образуют полную группу событий
?

21.

Опр. 5. Несколько событий образуют полную группу
событий для данного испытания, если они попарно
несовместны и в результате испытания обязательно появится
одно из них.
Иными словами, в результате испытания должно произойти
одно и только одно из этих событий.
Пример 1 (продолжение). Пусть наудачу подброшен
правильный игральный кубик. Рассмотрим события:
A = {выпало 3 очка};
B = {выпало не более 2 очков};
C = {выпало 2 очка}.
Здесь события A, B и C –не образуют полную группу событий
Введем событие D = {выпало более 3 очков}.
Тогда события A, B, D образуют полную группу событий.
не являются полной группой событий
события A, B, C и D

22.

Для одного и того же испытания можно рассматривать
различные полные группы событий. Частным случаем полной
группы событий являются противоположные события.
Опр. 6. Два события называются противоположными, если
в данном испытании они несовместны и одно из них
обязательно происходит. Событие, противоположное событию
А, обозначают A.
Опр. 7. Несколько событий в данном испытании называются
равновозможными, если ни одно из них не является объективно
более возможным, чем другие, т. е. если условия испытания не
создают преимущества в появлении какого-либо события перед
остальными.
Пример 1 (продолжение). При однократном бросании
игральной кости события A1 , A2 , A3 , ..., A6 – соответственно
выпадение одного очка, двух, трех и т. д. до шести – образуют
полную группу событий и являются равновозможными
событиями.

23.

Классическое определение вероятности
Опр. 8. Пусть проводится испытание с конечным числом попарно
1, 2 , ..., n ,
несовместных
равновозможных
исходов
образующих полную группу событий. Такие исходы называются
элементарными исходами, или элементарными событиями.
При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев.
Множество всех элементарных исходов (которое называют также
пространством элементарных исходов) будем обозначать
1, 2 , ..., n .
i
Опр.
9.
Элементарный
исход
называется
благоприятствующим появлению события A, если наступление
исхода i влечет за собой наступление события A.
Классическое определение вероятности: вероятность P( A)
m
случайного события A равна P( A) ,
n
где m m A – число элементарных исходов испытания,
благоприятствующих появлению события A, n – общее число
равновозможных элементарных исходов испытания.
!

24.

Пример 1 (продолжение). Пусть наудачу
правильный игральный кубик. Рассмотрим события:
A = {выпало 3 очка};
B = {выпало не более 2 очков};
C = {выпало 2 очка};
D = {выпало более 3 очков}.
Найдем вероятности этих событий.
подброшен
{ 1 , 2 , 3 , ..., 6 },
Множество
элементарных
исходов
содержит 6 равновозможных событий 1 , 2 , 3 , ..., 6 –
соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т. д. до шести,
поэтому n 6.
1
mA 1 P( A) ;
A { 3}
6
2 1
B { 1, 2} mB 2 P( B) ;
6 3
1
C { 2} mC 1 P(C ) ;
6
3 1
D { 4 , 5 , 6} mD 3 P( D) .
6 2

25.

Замечание. Поскольку результаты случайного испытания не
всегда образуют конечное множество равновозможных
несовместных исходов, то классическое определение
вероятности нельзя считать определением в полном смысле
этого слова, а можно только использовать как метод
вычисления вероятности для испытаний, сводящихся к схеме
случаев.
Легко видеть, что из классического определения вероятности
вытекают следующие свойства, справедливые и в общем случае.
Вероятность любого события удовлетворяет условию
0 P( A) 1.
Вероятность достоверного события равна 1: P( ) 1;
вероятность невозможного события равна 0: P( ) = 0.

26.

Элементы комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, в котором
изучаются методы подсчета числа различных комбинаций
(сколькими различными способами можно составить
множества (комбинации), удовлетворяющие определенным
условиям, из элементов заданного множества).
Правило произведения: если объект типа X можно выбрать
n способами и при каждом таком выборе объект типа Y можно
выбрать m способами, то выбор пары (X, Y) в указанном
порядке можно осуществить nm способами.
Правило суммы: если объект типа X можно выбрать n
способами, а объект типа Y – m способами, то выбор объекта
типа X или Y можно осуществить n + m способами.

27.

Пример 2. Из пункта M. в пункт N. и обратно можно
добраться тремя способами: поездом, автобусом или
самолетом; из N. в L. можно доехать автобусом или дойти
пешком. Сколько различных по способу передвижения
маршрутов можно организовать: а) из M. в L. через N.; б) из N.
либо в M., либо в L.?
Решение. а) Определим количество маршрутов, не перечисляя их.
Имеется 3 способа добраться из M. в N. и 2 способа из N. в L.
На каждый способ добраться из M. в N. приходится два способа
добраться в L.
По правилу произведения получаем 3 2 6 способов.
б) Нужно выбрать либо один из 3 вариантов добраться из N. в M.,
либо один из 2 вариантов путешествия из N. в L.
Применяя правило суммы, получаем всего 3 + 2 = 5 вариантов.

28.

Пример 3. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5:
а) трехзначных чисел, б) трехзначных чисел, состоящих из
различных цифр?
Решение. а) Каждую цифру можно выбрать 5 способами,
следовательно, по правилу произведения получаем, что всего
таких чисел 5 5 5 125
б) Первую цифру можно выбрать 5 способами;
на каждый способ выбора первой цифры приходится 4 способа
выбора второй цифры (можно взять любую цифру, кроме той
которую выбрали первый раз);
на каждый способ выбора первых двух цифр приходится 3
способа выбора третьей цифры.
По правилу произведения получаем всего 5 4 3 60 способов.

29.

Опр. 10. Пусть имеется множество, содержащее n элементов.
Каждая упорядоченная комбинация, содержащая m элементов из
этих n, называется размещением из n элементов по m. Число
размещений (упорядоченных комбинаций) из n различных
элементов по m элементам (местам), отличающихся либо самими
элементами, либо их порядком, называется числом размещений из
n по m и обозначается Anm .
Можно сказать, что число размещений Anm – это число способов
разместить m из n элементов по m местам.
С помощью правила произведения легко вычислить
Напоминание:
n!
m
An n(n 1)(n 2) (n m 1)
.
п! = 1·2·3…п,
(n m)!
m множителей
причем 0! = 1.
Опр. 11. Размещения из n элементов по n называются
перестановками (из n элементов). Число перестановок из n
элементов равно
P n(n 1)(n 2) 2 1 n!.
n
!
!

30.

Опр. 12. Пусть имеется множество, содержащее n элементов.
Неупорядоченные комбинации (порядок не имеет значения),
содержащие m элементов из данных n, называются сочетаниями
из n элементов по m. Число сочетаний из n по m обозначается Сnm .
Таким образом, число сочетаний Cnm – это число способов
выбрать m элементов из данных n элементов (порядок выбранных
элементов не учитывается).
!
Замечание. Из определения понятий размещения и сочетания
следует, что число размещений Anm и число сочетаний Cnm имеют
смысл только в случае 0 m n.

31.

Пример 4. Пусть дано множество из 4 элементов: D {a, b, c, d}.
Перечислим все сочетания из 4 данных элементов по 3. Это
все возможные подмножества, содержащие 3 элемента:
{a, b, c}; {a, b, d}; {a, c, d }; {b, c, d}.
Выпишем все размещения из 4 по 3. Это можно сделать,
переставив всеми возможными способами элементы каждого
сочетания.
abc
abd
acd
bcd
acb
adb
adc
bdc
bac
bad
cad
cbd
bca
bda
cda
cdb
cab
dab
dac
dbc
cba
dba
dca
dcb
Каждому
сочетанию
(неупорядоченному
множеству
элементов)
будет
соответствовать
3!=6
размещений,
различающихся между собой порядком элементов, поэтому
всего получится размещений A3 C 3 3! 4 6 24
4
4

32.

Аналогично рассмотренному примеру,
в общем случае подсчитать число Anm всех возможных размещений
из n по m можно следующим образом:
сперва найти число всех неупорядоченных множеств, содержащих
m элементов из данных n (таких множеств будет Cnm ),
а затем вычислить число возможных перестановок в каждом
неупорядоченном множестве (это число равно Pm ).
Anm Cnm Pm Cnm m!
m
A
n!
m
n
Cn
.
m! m!(n m)!
Свойства чисел Cnm
1. Cnm Cnn m .
2. Cn0 Cnn 1.
3. Cn1 Cnn 1 n.

33.

Вычислите:
1;
1;
1;
2;
1
3;
4;
3;
6;
Треугольник Паскаля
1
4;
1

34.

Вычислите:
1;
1;
1;
2;
1
3;
4;
3;
6;
Треугольник Паскаля
1
4;
1

35.

m
Cn
Замечание.
Числа
называют
также
коэффициентами в соответствии с биномом Ньютона:
(1 x)
n
биномиальными
Cn0 Cn1 x Cn2 x 2 ... Cnm x m ... Cnn x n
n
n
Cnm xm .
m 0

36.

Основные формулы комбинаторики:
Число перестановок из n элементов
m
Число размещений из n по m An
Pn n!
n!
n(n 1)(n 2)
(n m)!
(n m 1)
m множителей
- число способов выбрать m элементов из n
и разместить по m местам (порядок важен!)
Число сочетаний из n по m
m
Cn
n!
m!(n m)!
- число способов выбрать m элементов из n
(порядок не важен!)
п! = 1·2·3·…·п
0! = 1

37.

Пример 5. Сколько существует способов распределения
3 наград между 10 участниками соревнования, если:
а) награды различные; б) все награды одинаковые?
Решение. Это число способов выбрать 3 победителя из 10
участников и разместить их по трем местам, т. е.
а) число размещений
A103 10 9 8 720
б) число сочетаний
C103
(порядок важен);
10! 10 9 8
120
3!7! 1 2 3
(порядок не учитывается).

38.

Если при выборе m элементов из n каждый раз выбранный
элемент возвращается обратно, то возникают понятия
размещения и сочетания из n по m с повторениями.
Опр. 13. Если в размещениях из n элементов по m некоторые
элементы могут участвовать несколько раз, то такие
комбинации (упорядоченные комбинации с возможными
повторениями) называются размещениями с повторениями из
n элементов по m. Число размещений с повторениями из n
по m обозначают A mn .
Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга
элементами, их порядком или количеством повторений выбранных
элементов.
m
В силу правила произведения An n m .
Пример 6. Сколько существует четырехзначных цифровых кодов?
Решение. Каждую цифру, независимо от остальных, можно
выбрать 10 способами. По правилу произведения получаем
4
A10 104 10000.

39.

Опр. 14. Если в сочетаниях из n элементов по m некоторые
элементы могут присутствовать несколько раз, то такие
комбинации (неупорядоченные комбинации с возможными
повторениями) называются сочетаниями с повторениями из
n элементов по m. Число сочетаний с повторениями из n
m
по m обозначают C n .
m
Замечание. Число размещений с повторениями A n и число
m
сочетаний с повторениями C n , в отличие от числа размещений Anm
и числа сочетаний Cnm без повторений, имеют смысл при любых
соотношениях между m и n.

40.

Утв. 1.
m
C n Cnm m 1.
Доказательство. Пусть имеется множество, содержащее n
элементов. Обозначим их a1, a2 , , an .
Поскольку в сочетаниях порядок элементов не имеет
значения, то запишем каждое сочетание, упорядочив его
элементы и разграничив группы одинаковых элементов.
Например, сочетание
a1a1 || a3a3 | a4 | a5 | | an an
a1a3a3an an a4a5a1
Здесь m выбранных элементов
и n-1 разделяющих линий, т.е.
всего n+m-1 элементов.
Тогда разные сочетания с повторениями отличаются друг от
друга только позициями разделяющих линий, поэтому
количество различных сочетаний с повторениями из n по m равно
числу способов выбрать из n+m-1 позиций n-1 мест для
разделяющих линий, т.е. C m C n 1 C m . Доказано.
n
n m 1
n m 1

41.

Пример 7. В магазине продается 10 видов тортов. Очередной
покупатель выбил чек на 3 торта. Определим количество
возможных вариантов заказа.
Решение. Будем каждой из 3 позиций в чеке ставить в
соответствие вид торта.
С повторениями
Сочетания с повторениями
Повторения возможны? ДА
НЕТ
Порядок важен?
Выбираем на 3 позиции виды тортов с возможными
повторениями из 10 имеющихся видов (но порядок
выбора не важен!)
3
12! 12 11 10
3
3
C10 C10 3 1 C12
220.
3!9!
1 2 3

42.

Пример 8. В гостинице 10 комнат, в каждой из которых можно
разместить 4 человека. Сколько существует вариантов
размещения прибывших 4 гостей?
Решение. Каждого гостя, независимо от остальных, можно
поселить в любой из 10 комнат.
Будем каждому из 4 гостей ставить в соответствие номер
комнаты.
Повторения возможны? ДА
ДА
Порядок важен?
С повторениями
Размещения с повторениями
Размещаем номера комнат (выбираем из 10 комнат)
в списке из 4 лиц
= размещаем 10 номеров комнат по 4 позициям
4
A10 104 10000.

43.

Опр. 15. Пусть имеется множество, содержащее n элементов,
причем в этом множестве элемент a1 повторяется n1 раз, элемент
a2 – n2 раз, …, элемент ak – nk раз, где n1 n2 nk n. Число
перестановок этих элементов, отличающихся порядком
расположения различных элементов, называется числом
перестановок с повторениями и обозначается Pn (n1; n2 ; ; nk ).

44.

n!
.
n1 !n2 ! nk !
Доказательство. Пусть имеется множество из n элементов,
причем элемент a1 повторяется n1 раз, элемент a2 – n2 раз, …,
элемент ak – nk раз, где n1 n2 nk n.
Утв. 2. Pn (n1; n2 ;
; nk )
Для перестановки этих элементов выберем сначала n1 мест для
элемента a1 ( Cnn1 способов),
затем n2 мест для a2 из оставшихся n n1 мест ( Cnn 2 n1 способов),
n3 мест для элемента a3 из оставшихся n n1 n2 мест ( Cnn 3 n1 n2
способов) и т. д.
Pn (n1; n2 ; ; nk ) Cnn1Cnn 2 n1Cnn 3 n1 n2 Cnn k n1 n2 nk 1
n!
(n n1 )!
(n n1 n2 )!
n1 !(n n1 )! n2 !(n n1 n2 )! n3 !(n n1 n2 n3 )!
n!
(n n1 n2 nk 1 )!
.
n1 !n2 ! nk ! Доказано.
nk !0!

45.

Пример 9. Сколькими способами можно переставить буквы в
слове «КОЛОКОЛ»?
Решение. Здесь n1 2 буквы К, n2 2 буквы Л и n3 3 буквы
О,
всего n n1 n2 n3 7 букв. Следовательно, число
перестановок с повторениями этих 7 букв равно
P7 (2; 2; 3)
7!
2!2!3!
7 6 5 4
7 6 5 210.
2 2

46.

Пример 10. Сколькими способами можно разделить 11
спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
Решение. 1 способ. Выберем сначала 4 спортсмена в первую
группу ( C114 способов),
затем из оставшихся 11 4 7 спортсменов выберем 5 человек
во вторую группу ( C75 способов),
оставшиеся 2 спортсмена попадают в третью группу (выбираем
2 спортсмена из двух C22 способами).
По правилу произведения получим, что число способов
деления 11 спортсменов на такие 3 группы равно
C114 C75C22
11! 7! 2!
4!7! 5!2! 2!0!
11!
4!5!2!
11 10 9 8 7 6
11 10 9 7 6930.
4 3 2 1 2

47.

Пример 10. Сколькими способами можно разделить 11
спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно?
2 способ. Возьмем список спортсменов и каждому поставим
в соответствие номер группы.
Тогда число способов деления 11 спортсменов на указанные
3 группы равно числу перестановок номеров групп, среди
которых четыре раза повторяется номер 1, пять раз номер 2 и
два раза номер 3, т. е.
11!
P11 (4; 5; 2)
6930.
4!5!2!
Замечание. Число способов разделить n элементов на группы
так, чтобы в первой группе оказалось n1 элементов, во второй n2
элементов, …, в последней nk элементов, где n1 n2 nk n,
равно числу перестановок с повторениями Pn (n1; n2 ;
; nk ).

48.

49.

Тест 1 «Случайные события: основные понятия».
1.1. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) совместны;
Рассмотрим события:
2) несовместны;
A = {выбрано четное число},
3) противоположны;
B = {выбрано нечетное число},
4) образуют полную
C = {выбранное число меньше 5},
группу событий.
D = {выбранное число больше 5}.
События A и B…
(Выберите все правильные варианты.)
1.2. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) совместны;
Рассмотрим события:
2) несовместны;
A = {выбрано четное число},
3) противоположны;
B = {выбрано нечетное число},
4) образуют полную
C = {выбранное число меньше 5},
группу событий.
D = {выбранное число больше 5}.
События A и C…
(Выберите все правильные варианты.)

50.

Тест 1 «Случайные события: основные понятия».
1.2. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) совместны;
Рассмотрим события:
2) несовместны;
A = {выбрано четное число},
3) противоположны;
B = {выбрано нечетное число},
4) образуют полную
C = {выбранное число меньше 5},
группу событий.
D = {выбранное число больше 5}.
События A и C…
(Выберите все правильные варианты.)
1.3. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) совместны;
Рассмотрим события:
2) несовместны;
A = {выбрано четное число},
3) противоположны;
B = {выбрано нечетное число},
4) образуют полную
C = {выбранное число меньше 5},
группу событий.
D = {выбранное число больше 5}.
События C и D…
(Выберите все правильные варианты.)

51.

Тест 1 «Случайные события: основные понятия».
1.3. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) совместны;
Рассмотрим события:
2) несовместны;
A = {выбрано четное число},
3) противоположны;
B = {выбрано нечетное число},
4) образуют полную
C = {выбранное число меньше 5},
группу событий.
D = {выбранное число больше 5}.
События C и D…
(Выберите все правильные варианты.)
1.4. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) 0,1;
Рассмотрим события:
2) 0,2;
A = {выбрано четное число},
3) 0,3;
B = {выбрано нечетное число},
4) 0,4;
C = {выбранное число меньше 5},
5) 0,5.
D = {выбранное число больше 5}.
Вероятность события C равна…

52.

Тест 1 «Случайные события: основные понятия».
1.4. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) 0,1;
Рассмотрим события:
2) 0,2;
A = {выбрано четное число},
3) 0,3;
B = {выбрано нечетное число},
4) 0,4;
C = {выбранное число меньше 5},
5) 0,5.
D = {выбранное число больше 5}.
Вероятность события C равна…
1.5. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) D;
Рассмотрим события:
2) E;
A = {выбрано четное число},
3) F;
B = {выбрано нечетное число},
4) G;
C = {выбранное число меньше 5},
5) H.
D = {выбранное число больше 5};
E = {выбранное число равно 5};
F = {выбранное число больше 4};
G = {выбранное число не меньше 5};
H = {выбранное число больше или равно 5}.
Противоположным событию C является
событие…
(Выберите все правильные варианты.)

53.

54.

55.

Тест 1 «Случайные события: основные понятия».
1.5. Наугад выбирается целое число от 1 до 10. 1) D;
Рассмотрим события:
2) E;
A = {выбрано четное число},
3) F;
B = {выбрано нечетное число},
4) G;
C = {выбранное число меньше 5},
5) H.
D = {выбранное число больше 5};
E = {выбранное число равно 5};
F = {выбранное число больше 4};
G = {выбранное число не меньше 5};
H = {выбранное число больше или равно 5}.
Противоположным событию C является
событие…
(Выберите все правильные варианты.)

56.

Тест 2 «Элементы комбинаторики».
m
2.1. Число способов выбрать m различных
m
m
A ;
C ;
элементов из имеющихся n элементов равно: 1) n 2) n 3) An ;
m
4) C n ; 5) mn.
2.2. Дано множество из 3 элементов: {a1 , a2 , a3}.
А) Размещениями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
Б) Сочетаниями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
В)
Размещениями
с
повторениями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
Г) Сочетаниями с повторениями
из 3 элементов этого множества
по 2 являются комбинации…
1) ( a1 , a1 ), ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ),
( a2 , a1 ), (a2 , a2 ), (a2 , a3 ),
(a3 , a1 ), (a3 , a2 ), ( a3 , a3 );
2) ( a1 , a1 ), ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ),
(a2 , a2 ), (a2 , a3 ), ( a3 , a3 );
3) ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ), ( a2 , a1 ),
(a2 , a3 ), (a3 , a1 ), (a3 , a2 );
4) ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ), ( a2 , a3 );
5) ( a1 , a1 ), ( a2 , a2 ), ( a3 , a3 ).
(Укажите для каждой буквы номер правильного варианта ответа.)

57.

Тест 2 «Элементы комбинаторики».
2.3. Число перестановок 5 элементов равно:
1) 5; 2) 25; 3) 24; 4) 120;
5) 720.
2.4. Из карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 взяли 1) 18; 2) 20; 3) 56;
наудачу три карточки. Сколько различных 4) 120; 5) 216.
наборов могли получить?
2.5. Имея карточки с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1) 18; 2) 20; 3) 56;
составляли трехзначные числа. Сколько 4) 120; 5) 216.
различных вариантов могло получиться?

58.

Тест 2 «Элементы комбинаторики».
m
2.1. Число способов выбрать m различных
m
m
A ;
C ;
элементов из имеющихся n элементов равно: 1) n 2) n 3) An ;
m
4) C n ; 5) mn.
2.2. Дано множество из 3 элементов: {a1 , a2 , a3}.
А) Размещениями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
Б) Сочетаниями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
В)
Размещениями
с
повторениями из 3 элементов
этого множества по 2 являются
комбинации…
Г) Сочетаниями с повторениями
из 3 элементов этого множества
по 2 являются комбинации…
1) ( a1 , a1 ), ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ),
( a2 , a1 ), (a2 , a2 ), (a2 , a3 ),
(a3 , a1 ), (a3 , a2 ), ( a3 , a3 );
2) ( a1 , a1 ), ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ),
(a2 , a2 ), (a2 , a3 ), ( a3 , a3 );
3) ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ), ( a2 , a1 ),
(a2 , a3 ), (a3 , a1 ), (a3 , a2 );
4) ( a1 , a2 ), (a1 , a3 ), ( a2 , a3 );
5) ( a1 , a1 ), ( a2 , a2 ), ( a3 , a3 ).
А3Б4В1Г2
(Укажите для каждой буквы номер правильного варианта ответа.)

59.

60.

§ 2. Методы задания вероятностей
1. Классическое определение вероятности: вероятность
m
P( A) случайного события A равна P( A) ,
n
где m m A – число элементарных исходов испытания,
благоприятствующих появлению события A, n – общее число
равновозможных элементарных исходов испытания.
Замечание. Для использования классического определения
!вероятности
необходимо, чтобы случайный эксперимент
сводился к схеме случаев, т. е.:
1) элементарные исходы эксперимента равновозможны;
2) конечное (или счетное) число элементарных исходов.
!
!

61.

Пример 1. В урне содержится N шаров, из них M белых,
остальные – черные. Наудачу вынимают n шаров. Какова
вероятность того, что среди вынутых шаров ровно m белых?
Решение. Имеет место следующая схема:
Имеем:
Извлечь:
M белых
m белых
P(A) =
C Mm
+ (N – M) черных
+ (n – m) черных
C Nn mM
Число благоприятствующих исходов
= число способов выбрать m шаров из
имеющихся M белых шаров
и при каждом этом выборе извлечь n-m
шаров из имеющихся N-M черных
шаров
CMm CNn mM
P( A)
.
n
CN
= N шаров
= n шаров
/ C Nn
Число элементарных
исходов
= число способов
выбрать n шаров из
имеющихся N шаров

62.

2. Геометрическая вероятность используется, если исходы
случайного эксперимента равновозможны, но образуют бесконечное
несчетное пространство элементарных исходов, которое можно
представить в виде некоторой геометрической фигуры на числовой
прямой, на плоскости или в пространстве.
Опр. 1. Пусть G – геометрическая
фигура (область), представляющая
пространство элементарных исходов
данного эксперимента; g – область,
представляющая все элементарные
исходы, благоприятствующие событию A.
Геометрической вероятностью события
A называется отношение меры области g к
мере области G:
!
( g )
P( A)
.
(G)
При этом если G – отрезок или кривая, то (G ) – длина отрезка или кривой;
если G – плоская область, то (G ) – площадь этой области; если G –
пространственное тело, то (G ) – объем этого тела.

63.

Пример 2. В квадрат со стороной a наудачу брошена точка.
Какова вероятность того, что она попадет на вписанный в
квадрат круг?
P( A)
Sкр
Sкв
a
2
a2
2
.
4

64.

Верно ли утверждение:
+
Если событие А – невозможное, то P(A)=0.
Если P(A)=0, то событие А – невозможное.
A
+
Если событие А – достоверное, то P(A)=1.
Если P(A)=1, то событие А – достоверное.

65.

Пример 3 (задача о встрече). Два лица И. и М. договорились
встретиться в течение определенного часа, в пределах которого
они приходят случайным образом (наудачу), причем И. ждет 20,
а М. – 10 минут. Найдем вероятность того, что они встретятся.
Решение. Пусть x – время прихода И., а y – время прихода М.
(в минутах от начала указанного часа).
Множество элементарных исходов
{( x; y) : 0 x 60, 0 y 60}
S 602 3600.
Событие A ={встреча состоится}
={каждое лицо придет не позже,
чем другое уйдет после ожидания}, т. е.
A {( x; y) : x y 10, y x 20}
A {( x; y) : y x 10, y x 20}

66.

y
60
y x 20
A
y x 10
20
O
10
60
x
S A 3600 12 40 40 12 50 50 31
P( A)
0,43.
S
3600
72

67.

§ 2. Методы задания вероятностей
1. Классическое определение вероятности используется, если:
1) элементарные исходы эксперимента равновозможны;
2) конечное (или счетное) число элементарных исходов.
2. Геометрическая вероятность используется, если:
1) элементарные исходы эксперимента равновозможны,
2) но образуют бесконечное несчетное пространство
элементарных исходов, которое можно представить в виде
некоторой геометрической фигуры на числовой прямой, на
плоскости или в пространстве.

68.

3. Статистическая вероятность.
Классическое определение вероятности неприменимо, если
элементарные исходы не равновозможны (например, при бросании
неправильной игральной кости).
Опр. 2. Пусть при проведении n испытаний событие A появилось в
m
m испытаниях. Отношение w( A)
называется относительной
n
частотой появления события A в данной серии испытаний.
Относительная частота не постоянна. Если провести еще одну
серию из n или n1 испытаний, то событие A появится m1 раз, причем
m1 m
, но если n и n1 достаточно велики и условия эксперимента
n1
n
m
m
достаточно стабильны, то 1 .
n1
n
Опр. 3. Если относительная частота события обладает
свойством статистической устойчивости, т. е. в различных сериях
испытаний
изменяется
незначительно,
в
качестве
статистической
вероятности
события
принимают
относительную частоту или ее приближенное значение.

69.

Пример 4. Известно, что среди новорожденных больше
мальчиков, чем девочек. По официальным статистическим
данным, относительная частота рождения девочек в Беларуси
в 2003–2018 гг. варьировалась следующим образом:
2003 – 0,485;
2007 – 0,485;
2011 – 0,486;
2015 – 0,484;
2004 – 0,487;
2008 – 0,485;
2012 – 0,485;
2016 – 0,485;
2005 – 0,487;
2009 – 0,485;
2013 – 0,485;
2017 – 0,486;
2006 – 0,485;
2010 – 0,484;
2014 – 0,483;
2018 – 0,487.
Это дает основания считать вероятность рождения
девочек приблизительно равной 0,485.

70.

Тест 3 «Методы задания вероятностей».
3.1. В урне содержится 5 шаров, из них 3 синих,
1
3
1
1)
2)
3)
;
;
;
остальные – красные. Наудачу вынимают
10
3
2
один шар. Какова вероятность того, что он
3
2
синий?
4) ; 5) .
5
3
3.2. В урне содержится 5 шаров, из них 3 синих,
1
1
6
; 2) ; 3)
;
остальные – красные. Наудачу вынимают 1)
10
5
25
2 шара. Какова вероятность того, что среди
3
3
вынутых шаров только один синий?
4)
; 5) .
10
5

71.

Тест 3 «Методы задания вероятностей».
3.3. От прямоугольника со сторонами 3 и 4
3
9
7
; 3) ;
отрезок
AB
отсекает
квадрат.
В 1) ; 2)
16
16
4
прямоугольник наудачу брошена точка.
Какова вероятность того, что точка попадет в 4) 1 ; 5) 0.
указанный квадрат?
4
3.4. В условиях задания 3.3. какова вероятность
3
9
7
1)
2)
3)
;
;
;
того, что точка попадет на отрезок AB?
3.5. Выберите все верные утверждения.
16
4
1
4) ; 5) 0.
4
1
Если событие A – невозможное, то P( A) 0.
2
Если P( A) 0, то событие A – невозможное.
3
Если событие A – достоверное, то P( A) 1.
4
Если P( A) 1, то событие A – достоверное.
5
0 P( A) 1 для любого события А.
0 P( A) 1 для любого события А.
6
16

72.

73.

English Русский Правила