11_2 +Ряды

1.

§ 3. Знакочередующиеся и
знакопеременные ряды
Опр. 1. Числовой ряд, содержащий бесконечное
множество положительных и бесконечное множество
отрицательных членов, называется знакопеременным.
Опр. 2. Числовой ряд, у которого любые два соседних
члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

2.

Т 1 (признак Лейбница). Если модули членов
знакочередующегося ряда
a1 a2 a3 a4 ... ( 1) n 1 an , где an 0, (1)
n 1
удовлетворяют условиям:
1) монотонно убывают, т. е. an an 1 для всех n;
2) lim an 0,
n
то такой знакочередующийся ряд сходится и его сумма S a1.
Доказательство Рассмотрим сумму n=2m первых членов ряда (1):
S2 m a1 a2 a3 a4 ... a2 m 1 a2 m
Так как последовательность абсолютных величин членов ряда
монотонно убывает выражение в каждой скобке положительно,
значит S2m — положительна (S2m>0) и возрастает с увеличением m.
Запишем эту же сумму по-другому:
S2 m a1 a2 a3 a4 a5 ... a2 m 2 a2 m 1 a2 m
В силу 1 условия каждая из скобок положительна, поэтому в
результате вычитания этих скобок из a1 мы получим число, меньшее
2
чем a1, то есть S 2 m a1

3.

Таким образом, S2m при увеличении m возрастает и ограничена
сверху, следовательно, S2m имеет предел lim S2 m S , 0 S a1
m
Мы доказали, что последовательность «четных» частичных сумм
имеет предел S.
Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также
стремятся к пределу S.
Рассмотрим сумму n=2m+1 первых членов ряда (1)
S 2 m 1 S2 m a2 m 1
Так как по условию lim an 0 , то
n
lim S 2 m 1 lim S2 m lim a2 m 1 lim S2 m 0 S
m
m
m
m
Итак, последовательность «нечетных» частичных сумм имеет
Доказано
предел S. Таким образом, ряд (1) сходится.
Замечания
1. Теорема Лейбница справедлива, если неравенства
a1>a2>a3>…>an>… выполняются, начиная с некоторого номера
3
N.

4.

2. Теорема Лейбница геометрически иллюстрируется следующим
образом. Будем на числовой прямой откладывать частичные
суммы:
S1 a1 S2 a1 a2 S1 a2 S3 S2 a3 S4 S3 a4 S5 S4 a5
Точки, соответствующие частичным суммам, будут
приближаться к некоторой точке S, которая изображает сумму
ряда.
Следствие. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет
условиям признака Лейбница, то rn an 1.
r5
r4
S4
0 S2
-a2
-a4
S
+a5 +a3
S5
+a1
S3
S1=a1 x
4

5.

3. Оценка ошибки.
Заменим S частичной суммой Sn. Оценим ошибку, которую мы
допускаем при данной замене.
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой знакочередующийся
ряд (-1)n+1(an+1-an+2+…) сумма которого по абсолютной величине
меньше первого члена этого ряда (то есть меньше an+1), т.е. |rn| ≤ an+1
Значит, ошибка, совершаемая при замене S на Sn, не превосходит
по абсолютной величине первого из отброшенных членов.
Ряды, для которых выполняется признак Лейбница, называются
рядами Лейбница (лейбницевского типа).
5

6.

( 1) n 1
Пример 1. Исследуем сходимость ряда
n 1
n
.
Это знакочередующийся ряд.
1
Модуль общего члена ряда an .
n
Применим признак Лейбница:
1) a 1 a 1
при всех n;
n
n 1
n
1 n 1
2) lim an lim 0.
⇒ ряд сходится.
n
n n
( 1) n 1
Пример 2. Исследуем сходимость ряда
.
n!
n 1
Это знакочередующийся ряд.
1
Модуль общего члена ряда an .
Применим признак Лейбница: n!
1
1) a 1 a 1
n
n 1
при всех n;
n!
(n 1)! n!(n 1)
1
2) lim an lim 0.
ряд сходится.
⇒
n
n n!
6

7.

Замечание. Признак Лейбница является достаточным
признаком сходимости знакочередующегося ряда. Если не
выполняется условие 1 признака Лейбница, знакочередующийся
ряд может как сходиться, так и расходиться.
!
Пример 3. Можно показать, что:
а) ряд 1
1
1
1
1
1
...
...
2 1
2 1
3 1 3 1
n 1 1
n 1 1
б) ряд 1
расходится;
1 1 1 1 1 1 1
1
1
...
...
5 2 8 5 11 8 14 11
3n 2 3n 1
сходится.
Эти ряды являются знакочередующимися, для каждого из них
выполняется условие 2 признака Лейбница, но не выполняется условие 1
о монотонном убывании модулей членов ряда.
Упражнение 1. Проверить утверждение примера 3 о сходимости и
расходимости указанных рядов.
7

8.

Пример 2 (продолжение). Вычислим с точностью до 0,01
( 1) n 1
сумму ряда
1 1 1 1 1 1
S
1 ...
n!
2! 3! 4! 5! 6! 7!
n 1
1
an .
1 1 1
1
1
1
n!
1
....
2 6 24 120 720 5040
Вычислим несколько первых
S Sn rn , rn 0,01 n = ?
частичных сумм ряда:
Ряд знакочередующийся, удовлетворяет
S1 1;
условиям признака Лейбница
rn an 1.
1
S2 1 0,5;
Выберем n так, чтобы
2 1 1 2
1
S3 1 0,667;
rn an 1
0,01.
2 6 3
(n 1)!
2 1 5
S4
0,625;
1 1
n 3 r3 a4
0,01,
3 24 8
4! 24
5 1
19
S5
0,633; n 4 r a 1 1 0,01,⇒ n = 4
4
5
8 120 30
5! 120
19
1
1 1 1
S6
0,632;
S
S
1
0,625 0,63.
4
30 720
2 6 24
....

9.

Пример 2 (продолжение). Вычислим с точностью до 0,01
( 1) n 1
сумму ряда
1 1 1 1 1 1
S
1 ...
n!
2! 3! 4! 5! 6! 7!
n 1
1
an .
1 1 1
1
1
1
n!
1
....
2 6 24 120 720 5040
Вычислим несколько первых
S Sn rn , rn 0,01 n = ?
частичных сумм ряда:
Ряд знакочередующийся, удовлетворяет
S1 1;
условиям признака Лейбница
r a .
1
S2 1 0,5;
2 1 1 2
S3 1 0,667;
2 6 3
2 1 5
S4
0,625;
3 24 8
n
n 1
Выберем n так, чтобы
1
rn an 1
0,01.
(n 1)!
⇒n=4
Упражнение. Сколько членов этого ряда нужно взять, чтобы
вычислить его сумму с точностью до 0,001?

10.

§ 3. Знакочередующиеся и
знакопеременные ряды
Числовой ряд - выражение вида
где un - числа
un u1 u2 u3 ... un un 1 ...
n 1
Знакопостоянный
Знакопеременный
числовой ряд числовой ряд начиная с некоторого номера, все
содержит бесконечно много
положительных и бесконечно много члены ряда одного знака
- содержит конечное число членов
отрицательных членов
одного знака и бесконечно много
Знакочередующийся членов другого знака
…
числовой ряд знаки членов ряда чередуются
- частный случай знакопеременного ряда
- сходимость знакочередующегося ряда можно доказать
с помощью признака Лейбница
- признак Лейбница позволяет также оценить остаток
знакочередующегося ряда и вычислить сумму ряда с
заданной точностью

11.

Ряд называется знакопеременным, если его члены есть
действительные числа произвольного знака.
Особый интерес представляет случай, когда знакопеременный ряд
содержит бесконечно много как положительных, так и
отрицательных членов.
Знакочередующийся ряд является частным случаем
знакопеременного ряда.
Пусть дан знакопеременный ряд un. Составим ряд из модулей
членов данного ряда un
n 1
n 1
Теорема (достаточный признак сходимости
знакопеременного
ряда). Пусть дан знакопеременный ряд un . Если ряд un ,
n 1
состоящий из модулей данного знакопеременного ряда, n 1
сходится, то сходится и исходный ряд.
Доказательство: Пусть S n u1 u2 ... un n u1 u2 ... un
n-ные частичные суммы рядов un и un соответственно. 11

12.

Раз ряд сходится абсолютно, то lim n , причем n n
n
Обозначим через S̛n сумму положительных членов, а через − S"n
сумму отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn.
Тогда Sn = S̛n - S"n , σn=S̛n +S"n .
Из последнего равенства следует, что последовательности (S̛n) и
(S̛n) монотонно возрастают при возрастании n , а из того, что
n n следует, что они ограничены, т.е. Sn n , Sn n
S n S lim S n S
Следовательно, существуют пределы lim
n
n
Sn lim S n S n S S т.е. ряд сходится. Доказано
Значит, lim
n
n
n 1
n 1
Следствие. Если ряд un расходится, то un расходится.
Таким образом, возможны следующие три ситуации.
Ряд un является …
если ряд un …
1) абсолютно сходящимся
2) условно сходящимся
сходится
сходится
расходится
расходится
n 1
3) расходящимся
n 1
Т