Ряды. Тема 10

1. Тема 10: «Ряды»

© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД
Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
§2. Знакоположительные ряды. Признаки
сходимости
П. 1. Признак сравнения
П. 2. Признак Даламбера
П. 3. Радикальный признак Коши
П. 4. Интегральный признак Коши
© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД
§3. Знакочередующиеся ряды
§4. Абсолютная и условная сходимость
знакочередующегося ряда
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
§7. Разложение элементарных функций в ряд
§8. Приложения степенных рядов
§9. Ряды Фурье
© Компьютерное оформление: Головко Р.С.
студент СтГАУ факультет ФБД

2. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные
понятия)
Выражение вида a1 + a2 +…+ an +…
называется рядом.
Символы a1, a2 и an называются
членами ряда. Члены ряда могут
означать числа, функции, векторы,
матрицы и т.д.
Ряд, все члены которого числа
называется числовым рядом;
an – n-ый или общий член ряда.

3. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Очень часто ряд записывается в
сокращенной форме:
a1 a 2 a n a n
n 1
Многоточие указывает на то, что
в выражении a1 + a2 +…+ an +…
нет последнего слагаемого.

4. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Таким образом, ряд –
бесконечная сумма, поэтому
выражение a1 + a2 +…+ an +…
обозначают математическим
символом ∑ , которому придают
определённый смысл.

5. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Пример:
1 2 4 8 2
n 1
n 1
1 1 1
1
1
3 5 7
n 1 2n 1

6. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Сумма конечного числа n
первых членов ряда a1 + a2 +…+
an +… Sn равна
n
a1 a2 an ak
k 1
– называется n-ой частной
суммой данного ряда

7. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Пример:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 + a2 + … + an

8. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Если значение частных сумм Sn ,
при неограниченном возрастании n
стремятся к некоторому числу S, то
ряд называется сходящимся, т.е.
lim Sn S
n
, а число S называется суммой ряда.

9. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Если
lim Sn
n
или не существует, то ряд
называется расходящимся и
суммы не имеет.

10. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Пример:
При неограниченном
1 1 1
1
возрастании n все
3 9 27 81
частные суммы
1
1
1 1 4 приближаются к
,
S1 S2
2
3
3 9 9
1 1
1
13 поэтому можно 1
S3
считать, что S и
3 9 27 27
2
1 1 1 1 40 следовательно ряд
S4
3 9 27 81 81 сходящийся.

11. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Пример: найти сумму ряда
1–1+1–1+1–1+…
S1 = 1
S2 = 0
S3 = 1
S4 = 0
То есть сумма не определена, а
следовательно ряд расходящийся.

12. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Ряд состоящий из членов
геометрической прогрессии с в1 и q
называется геометрическим рядом
в1 + в1q + в1q2 + … + в1qn-1 + … –
сумма n членов геометрической
прогрессии равна:
n
b1 * (1 q )
Sn
,q 1
1 q

13. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Рассмотрим два случая:
1. |q| < 1
b1 b1 * q
lim S n lim
1 q
n
n
n
n 0
b
b1 * q
b1
lim
lim
1 q
n 1 q n 1 q
b1
Отсюда Sn
, => ряд сходящийся.
1 q

14. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
2. |q| > 1
lim Sn
n
Следовательно ряд расходящийся.

15. §1. Числовые ряды (основные понятия)

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§1. Числовые ряды (основные понятия)
Выявление сходимости рядов
необходимо для того, чтобы
выявить действия над рядами.
Только над сходящимися рядами
можно выявить определённые
действия. Так как нахождение
предела частных сумм достаточно
сложно, то сходимость ряда
определяют другими методами.

16. §2. Знакоположительные ряды. Признаки сходимости

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§2. Знакоположительные ряды.
Признаки сходимости
Ряд называется
знакоположительным, если все
его члены положительны (an > 0).
Для таких рядов существуют
следующие достаточные условия
сходимости ряда, т.е. признаки
сходимости.

17. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
П.1. Признак сравнения
25.05.2023
14:25
Даны два ряда с
положительными членами:
a1 + a2 + … + an + …
в1 + в2 + … + вn + …
(an < вn),
т.е. каждый член 1-го ряда
не превосходит соответствующего
члена 2-го ряда.

18. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Тогда, если сходится ряд
в1 + в2 +…+ вn + …, то сходится
и ряд a1 + a2 +…+ an + …, а если
расходится ряд a1 + a2 +…+ an + …,
то расходится и ряд
в1 + в2 +…+ вn + …

19. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Замечания:
1) Остальные ситуации ответов
не дают;
2) Этот признак работает, если
условие an ≤ вn начинает
выполняться с некоторого номера n;
3) Этим признаком пользуются
сравнивая данный ряд с рядом
сходимость которого известна.

20. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Такими рядами являются:
1) Гармонический ряд
1
– обобщённый
, p R гармонический
p
n 1 n
ряд.
а) Если p = 1:
– гармонический
1 ряд расходится
n 1 n

21. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
б) Если p ≤ 0, тогда не выполняется
необходимое условие сходимости
ряда, значит ряд расходится;
в) Если 0 < p ≤ 1 – ряд
расходящийся;
г) Если p > 1 – ряд сходящийся.
2) Ряд состоящий из членов
геометрической прогрессии:
а) |q| < 1 – сходится;
б) |q| > 1 – расходится.

22. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Со сходящимися рядами
можно выполнять
следующие действие:
сложение, вычитание,
умножение и деление.
Они выполняются как
действия над многочленами.

23. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Пример: исследовать сходимость
ряда признаком сравнения.
Сравним данный ряд с
расходящимся гармоническим:
2n 2 5 1
3
n
n
n 1
n 1

24. П.1. Признак сравнения

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.1. Признак сравнения
Выбор такого ряда для
сравнения может подсказать то,
что при больших n дробь
2
2n 5
n
3
2
n
Поэтому по признаку сравнения
данный ряд, как и гармонический
является расходящимся.

25. П.2. Признак Даламбера

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.2. Признак Даламбера
Этот признак является весьма
удобным на практике и наиболее
часто используется, если для ряда
a1 + a2 +…+ an +… существует
an 1
,
то
при
M
<
1
–
ряд
M
lim a
является сходящимся;
n
n
при M > 1 – расходящимся и при
M = 1 – вопрос остаётся открытым
(надо сменить признак).

26. П.2. Признак Даламбера

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.2. Признак Даламбера
Н/р: исследовать сходимость ряда
1
1
1
1
...
...
n
3 2 * 32 3 * 33
n* 3
an
1
n* 3
n
; an 1
1
( n 1) * 3
n 1

27. П.2. Признак Даламбера

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.2. Признак Даламбера
поэтому по признаку Даламбера:
n
an 1
n* 3
lim
lim
n 1
a
n n
n ( n 1) * 3
1
n
1
1
* lim
* 1 < 1 => ряд
3 n n 1 3
3 сходящийся

28. П.3. Радикальный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.3. Радикальный признак Коши
Если для ряда
a1 + a2 +…+ an +… существует
na L
lim n
, то при
n
L < 1 – ряд сходится;
L > 1 – ряд расходится;
L = 1 – требуется другой признак
сходимости ряда.

29. П.3. Радикальный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.3. Радикальный признак Коши
Н/р: исследовать ряд на
сходимость:
3n 1 n
n 1 5n 2
lim
n
na
3n 1 3
< 1 => ряд
n lim
n 5n 2 5
сходящийся

30. П.4. Интегральный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.4. Интегральный признак Коши
Если функция y = f(x)
непрерывная и монотонно
убывающая при x ≥ 1 и такая, что
f(n) = an, при n N, где an – члены
ряда, то данный ряд сходится в
зависимости от сходимости или
расходимости несобственного
интеграла:
f ( x )dx
1

31. П.4. Интегральный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.4. Интегральный признак Коши
Н/р: исследовать ряд на
сходимость
1
n 1 ( 3n 2)
f ( x)
2
1
( 3n 2)
2
– функция
непрерывная и убывающая при x > 1
(условие Коши)

32. П.4. Интегральный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.4. Интегральный признак Коши
в
dx
2
2
lim ( 3n 2)
в
1
( 3n 2)
2
в 3 1
в
1
d ( 3 x 2)
( 3n 2)
2
d ( 3 x 2)
1 ( 3n 2)
lim
lim
в 3 1
в 1
dx

33. П.4. Интегральный признак Коши

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
П.4. Интегральный признак Коши
lim
в
1
( 3n 2)
2
в 3 1
1
( 3 x 2)
* lim
3 в
1
1
d ( 3 x 2)
в
1
1
* lim
3 в 3 x 2 1
1 1
1
*
1 < 1 => ряд
3 3в 2 3
сходится

34. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§3. Знакочередующиеся ряды
Определение. Если члены
числового ряда имеют различные
знаки, то ряд называется
знакопеременным.
Определение. Если два стоящих
рядом члена ряда имеют разные
знаки, то ряд называется
знакочередующимся. Его вид:
a1 – a2 + a3 – … + (-1)n-1 * an + …

35. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
§3. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующиеся ряды
являются частным случаем
знакопеременных рядов.
Вопрос о сходимости
знакочередующегося ряда
решается с помощью
следующего признака.
25.05.2023
14:25

36. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§3. Знакочередующиеся ряды
Теорема. (Признак Лейбница).
Если члены знакочередующегося
n-1
ряда a1 – a2 + a3 – … + (-1)
* an + …
удовлетворяют условиям:
1. |an |≥ |an+1|, где n N, т.е.
члены ряда не возрастают по
абсолютной величине;
2.
, то данный
an 0
n
ряд сходится
lim

37. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§3. Знакочередующиеся ряды
Замечание: если хотя бы одно
условие признака Лейбница не
выполняется, то ряд расходится.
Н/р: Исследовать на сходимость
ряд:
1 1 1
1
n 1
... ( 1)
*
...
2
4 9 16
( n 1)

38. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§3. Знакочередующиеся ряды
Решение: ряд знакочередующийся.
Проверим выполнимость условий:
1. 1 1 1
...
– убывают
4 9 16
1
2.
0
lim
n ( n 1)
2
Оба условия выполняются,
следовательно, ряд сходится.

39. §3. Знакочередующиеся ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§3. Знакочередующиеся ряды
Следствие: если
знакочередующийся ряд сходится,
то остаток этого ряда:
rn = (-1)n * an+1 + (-1)n+1 * an+2 + …
также сходится и удовлетворяет
неравенству:
|rn| ≤ an+1

40. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная
сходимость знакопеременного ряда
Рассмотрим сходящийся
знакопеременный ряд
a1 + a2 + … + an + … , у которого
члены ai – различных знаков.
Составим ряд из абсолютных
величин ряда a1 + a2 + … + an + … ,
получим:
|a1| + |a2| + … + |an| + … –
знакоположительный ряд

41. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Определение. Если сходится ряд
|a1| + |a2| + … + |an| + … , то ряд
a1 + a2 + … + an + … называется
абсолютно сходящимся.
Если ряд a1 + a2 + … + an + …
сходится, а ряд
|a1|+|a2|+…+|an|+… расходится,
то ряд a1 + a2 + … + an + … называют
условно (неабсолютно) сходящимся.

42. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Абсолютно и условно сходящиеся
ряды обладают различными
свойствами.
Свойства абсолютно
сходящихся рядов.
1о. Перестановка членов
абсолютно сходящегося ряда не
нарушает его сходимости.

43. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
2о. Если a1 + a2 + … + an + … и
в1 + в2 + … + вn + … – абсолютно
сходящиеся ряды с суммами Sa и Sв
соответственно, то ряд:
(a1 ± в1) + (a2 ± в2)+ … + (an ± вn) + …
также абсолютно сходящийся,
а сумма его равна Sa ± Sв .

44. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
3о. Если a1 + a2 + … + an + … и
в1 + в2 + … + вn + … – абсолютно
сходящиеся ряды с суммами Sa и Sв
соответственно, то ряд:
(a1+a2+…+an+ …)*(в1+в2+…+вn+…)
также абсолютно сходящийся
с произведением Sa * Sв .

45. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Свойство условно
сходящихся рядов.
Перестановка членов условно
сходящегося ряда может изменить
сумму ряда и даже сделать его
расходящимся.

46. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Историческая справка.
Четкое определение сходимости
ряда появилось в начале XIX века.
До этого считалось, что все ряды
имеют сумму и над всеми рядами
можно выполнять арифметические
действия. Иногда это приводило
к фантастическим результатам.

47. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
Геометрический ряд был
исторически первым бесконечным
рядом, для которого была
определена его сумма. Архимед
(III в. до н.э.) использовал
геометрический ряд с q = ¼ для
вычисления площади фигуры,
ограниченной параболой и прямой.

48. §4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда
После Архимеда до XVI в. рядами
не занимались. Необходимость в
рядах возникла при изучении
изменяющихся процессов. Рядами
занимались Лейбниц, Эйлер,
Ньютон.

49. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные
ряды
Определение. Ряд вида
u1 ( x ) u2 ( x ) ... un ( x ) ... un ( x )
n 1
членами которого являются
функции un(x), называется
функциональным. Функции u1(x),
u2(x), …, un(x), … определены на
некотором множестве X.
,

50. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Каждому значению x0 X
соответствует числовой ряд u ( x ) ,
n
n 1
0
который может быть сходящимся
или расходящимся.
Определение. Если ряд un ( x0 )
n 1
сходится, то x0 называется точкой
сходимости функционального ряда.

51. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Определение. Множество всех
точек сходимости функционального
ряда называется его областью
сходимости Д.
Если функциональный ряд
сходится в области Д, то он имеет
сумму S(x) в этой области.
Рассмотрим один из
функциональных рядов.

52. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Определение. Ряд вида
2
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) ...
n
n
an ( x x0 ) ... an ( x x0 ) ,
n 1
где an , x, x0 – действительные
числа, называется степенным рядом
по степеням (x – x0).

53. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Числа an называются
коэффициентами степенного ряда.
При x0 = 0 получим степенной ряд
2
n
n
a0 a1 x a2 x ... an x ... an x
n 1 ( )
по степеням x.
Далее будем рассматривать ряды этого
вида, т.к. любой другой степенной ряд
можно свести к данному подстановкой
x – x0 = x′
*

54. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Теорема Абеля. Если степенной
ряд ( ) сходится в точке x0 ≠ 0, то
он сходится абсолютно в
интервале, соответствующему
неравенству:
|x|< x0
x0 x
–x0
0
*

55. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Следствие: Если в точке x1 ≠ 0
степенной ряд ( ) расходится,
то он расходится во всех точках x
таких, что:
|x|> x1
*
–x1
0
x1
x

56. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Из теоремы Абеля и ее следствия
вытекает, что если степенной ряд
( ) сходится хотя бы в одной точке
x ≠ 0, то всегда существует число
R > 0 такое, что степенной ряд
сходится абсолютно для всех
x (-R; R) и расходится для всех
x (-∞; -R) (R; ∞).
*

57. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
При x = ±R ряд может быть как
сходящимся, так и расходящимся.
Определение. Величина R
называется радиусом сходимости,
а интервал (-R; R) – интервалом
сходимости ряда ( ) , x = 0 –
середина интервала.
*

58. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Частные случаи:
1. Если ряд сходится в точке
x = 0, то R = 0.
2. Если ряд сходится при всех
x R, то R = ∞.
Для нахождения радиуса и
интервала сходимости используют
признак Даламбера, в редких
случаях, признак Коши.

59. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
*
Для данного ряда ( ) составляется
ряд:
2
a0 a1 * x a2 * x ... an * x
n
...
**
К ряду (**) применим признак
Даламбера:
un 1
lim
lim
n un
n
an 1 * x n 1
an * x n
x * lim
an 1
n an
(
)
x * M M

60. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
По признаку Даламбера, если
M < 1, то ряд сходится, значит,
1
1
1
x * M 1, x
или
x
.
M
M
M
1
Отсюда,
R – радиус сходимости,
M
1 1 – интервал сходимости
;
ряда ( ).
M M
*

61. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
an
Имеем R lim
.
n an 1
Для определения сходимости
ряда на концах интервала в
степенной ряд ( ) вместо x
подставляются числа R и –R.
Получаем два числовых ряда,
которые исследуются по
известным признакам сходимости.
*

62. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пример. Определить интервал
сходимости ряда:
2
3
4
n
n 1 x
n
n 1
n
2
x x
x
x
n 1 x
... ( 1)
...
2
1 22 32 42
n
Решение:
un ( 1)
un 1 ( 1)
n x
( n 1)
2

63. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
n 1 2
un 1
x
n
lim
lim
2 n
u
n
n
n ( n 1) x
2
n
x * lim
x *1 x
n n 1
- ряд сходится при |x|< 1, т.е.
-1 < x < 1, R = 1.

64. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Исследуем ряд на концах
интервала:
Пусть x = 1, подставим это
значение в данный ряд:
1 1
1
1
n 1 1
... ( 1)
...
2
1 22 32 42
n
– знакочередующийся ряд.

65. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Исследуем его по признаку
Лейбница:
1) 1 1 1 ... – убывают
22
2)
32
lim an lim
n
1
n n
2
0
– ряд сходится.
Следовательно, x = 1 входит в
интервал сходимости.

66. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Пусть x = -1. Исследуем
интегральным признаком:
dx
в
1
1 1
2 lim lim 1
в в 1
в в 1
1x
сходится, значит, ряд сходится.
Следовательно, x = -1 входит в
интервал сходимости.
Окончательно, при всех x [-1; 1]
ряд сходится.

67. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Степенной ряд общего вида
n
a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0) + …
сводился к ряду ( ) подстановкой
x – x0 = x′ и получали ряд
*
an x
n 1
n
.
Если R – радиус сходимости этого
ряда, то ряд сходится абсолютно при
|x|< R и расходится при |x|> R.

68. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Тогда степенной ряд общего вида
сходится абсолютно при |x – x0|< R
и расходится при |x – x0|> R,
где R – радиус сходимости,
(x0 – R; x0 + R) – интервал
сходимости,
x0 – середина интервала.

69. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
Свойства степенных рядов.
Рассмотрим свойства на примере
ряда a0 + a1x + … + anxn + … ( ) .
1о. Если радиус сходимости
ряда ( ) отличен от 0, то его
сумма S(x) непрерывна
на интервале сходимости (-R; R).
*
*

70. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
2о. Если радиус сходимости ряда
отличен от 0, то степенной ряд
можно почленно дифференцировать
и интегрировать любое число раз
внутри интервала сходимости.
При этом интервал сходимости
не изменяется.

71. §5. Функциональные ряды. Степенные ряды

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§5. Функциональные ряды. Степенные ряды
3о. Внутри интервала
сходимости ряды можно
складывать, вычитать,
умножать на число.
Интервал сходимости
должен быть общим для
этих рядов.

72. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
Определение. Если функция f(x) в
некоторой окрестности точки x0
допускается разложение в степенной
ряд по степеням (x – x0), то этот ряд
называется рядом Тейлора
функции f(x) в точке x0 и имеет вид:
f ( x 0 )
f ( x 0 )
F ( x ) f ( x0 )
* ( x x0 )
*
1!
2!
( n)
f
( x0 )
2
n
* ( x x 0 ) ...
* ( x x 0 ) ... Rn
n!

73. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
При x0 = 0 ряд Тейлора обычно
называют рядом Маклорена.
В этом случае
f (0)
F ( x ) f ( 0)
*x
1!
f (0)
f ( 0)
2
n
* x ...
* x ...
2!
n!
n

74. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
Но не всегда ряд Тейлора
сходится к функции f(x), для
которой он составлен. Если
S(x) = f(x) в интервале сходимости
(x0 – R; x0 + R), где S(x) – сумма ряда
Тейлора, то говорят, что функция
f(x) разложена в ряд Тейлора в
окрестности точки x0.

75. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
Так как определять сумму ряда
достаточно сложно, то можно
использовать признак разложимости
функции в ряд Тейлора:
Чтобы ряд Тейлора бесконечно
дифференцируемой функции f(x)
сходился к этой функции, необходимо
и достаточно, чтобы остаточный член
формулы Тейлора Rn стремился к нулю
при n → ∞.
R ( x) 0
lim
n
n

76. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
( n 1)
f
( )
n 1
Rn ( x )
* ( x x0 )
( n 1)!
, где ( x 0 ; x ) – остаточный
член в форме Лагранжа.
n
Rn ( x ) 0 * (( x x 0 ) ) , x → x0 –
остаточный член в форме Пеано.
Аналогично работает признак для
ряда Маклорена. Но на практике чаще
используется более удобный признак.

77. §6. Ряды Тейлора и Маклорена

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§6. Ряды Тейлора и Маклорена
Достаточный признак
разложимости функции
в ряд Тейлора.
Если для любых x (x0 – R; x0 + R)
все производные функции f(x)
ограничены одной и той же
константой M, то ряд Тейлора
сходится к функции f(x) в
интервале |x – x0|< R.

78. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций
в ряд
Получим разложение в ряд
Маклорена некоторых функций.
f ( 0 )
F ( x ) f ( 0)
*x
1!
(
n
)
f (0)
f ( 0)
2
n
* x ...
* x ...
2!
n!
x
I. f (x) = e
n
x
f′(x) = f ″(x) = … = f (x) = … = e
f(0) = f ′(0) = … = f n(0) = … = 1

79. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Подставим в ряд Маклорена,
получим:
1
1
1
2
n
e 1 * x * x ... * x ...
1!
2!
n!
x
Определим радиус сходимости
полученного ряда:
an
( n 1)!
R lim
lim
lim ( n 1)
n!
n an 1 n
n

80. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Значит, интервал сходимости
полученного ряда (–∞; +∞).
Пусть А - сколь угодно большое
положительное число, такое, что
f (n)(х) = ех < еА при х < А, тогда, по
достаточному признаку
разложения функции , функция
х
е разложима в ряд Маклорена
при любом x R.

81. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Окончательно,
2
n
n
x x
x
x
e 1
...
...
1! 2!
n!
n 0 n!
x
на (–∞; +∞)
II. f (x) = sinx
f ( x ) cos x sin x ;
2

82. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
2
f ( x ) sin x sin
x ;
2
3
f ( x ) cos x sin
x ;
2
( n)
f ( x ) cos x sin * n x
2
f(0) = 0, f′(0) = 1, f ′′(0) = 0,
f ′′′(0) = -1 …
(n)
f (0) sin( * n)
2

83. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Подставим значения в ряд
Маклорена:
sin * n
1
0 2 1 3
2 * xn
sin x 0 * x * x * x
1!
2!
3!
n!
n=0 n=1
n=2
2 n 1
x3
x5
x
n 1
sin x x
( 1) *
3!
5!
( 2n 1)!

84. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Определим радиус сходимости:
( 2 * ( n 1) 1)!
( 2n 1)!
R lim
lim
;
( 2n 1)!
n
n ( 2n 1)!
(–∞; +∞) – интервал сходимости.
Т.к.
f
( n)
( x ) sin * n x 1
2
при любых х R.

85. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Следовательно, функция sinx
разложима в ряд Маклорена:
3
5
x
x
sin x x
3! 5!
2n 1
2n 1
x
x
n
( 1) *
( 1) *
( 2n 1)!
( 2n 1)!
n 0
на (–∞; +∞)
n

86. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
III. f(x) = cosx
Т.к. cosx = (sinx)′ то, используя
разложение sinx в ряд, получим:
2
4
x
x
cos x 1
на (–∞; +∞)
2! 4!
2n
2n
n x
n x
( 1) *
( 1) *
( 2n)!
( 2n)!
n 0
Применили свойство степенного
ряда с радиусом сходимости R ≠ 0.

87. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
IV. f(x) = ln(1 + x)
Эту функцию можно определить как
интеграл:
x
dt
ln(1 x )
01 t
1
Но
– можно считать суммой
1 t бесконечно убывающей
в1
прогрессии c в1 = 1 и q = –t , т.к. Sб . уб .
:
1 q
1
2
3
n n
1 t t t ( 1) t , тогда
1 t в в q1 в q2 в q3 в qn
1
1
2
3
n

88. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
x
x
dt
ln(1 x )
(1 t t 2 t 3 ( 1)n t n )dt
01 t
0
n 1
x
t
t
t
nt
t 2 3 4 ( 1) n 1
0
2
3
4
n 1
x2 x3
x
x
( 1)n
2
3
n 1
ln(1 x ) ( 1)
n 0
n x
n 1
n 1

89. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Определим радиус сходимости:
an
n 2
R lim
lim
1
n an 1
n n 1
, интервал
сходимости (-1; 1).
Проверим сходимость ряда на
концах интервала:
X = -1 ln(1 – 1) = ln0 – не существует.
X= 1
1 1
n 1
ln 2 1 ( 1)
2 3
n 1

90. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
По признаку Лейбница:
1
1
I. 1 > > > … – убывает.
2 3
II.
– ряд
1
0
lim an lim
сходится,
n
n 1 n
значит, х = 1 входит в интервал
сходимости.
2
3
nx
n 1
n 1
ln(1 x ) x x x ( 1)
( 1)
2
3
n 1
n 1
n 0
на (-1; 1]
nx

91. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
m
V. f(x) = (1 + x)
m-1
f ′(x) = m * (1 + x) ,
m-2
f ′′(x) = m * (m – 1) * (1 + x) , …,
(n)
f (x) = m * (m – 1) *…* (m – n + 1) *
* (1 + x)m-n+1 …
f(0) = 1, f ′(0) = m, f ′′(0) = m * (m – 1), …,
f (n)(0) = m * (m – 1) *…* (m – n + 1)

92. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Подставляя в ряд Маклорена,
получим:
m * ( m 1) 2
m
m
(1 x ) 1 * x
* x
1!
2!
m * ( m 1) * * ( m n 1) n
* x
n!
при m ≥ 0
при –1 < m < 0
при m ≤ –1
биноминальный ряд.
x [–1; 1]
x (–1; 1]
x (–1; 1)

93. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Т.к. при m = n N коэффициенты
биноминального ряда, начиная с
номера (n + 1), равны нулю, и
степенной ряд преобразуется в
бином Ньютона.
n * ( n 1) 2
m
(1 x ) 1 n * x
*x
2!
x
n
n
k
k
Cn * x
k 0

94. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
VI. f(x) = arctg x
Используем биноминальный
ряд с m = –1, получим:
1 1 x x 2 x 3 при x (–1; 1)
1 x
Заменим “x” на “x2”:
1 1 x2 x4 x6
2
1 x

95. §7. Разложение элементарных функций в ряд

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§7. Разложение элементарных функций в ряд
Проинтегрируем ряд:
x
x
2
4
6
dx
arctgx
(
1
x
x
x
)
*
dx
2
1
x
0
0
3
5
7
x
x
x
x
3
5
7
Окончательно,
3
5
7
x
x
x
arctgx x
на (–1; 1).
3
5
7

96. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
п.1. Приближенное вычисление
значений функций.
Задача. Найти приближенное
значение функции f(x) в точке х0 с
заданной степенью точности ε.
Решение: Разложим функцию f(x) в
ряд по степеням (x – x1) с интервалом
сходимости, содержащим точку х0, где
x1 – точка, в которой значения
функции и ее производных легко
вычисляются, давая точные значения.

97. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
Переменной “х” даем
значение х0 и в числовом
ряду
an * ( x0 x1 )
n
n 0
оставим только те
члены, которые гарантируют
заданную точность.

98. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
Число таких членов определяется:
I. Если ряд знакоположительный, то с
помощью остаточного члена формулы
Тейлора Rn(x0):
( n 1)
f
* ( ) n 1
Rn ( x0 )
*x
( n 1)!
( x0 ; x )
II. Если ряд знакочередующийся, то с
помощью остатка ряда Тейлора rn(х0):
rn ( x0 ) un 1 ( x0 )
Такое возможно, так как, если степенной ряд
функции f(x) сходится, то Rn(x) = rn(x).

99. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
о
Пример. Вычислить sin20 с
точностью ε = 0,0001.
180
Решение: 20
и
9
9
( 1)
2n 1
sin x
*x
(
2
n
1
)!
n 0
n
– знакочередующийся ряд.

100. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
rn ( x ) un 1
2*( n 1) 1
x
9
2n 3
9
9
rn
0,0001
0,0001
( 2n 3)!
9 ( 2 * ( n 1) 1)!
Подбором, при n = 0 получим
0,00004 ≤ 0,0001 – выполняется.
3
Тогда,
3
9
sin
0,34181
9 9
3
9 729 * 6

101. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
п.2. Многие определенные
интегралы, не выражающиеся в
элементарных функциях, могут быть
вычислены с помощью рядов.
Отрезок интегрирования должен
находиться внутри интервала
сходимости ряда.
1
2 sin x
Пример. Вычислить
dx
0 x
с точностью ε = 0,001.

102. §8. Приложения степенных рядов

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§8. Приложения степенных рядов
Решение:
x3 x5 x7
sin x x
x R
3!
5!
7!
sin x
x2 x4 x6
1
x
3!
5!
7!
1
1
2
x
x
x
x
x
x
1 3! 5! 7! dx x 3 * 3! 5 * 5! 7 * 7!
0
2
4
6
3
5
7
2
0
1
1
1
0,5 0,0069
2 8 * 3 * 6 32 * 5 * 120
0,000052 0,4931, т .к . 0,000052 0,001

103. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Ряды Фурье (Фурье (1768 – 1830) –
французский математик и физик)
используются для описания
периодических процессов, решения
дифференциальных уравнений,
приближения периодических и
непериодических функций.

104. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
В этих случаях функцию,
описывающую периодический
процесс, представляют как сумму
простых периодических функций
A * sin(w * x + φ0),
A – амплитуда, w * x + φ0 – фаза
колебаний, φ0 – начальная фаза.

105. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Полагая A * sin(wx + φ0) = a,
A * cos(wx + φ0) = в, можно записать
A * sin(wx + φ0) = A * sin(wx) * cosφ0 +
+ A * cos(wx) * sinφ0 = a * cos(wx) + в * sin(wx)
А сложные процессы описываются
функциями вида:
∑ (an * cos(wnx) + вn * sin(wnx)
Определение. Выражение вида
с0 * φ0(х) + c1 * φ1(x) + ... + cn * φn(x) + ...,
где φn(х) – основная тригонометрическая
система функций, называется
тригонометрическим рядом Фурье.

106. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Основная тригонометрическая
система функций:
1; cos x ;sin x ; cos 2 x ; sin 2 x ;
l
l
l
l
nx
nx
; cos
;sin
;
l
l
определена на отрезке [–l; l ], где
Т = 2l – период функции.
Числа с0, с1, ..., сn , ... называются
коэффициентами Фурье функции f(x).

107. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
п.1. Ряд Фурье для периодической
функции с периодом Т = 2l.
Определение. Тригонометрический
ряд
a0
nx
nx
F ( x)
an cos
вn sin
2 n 1
l
l
называется тригонометрическим
рядом Фурье для периодической
функции f(x) [–l; l], если
коэффициенты его определяются
по формулам:

108. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
l
1
a0 f ( x )dx
l l
1
nx
an f ( x ) cos
dx , n N
l l
l
l
1
nx
вn f ( x ) sin
dx , n N
l l
l
l

109. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
§9. Ряды Фурье
Пример. Разложить в ряд
Фурье периодическую
функцию f(x) с периодом
Т = 2l, которая на отрезке
[–l; l ] задана равенством
f(x) =|х|.
25.05.2023
14:25

110. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Решение:
Найдем коэффициенты ряда
Фурье:
y
l
–2l
–l
0
l
2l
x

111. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
l
0
l
1
1
1
a0 x dx ( x )dx xdx
l l
l l
l0
l
20
2
2
2
1 x
x 1 l l
l
l 2
2 l 2 2
l
0
f(x) =|x|– четная функция.

112. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
1
nx
2
nx
an x cos
dx x cos
dx
l l
l
l0
l
l
l
u x du dx
nx
1
nx
Dv cos
dx v
sin
l
n
l
l
l
2 xl
nx
1
nx
sin
sin
dx
l n
l 0 n 0
l

113. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
l
2 l
nx
l
nx
*
cos
x sin
l n
l
n
l 0
2
l
l
cos n
l sin n
n
n
n
2
l
2l
n
*
(cos n 1) 2 2 (( 1) 1)
n n
n
если n четное , то an 0
4l
если n нечетное , то an 2 2
n

114. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
1
nx
bn x sin
dx 0
l l
l
nx
т.к. |x| – четная, sin
–
l
l
y
нечетная функция,
nx
то x * sin l –
–a
a x
0
нечетная функция
интеграл от нечетных функций
на симметричном отрезке равна 0.

115. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Следовательно, искомое
разложение имеет вид:
l 4l
x
4l
3 x
x 2 cos 2 2 * cos
2
l 3
l
* ( 2n 1) * x
4l
2
*
cos
2
l
* ( n 1)

116. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
п.2. Ряд Фурье для
периодической функции
с периодом Т = 2 π.
Ряд Фурье для такой
функции получается
из ряда п.1. при l = π.
a0
F ( x ) (an cos nx bn sin nx ) , где
2 n 1

117. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
§9. Ряды Фурье
a0
an
вn
1
f ( x )dx
1
f ( x ) cos nxdx , n N
1
f ( x ) sin nxdx , n N
25.05.2023
14:25

118. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Пример. Разложить в ряд
Фурье периодическую
с Т = 2 π функцию
1, если x 0
F ( x)
1, если0 x

119. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Решение:
y
1
–2π
–π
π
0
-1
2π x

120. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
0
1
a0 ( 1) * dx 1 * dx
0
0
1
1
x x 0 ( ) 0
1 0
aп ( 1) * cos nxdx 1 * cos nxdx
0
0
1 1
1
* sin nx
* sin nx 0
n
n
0

121. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
1 0
вп ( 1) * sin nxdx 1 * sin nxdx
0
0
1 1
1
* cos nx
* cos nx
n
n
0
1
1
(1 cos( n) cos n 1)
(1 cos( n) cos n 1)
n
n
0, n четное
2
2
n
* (1 cos n) (1 ( 1) ) 4
n
n
, n нечетное
n

122. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Подставив в ряд, получим:
4
1
1
F ( x ) sin x sin 3 x sin 5 x
3
5
Таким образом, функцию, заданную
несколькими формулами, можно
представить в виде единого ряда.
В истории математики этот факт
сыграл большую роль и привел
к расширению понятия функции.

123. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
п.3. Ряды Фурье для четных и
нечетных функций.
Если функция f(x) – четная на [–l; l ],
т.е. f(–x) = f(x), то график симметричен
относительно оси OY и определенный
интеграл рассматривается как площадь
криволинейной трапеции
l
l
l
0
y
f ( x )dx 2 f ( x )dx
–l
0
l x

124. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Если f(x) - нечетная функция
на [–l; l ], то
l
0
l
l
l
0
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx 0
–l
–
y
0
+
l
x

125. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
§9. Ряды Фурье
Произведение двух
четных или двух
нечетных функций есть
четная функция.
Произведение четной
и нечетной есть нечетная
функция.
25.05.2023
14:25

126. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Тогда:
I. Если f(x) – четная функция на [–l; l ], то
l
2
nx
2
a0 f ( x )dx an l f ( x ) cos l dx ,
l
0
l
0
вn 0.
Сама функция разлагается
в ряд Фурье только по косинусам:
a0
nx
F ( x)
an cos
2
l
n 1

127. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
II. Если f(x) – нечетная функция
на [–l; l ], то a0 = an = 0.
2
nx
в0 f ( x ) sin
dx , n N
l0
l
l
Сама функция раскладывается
в ряд Фурье только по синусам:
F ( x)
n 1
nx
в sin
n
l

128. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
§9. Ряды Фурье
III. Если f(x) – ни четная
ни нечетная, то ее
тригонометрический ряд
Фурье содержит и синусы
и косинусы.
25.05.2023
14:25

129. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
п.4. Ряд Фурье для
непериодических функций.
Ранее было показано, что в ряд
Фурье разлагаются только
периодические функции
с периодом Т = 2l или Т = 2 π,
nx
nx
так как функции sin
и cos
l
l
периодические.

130. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Если функция f(x) не является
периодической, то, чтобы
разложить ее в ряд Фурье, строят
некоторую периодическую
функцию f *(х), которая в области
определения функции совпадает с
f(x). В этом случае говорят, что
функцию f(x) периодически
продолжают на всю числовую ось.

131. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Возможны следующие случаи:
1. Если f(x) задана на [–l; l ], то строят
f *(x) с периодом Т = 2l, которая на [–l; l ]
совпадает с f(x), а на остальной части
числовой оси является ее
периодическим продолжением.
y
–l
0
l
x

132. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
2. Если f(x) задана на [а; а + 2l ], то
строят f*(x) с периодом Т = 2l, которая
на [а; а + 2l ] совпадает с f(x) и т.д.
Коэффициенты Фурье будут
находиться по известным формулам
п.1, только пределы интегрирования
а и а + 2l.
3. Если f(x) задана на [0; l ], то ее
можно разложить в ряд Фурье только
по синусам, только по косинусам или
по синусам и косинусам.

133. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
• Разложение по косинусам.
Продолжить функцию f(x) на отрезок
[–l; 0] четным образом, т.е. построить
f ( x ) при x [ l ;0]
f ( x)
f ( x ) при x [0; l ]
Далее см. п.3
–l
y
0
l x

134. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
• Разложение по синусам.
Продолжить функцию f(x) на отрезок
[–l; 0] нечетным образом, т.е. составить
f ( x ) при x [ l ;0]
f ( x)
f ( x ) при x [0; l ]
y
–l
Далее см. п.3
0
l x

135. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
п.5. Гармонический анализ.
Определение. Разложение
периодической функций в ряд Фурье
называется гармоническим анализом.
Рассмотрим слагаемые ряда Фурье.
А0 равно среднему значению
функции f(x) на всей оси. Первое
непостоянное слагаемое называется
основным гармоническим, оно имеет
период 2l.

136. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Остальные слагаемые называются
верхними гармониками, их
наименьшие периоды равны.
Если независимая переменная
рассматривается как время, то ряд
Фурье описывает произвольное
периодическое колебание в виде
суммы гармонических колебаний с
кратными частотами.

137. §9. Ряды Фурье

Тема 10: «Ряды»
25.05.2023
14:25
§9. Ряды Фурье
Например, в акустике: основное
слагаемое определяет высоту звука,
т.е. основной тон; остальные
слагаемые описывают обертоны,
от которых зависит тембр звука.
Ряды Фурье используются также
в решении задач математической
физики, а также их применяют при
изучении различных зависимостей
в электрических цепях с
несинусоидальными токами.