16-23_Определённый интеграл

1. Определенный интеграл

2.

16. Криволинейная трапеция.
Определенный интеграл.
Геометрический смысл определенного
интеграла. Теорема существования.

3.

Определение. Криволинейная трапеция- это
фигура, ограниченная графиком непрерывной
неотрицательной функции f(x), x∈[a;b],
параллельными прямыми x=a и x=b и отрезком
оси ОХ.
Поставим задачу – найти площадь криволинейной трапеции

4.

1) Рассмотрим функцию
y=f(x), непрерывную и
ограниченную на отрезке
[a,b].
2) Разобьем [a,b] на n
элементарных отрезков ∆xi
произвольной длины.
3) Возьмем на каждом отрезке ∆xi произвольную точку ci
и вычислим значение функции f(ci) в этих точках.
4) Найдём площадь каждого из полученных
прямоугольников: Si f (сi ) xi
5) Площадь «ступенчатой» фигуры равна сумме
площадей прямоугольников: n
Sступ.ф. f (сi ) xi
i 1

5.

Определение.
Интегральной суммой для функции y=f(x)
на отрезке [a,b] называется сумма
произведений длин элементарных
отрезков ∆xi на значения функции f(ci) в
произвольных точках этих отрезков
n
S n f (сi ) x i
i 1

6.

1) Рассмотрим функцию
y=f(x), непрерывную и
ограниченную на отрезке
[a,b].
2) Разобьем [a,b] на n
элементарных отрезков ∆xi
произвольной длины.
3) Возьмем на каждом отрезке ∆xi произвольную точку ci
и вычислим значение функции f(ci) в этих точках.
4) Найдём площадь каждого из полученных
прямоугольников: Si f (сi ) xi
5) Площадь «ступенчатой» фигуры равна сумме
площадей прямоугольников: n
Sступ.ф. f (сi ) xi
i 1

7.

6) Площадь криволинейной
трапеции приближённо равна
площади ступенчатой
фигуры: S Sступ.ф.
7) Значение площади будет тем
точнее, чем меньше длина
частичного отрезка xi
8) Чтобы получить точное значение площади, нужно
Sn
перейти к пределу: S
lim
max{ x } 0
i
или
S
n
lim f (сi ) xi
max{ x } 0 i 1
i

8.

Определение.
Определенным интегралом от функции f(x) на
отрезке [a,b] называется предел (если он
существует) интегральной суммы для функции f(x)
на отрезке [a,b], не зависящий от способа
разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ci,
найденный при условии, что длины
элементарных отрезков (включая и
максимальный ∆xmax) стремятся к нулю.
n
S n lim f (сi ) xi
a f ( x)dx max{lim
max{ x i } 0 i 1
x i } 0
b

9. Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл представляет собой
площадь криволинейной трапеции
b
S f ( x)dx
a

10.

11.

17. Основные свойства
определенного интеграла

12.

1.
При
перестановке
пределов
определенный интеграл меняет
противоположный:
b
a
a
b
интегрирования
свой знак на
f ( x )dx f ( x )dx
2.
Если пределы интегрирования
определённый интеграл равен нулю:
a
f ( x )dx 0
a
равны,
то

13.

30 Отрезок интегрирования можно разбивать на части.
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
40 Определенный интеграл от алгебраической суммы
конечного числа непрерывных функций равен
алгебраической сумме определенных интегралов от этих
функций:
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

14.

5. (Теорема о среднем значении функции)
Если функция непрерывна на отрезке[a,b],
то внутри этого
отрезка
найдётся
точка
c
b
такая, что:
f ( x )dx f (c )(b a )
a
Значение f(c) называется
средним значением функции на
отрезке [a,b]
b
1
f (c )
f ( x)dx
b a a

15. 18. Формула Ньютона-Лейбница

16.

b
F (b) F (a) F ( x) a

17. 19. Замена переменной в определенном интеграле

18.

.

19.

20. 20. Интегрирование по частям в определенном интеграле

21.

Формула интегрирования по
частям в определенном
интеграле

22.

23. 21. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

24.

Пусть y = f(x) непрерывна на ( ;b
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом I рода от функции f(x) по
промежутку ( ;b называется предел
следующего вида:
b
b
lim f ( x)dx
f ( x)dx a
a
(*)

25.

Пусть y = f(x) непрерывна на
a;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом I рода от функции f(x) по
промежутку a; называется предел
следующего вида:
b
lim f ( x)dx
f ( x)dx b
a
a
(**)

26.

Если предел в правой части формул (*) и
(**) существует и конечен, то
несобственный интеграл называют
сходящимся
Если предел не существует или равен
бесконечности, то несобственный
интеграл называют расходящимся.

27.

Пусть y = f(x) непрерывна на
;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом I рода от функции f(x) по
промежутку ; называется предел
следующего вида:
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,(***)
где с – любое число

28.

Несобственный интеграл (***) называется
сходящимся, если ОБА интеграла
в правой части формулы (***) сходятся.
В противном случае, несобственный
интеграл по промежутку ;
называется расходящимся.

29. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода.

Если
,
f
(
x
)
dx
S
a
то область, ограниченная Ox, кривой y = f(x)
и прямой x = a (криволинейная трапеция с
бесконечным основанием ) имеет площадь
S.
В противном случае говорить о площади
указанной области нельзя.

30. ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1)
dx
х3
1
0
2)
dx
4 х2
x
e
dx
3)

31. 22. Несобственные интегралы от разрывной функции

32.

(a; b
Пусть y = f(x) непрерывна на
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом II рода от функции f(x) по
промежутку (a; b называется предел
следующего вида:
b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
0
a
a
ɛ→0
a
а+ɛ
b
(*)

33.

Пусть y = f(x) непрерывна на
a; b
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом II рода от функции f(x) по
промежутку a; b называется предел
следующего вида:
b
b
f ( x)dx lim
f ( x)dx (**)
0
a
a
ɛ→0
a
b-ɛ
b

34.

Если предел в правой части формул (*) и
(**) существует и конечен, то
несобственный интеграл называют
сходящимся
Если предел не существует или равен
бесконечности, то несобственный
интеграл называют расходящимся.

35.

Пусть y = f(x) непрерывна на
исключая с a; b
a
a; b ,
c
b
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным
интегралом II рода от функции f(x) по
промежутку a; b называется предел
следующего вида:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,(***)
где с a; b

36.

Несобственный интеграл (***) называется
сходящимся, если ОБА интеграла
в правой части формулы (***) сходятся.
В противном случае, несобственный
интеграл по промежутку
a; b
называется расходящимся.

37. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода.

b
Если
f ( x)dx S ,
a
то область, ограниченная Ox, кривой y = f(x)
и прямыми x = a, x = b (неограниченная
криволинейная трапеция) имеет площадь
S.
В противном случае говорить о площади
указанной области нельзя.

38. ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

3
1)
х 2 3
2
4
2)
3
3)
dx
1
dx
4 х
dx
х2
1

39. 23. Площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой системе координат

40. 1 случай

Исходя из
геометрического смысла
определённого
интеграла:
y
S
0
a
b
b
x
S f ( x)dx
a

41. 2 случай

b
S f ( x)dx
a
y
a
b
x
0
S

42. 3 случай

y
S=S1+S2
S1
0
S2
с
a
b
x
y f ( x);
Чтобы найти с, нужно решить систему:
y g ( x)
c
S1 f ( x) dx
a
b
S 2 g ( x) dx
c

43. 4 случай

y
S = S1 - S2
S
0
a
b
b
x
b
b
a
a
S1 f ( x) dx S2 g ( x) dx
,
S [ f ( x) g ( x)]dx
a