Несобственные интегралы

1. Лекция Тема: «Несобственные интегралы» «

ЛЕКЦИЯ
ТЕМА: «НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»
«

2. Из студенческого фольклора

Давайте вспомним!
1) неопределённый интеграл – это м н о ж е с т в о
первообразных функций
23.03.2020
f ( x)dx F ( x) C
2) определённый интеграл – это ч и с л о
(например, площадь криволинейной трапеции)
b
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
a
3) Отрезок интегрирования a; b К О Н Е Ч Е Н
Подынтегральная функция f (x)
Н Е П Р Е Р Ы В Н А на отрезке интегрирования
3

3.

ПЛАН
23.03.2020
1. Несобственные интегралы I рода
определение
геометрическая интерпретация
вычисление
2. Признаки сходимости несобственных
интегралов I рода
3. Несобственные интегралы II рода
определение
геометрическая интерпретация
вычисление
признаки сходимости
4

4. План

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕСОБСТВЕННЫМ
ИНТЕГРАЛАМ, РАССМАТРИВАЛИСЬ В
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
И
В
П. ФЕРМА
23.03.2020
Э. ТОРРИЧЕЛЛИ
1644.
5

5. задачи, приводящие к несобственным интегралам, рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644.

ТОЧНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ ДАНЫ О. КОШИ В 1823.
23.03.2020
6

6. Точные определения Несобственных интегралов даны О. Коши в 1823.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ I
РОДА
23.03.2020
Определение 1: несобственным интегралом от
функции f (x) в интервале a,
b
называется предел интеграла
то есть
b
f ( x)dx
при b ,
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b
a
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл называется
с х о д я щ и м с я , а если не существует, то
расходящимся
7

7. Несобственные интегралы I рода

b
называется предел интеграла
b
то есть
b
f ( x)dx
при a ,
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
23.03.2020
Определение 2: несобственным интегралом от
функции f (x) в интервале ( ; b]
a
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл называется
с х о д я щ и м с я , а если не существует, то
расходящимся
8

8.

c
c
23.03.2020
Если функция определена и непрерывна на всей
числовой прямой, то может существовать
несобственный интеграл данной
функции с двумя бесконечными
пределами интегрирования,
определяющийся формулой:
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
где с — произвольное число.
c
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a
a
b
c
9

9.

ЗАМЕЧАНИЕ
Несобственный интеграл
I
23.03.2020
f ( x)dx
называют сходящимся, если
существуют оба предела в
правой части равенства, и
расходящимся, если не
существует хотя бы один из
них
10

10. ЗАМЕЧАНИЕ

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ИЛИ
ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА) I РОДА - ЭТО
23.03.2020
ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ
ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
I
f ( x)dx
a
b
I
f ( x)dx
I
f ( x)dx
11

11. Несобственные интегралы (или интегралы Римана) I рода - это интегралы с бесконечными пределами интегрирования

В ЫЧИ С ЛЕ Н И Е
НЕ С О Б С ТВ Е ННЫХ И НТЕГРАЛО В
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim F ( x)
a
b
b
a
b
b
a
a
a
a
b
b
a
F (b) lim F (a)
a
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim F ( x)
lim F (b) F (a)
b
f ( x)dx lim f ( x)dx lim F ( x)
23.03.2020
b
a a
b
a
b
a
lim F (b) lim F (a)
b
a
12

12. Вычисление несобственных интегралов

ПРИМЕРЫ.
ИССЛЕДОВАТЬ НА СХОДИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЫ:
1)
e
0
x
b
dx lim e dx lim ( e )
b
x
0
x
b
b
23.03.2020
0
1 1
lim b 0 1
b e e
О т в е т : несобственный интеграл сходится и равен
1(или сходится к 1)
13

13. Примеры. Исследовать на сходимость интегралы:

2)
dx
lim
ln
x
1 x b
1
23.03.2020
Ответ: несобственный интеграл
стремится к бесконечности или расходится
14

14.

y=1/(1+x^2)
3)
1,2
1
23.03.2020
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-5
-4
-3
-2
-1
dx
arctgx
1 x 2 alim
b
0
1
2
3
4
5
2 2
15

15.

Несобственный
интеграл выражает
площадь БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ.
23.03.2020
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
b
a
16

16. Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

23.03.2020
dx
НАПРИМЕР, 2
x
0,5
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,5
1
1,5
2
17

17. Например,

ВЫЧИСЛИМ ЭТУ ПЛОЩАДЬ:
определению получаем:
b
dx
dx
lim
0,5 x 2 b 0 ,5 x 2
23.03.2020
По
1) вычислим интеграл
b
b
0,5
dx
1
1
1
0,5 x 2 x 0,5 x b 2 b
18

18. Вычислим эту площадь:

23.03.2020
2) Вычислим предел
1
2 2
lim
b
b
dx
Ответ: несобственный интеграл 2 2
x
0,5
т.е. сходится.
Площадь бесконечно длинной
криволинейной трапеции равна 2
19

19.

ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
I
РОДА
23.03.2020
Вопрос о сходимости несобственных интегралов
усложняется, если первообразная функция
неизвестна.
В таких случаях иногда удается решить вопрос о
сходимости, используя специальные
признаки, которые не требуют знания
первообразной
20

20. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

Признак сравнения 1.
Пусть подынтегральная функция f (x ) во всех точках
интервала a, неотрицательна: f ( x ) 0
и для всех значений
выполняется неравенство: 0 f ( x ) ( x )
Тогда:
1)если сходиться интеграл ( x)dx , то сходится и
интеграл
f ( x)dx
a
x
a
2)если расходиться интеграл
интеграл
( x)dx
f ( x)dx , то расходится и
a
a
21

21.

ПРИМЕР
x2
23.03.2020
e dx
Решить вопрос о сходимости интеграла
Решение
x
2
e
dx
x
x
Так как при x 0 e
и
интеграл
e
0
сходится, то сходится и интеграл e dx .
0
Подынтегральная функция чётная, поэтому сходится и
0
интеграл
e
x2
x2
dx
Таким образом, заданный интеграл e
x2
dx сходится.
22

22. Пример

Замечание
dx
Интеграл
называется
интегралом
Пуассона и играет очень большую роль
в теории вероятностей.
2. Сформулированный признак
сравнения относится только к
функциям, сохраняющим один и тот
же знак в бесконечном интервале
интегрирования
1.
23.03.2020
e
x2
23

23.

23.03.2020
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ
ФУНКЦИЙ, НЕ СОХРАНЯЮЩИХ
ПОСТОЯННЫЙ ЗНАК, НАПРИМЕР
ТАКИХ, КАК
sin x cos x
,
2
x 1 x
24

24. Исследование интегралов от функций, не сохраняющих постоянный знак, например таких, как

Признак сравнения 2.
Если сходиться интеграл
f ( x) dx
- интеграл от
a
абсолютной величины функции
то сходится и интеграл
При этом интеграл
f (x)
,
f ( x)dx
a
f ( x)dx
называется а б с о л ю т н о
a
сходящимся
25

25.

ЗАМЕЧАНИЕ
1) Если сходится интеграл f ( x) dx , то абсолютно
сходятся и интегралы f ( x) cos xdx и
f ( x) sin xdx ,
23.03.2020
так как модули подынтегральных функций не
превосходят f (x)
2) Если интеграл от f (x) расходится, то об интеграле
от f (x ) на одном этом основании ещё ничего нельзя
сказать: он может расходиться, а может и сходиться.
В последнем случае говорят, что
сходится условно
f ( x)dx
a
26

26. Замечание

ПРИМЕР
интеграл
0
sin x
dx (от модуля подынтегральной
x
23.03.2020
sin x
Интеграл Дирихле
0 x dx с х о д и т с я , а
функции) р а с х о д и т с я .
Следовательно, интеграл Дирихле с х о д и т с я
условно.
Его величина вычислена специальными
приёмами равна:
sin x
0 x dx 2
27

27. Пример

РАЗЛИЧИЕ
УСЛОВНО
И
АБСОЛЮТНО
СХОДЯЩИХСЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
УСТАНОВЛЕНО
И
В
1854 Г.
П. Г. Л. ДИРИХЛЕ
23.03.2020
ДЖ. СТОКСОМ
28

28. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле в 1854 г.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ II РОДА
b
называется предел интеграла
Записывают это так:
f ( x)dx
23.03.2020
Пусть функция f (x ) имеет разрыв в точке x b
Определение 1: несобственным интегралом от
функции f (x) непрерывной в интервале [a; b)
и неограниченной при x b
при 0 .
a
b
b
f ( x)dx,
f ( x)dx lim
a
0
a
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл называется
с х о д я щ и м с я , а если не существует, то
расходящимся
29

29. Несобственные интегралы II рода

Пусть функция f (x) имеет разрыв в точке x a
23.03.2020
Определение 2: несобственным интегралом от
функции f (x) непрерывной в интервале (a; b]
и неограниченной при x a
b
называется предел интеграла f ( x)dx при 0 .
a
Записывают это так:
b
b
f ( x)dx,
f ( x)dx lim
a
0
a
Если указанный предел существует, то
несобственный интеграл называется
с х о д я щ и м с я , а если не существует, то
расходящимся
30

30.

23.03.2020
Замечание
Если первообразная функция F (x ) известна, то в
обоих случаях можно записать, что
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
F ( x) ) - предел, к
Где F (b) lim F ( x) (или F (a) lim
x a
x b
которому стремится первообразная F (x) при x b
(или при x a).
Если этот предел н е с у щ е с т в у е т , т о
интеграл расходится
31

31.

ТОЧКА РАЗРЫВА ФУНКЦИИ НАХОДИТСЯ
ВНУТРИ ОТРЕЗКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
О п р е д е л е н и е 3 . Несобственным интегралом от
функции f (x) , имеющей разрыв во внутренней
точке x c отрезка интегрирования
[ a; b] , называется интеграл
b
c
b
a
a
c
23.03.2020
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
c
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
f ( x)dx lim
a
0
a
0
c
32

32. Точка разрыва функции находится внутри отрезка интегрирования

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ II РОДА
23.03.2020
Несобственный интеграл, если он существует, выражает площадь
бесконечно высокой криволинейной трапеции
b
b
f ( x)dx,
f ( x)dx lim
a
0
a
33

33. Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

ПРИМЕР
1
S ln xdx lim
0
a 0
23.03.2020
Найти площадь под кривой
y = lnx в интервале
от x = 0 до x = 1
1
ln xdx
a
34

34. Пример

Р1ЕШЕНИЕ
ln xdx x ln x x a F (1) F (a),
1
г де
F (1) 1 ln 1 1 1,
F ( a ) lim a ln a a lim a ln a 0
a 0
23.03.2020
a
a 0
Преобразуем неопределённость
вида 0
Применим правило Лопиталя:
ln a
lim a ln a 0 lim
a 0
a 0 1
a
1
ln a
lim ln a lim a lim ( a ) 0
lim
a 0 1
a 0
a 0
a 0
1
1
2
a
a
a
Ответ: искомая площадь равна S 1 1(ед.пл.)
35

35. Решение

ЗАМЕЧАНИЕ
Признаки сходимости
интегралов от функций с
бесконечными разрывами
подобны признакам
сходимости несобственных
интегралов I рода
23.03.2020
36

36. Замечание

1. На несобственные интегралы без всяких изменений
23.03.2020
Д О ПО ЛНЕ НИ Е
переносятся простейшие свойства определённых
интегралов
2. Основные приемы вычисления несобственных
интегралов:
дифференцирование и интегрирование по параметру,
разложение в ряды,
применение теории вычетов.
37

37. Дополнение

23.03.2020
3. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Несобственные интегралы имеют большое
значение во многих областях математического
анализа и его приложений.
В теории специальных функций
(цилиндрических функций, ортогональных
многочленов и др.) одним из основных способов
изучения является изображение функций в
виде несобственных интегралов, зависящих
от параметра, например, гамма-функция
38

38.

К несобственным интегралам относится и
интеграл Фурье, а также интегралы,
встречающиеся в др. интегральных
преобразованиях.
Решения краевых задач математической физики
записываются кратными несобственными
интегралами с неограниченной
подынтегральной функцией.
В теории вероятностей большое значение
имеет
несобственный интеграл Пуассона
e
x2
23.03.2020
dx
В теории дифракции света используется
несобственный интеграл 2
1
0 sin xdx 2 2
39

39.

23.03.2020
Повторим ?
Классификация интегралов
(дополнение)
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ — интегралы, к которым
есть ответ, и НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ — к
которым ответа нет.
СОБСТВЕННЫЕ — интегралы, которые сам
взял, и НЕСОБСТВЕННЫЕ — которые
списал.
СХОДЯЩИЕСЯ — интегралы, которые
сходятся с ответом, и РАСХОДЯЩИЕСЯ —
которые не сходятся.
40