Лекция №8

1. Касательные и нормальные напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии. Обобщённый закон Гука. Деформация

Лекция 8
Касательные и нормальные
напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии.
Обобщённый закон Гука.
Деформация при сложном
напряженном состоянии.
Удельная потенциальная
энергия деформации

2. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.1
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
Проведем через точку
напряженного тела три взаимно
перпендикулярные плоскости в
системе координат X-Y-Z и
предположим, что напряжения в
этих трех секущих площадках
нам известны. В задаче требуется
определить полное S, нормальное
н и касательное н напряжения в
другой
секущей
площадке,
проходящей через данную точку
и наклоненной к осям X-Y-Z на
углы α, , γ соответственно.

3. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.2
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
Отбросим видимую часть
параллелепипеда и «откроем»
наклонную площадку. Приложив
заданные напряжения к невидимым
граням полученного тетраэдра и
полное напряжение S к наклонной
площадке, а также разложив его на
составляющие по направлению
осей Sx, Sy, Sz, составляем
уравнения
равновесия
для
полученного элемента.
С учетом связанных между собой соотношениям и площади
невидимых площадок тетраэдра и наклонной площадки получаем значения
составляющих полного напряжения

4. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.3
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
1)
Определив составляющие полного напряжения по
приведенным выше формулам, находим полное напряжение на
наклонной площадке:
2)

5. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.4
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
Полное напряжение S в
наклонной
площадке
раскладываем на нормаль к
этой площадке и на ее
плоскость
и
получаем
нормальное н и касательное н
напряжения.
Значение
н
определяем
как
сумму
проекций
на
нормаль
составляющих напряжения S:
3)

6. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.5
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
Подставив выражения (1) в (3), после преобразований
получим
4)
Касательное напряжение в наклонной
определится на основании (2) и (4) по формуле
площадке
5)
Для объемного напряженного состояния справедливо
равенство

7. Напряжения по наклонной площадке при объемном напряженном состоянии

8.6
Напряжения по наклонной
площадке при объемном
напряженном состоянии
Таким образом, если в точке нагруженного тела в какойлибо выбранной системе трех взаимно перпендикулярных
площадок известны нормальные и касательные напряжения, это
значит, что напряженное состояние данной точки полностью
определено. На основании формул (1)-(5) можно определить
напряжения в любых других секущих площадках, проходящих
через данную точку. Исследуя, таким образом, напряженное
состояние в точке, можно определить величину и направление
действия наибольших напряжений, представляющих опасность с
точки зрения прочности данного элемента.

8. Обобщенный закон Гука для объемного напряженного состояния

8.7
Обобщенный закон Гука
для объемного напряженного
состояния
Обобщённый закон Гука — форма закона, которая
применяется для общего случая нагружения изотропных
материалов, когда напряжённое состояние отличается от
линейного (одноосного).
Уравнения представляют собой обобщенный закон Гука
для объемного напряженного состояния.
Деформации ε1, ε2 и ε3 в направлении главных напряжений
называются главными деформациями.

9. Обобщенный закон Гука для плоского напряженного состояния

8.8
Обобщенный закон Гука
для плоского напряженного
состояния
В случае плоского напряжённое состояния
Если известны деформации ε1 и ε2, то, решая уравнения
относительно напряжений σ1 и σ2, получим следующие формулы

10. Деформация при сложном напряженном состоянии

8.9
Деформация при сложном
напряженном состоянии
Установим связь между относительным изменением
объема εV и главными напряжениями. До деформации элемент
занимал объем V0=a×b×c. В деформированном состоянии его
объем
Учитывая незначительную величину относительных
деформаций по сравнению с единицей, последними четырьмя
слагаемыми можем пренебречь, как величинами более высокого
порядка малости.

11. Деформация при сложном напряженном состоянии

8.10
Деформация при сложном
напряженном состоянии
Тогда относительное изменение объема тела.
где
– средняя деформация
Выразив главные деформации через главные напряжения
при помощи обобщенного закона Гука, получим

12. Деформация при сложном напряженном состоянии

8.11
Деформация при сложном
напряженном состоянии
Если ввести среднее напряжение в точке
то последнее равенство можно преобразовать до вида закона Гука
для объемной деформации
где
– модуль объемной упругости.

13. Деформация при сложном напряженном состоянии

8.12
Деформация при сложном
напряженном состоянии
Анализ формул приводит к выводам:
для материалов (каучук, парафин) с большим значением
μ=0,47 деформация будет происходить без изменения объема при
любом из способов нагружения;
для любого материала деформация происходит без
изменения объема, если σ1+σ2+σ3=0. Например, при кручении
σ2=0, σ3=-σ1. Изменяется лишь форма (углы между гранями);
изменение объема происходит без изменения формы, если
σ1=σ2=σ3=σ0 (гидростатическое сжатие);
коэффициент Пуассона не может превышать значения 0,5,
поскольку при μ>0,5 материал уменьшается в объеме при
растяжении.
Примечание: формулы действительны при напряжениях, не
превышающих предела пропорциональности

14. Удельная потенциальная энергия деформации

8.13
Удельная потенциальная
энергия деформации
Потенциальная энергия деформации (U) – это энергия,
которая накапливается в теле при его упругой деформации.
Удельная потенциальная энергия деформации (u) – это
величина потенциальной энергии деформации, приходящаяся на
единицу объема тела.
Существует метод анализа (энергетический метод),
основанный на изучении общих количественных характеристик
конструкции, таких как энергия деформации, работа внешних сил
при деформации конструкции в целом и т. п.
Далее получим формулы для потенциальной энергии
деформации, часто используемые в таких методах.

15. Удельная потенциальная энергия деформации

8.14
Удельная потенциальная
энергия деформации
В соответствии с законом сохранения энергии без учета ее
рассеивания (диссипации), потенциальная энергия деформации
численно равна работе внешних сил, затраченной при упругой
деформации тела:
U=AP .
Тогда
в
случае
простого
растяжения
(сжатия)
потенциальную энергию деформации можно определить как
где P и ∆l – значения усилия и удлинения в промежуточный
момент нагружения.

16. Удельная потенциальная энергия деформации

8.15
Удельная потенциальная
энергия деформации
Учитывая, что на упругом участке
усилие прямо пропорционально удлинению
растягиваемого стержня (по закону Гука),
легко найти данный интеграл (площадь
треугольника под кривой деформирования на
рисунке):
Обобщая эту формулу на случай одновременного действия
трех главных напряжений при объемном напряженном
состоянии, то есть, суммируя потенциальную энергию
деформации от каждого напряжения, получим

17. Удельная потенциальная энергия деформации

8.16
Удельная потенциальная
энергия деформации
Подставляя сюда выражения деформаций из обобщенного
закона Гука, получим выражение для удельной потенциальной
энергии через главные напряжения
При дальнейшем рассмотрении вопроса о прочности
материала при объемном напряженном состоянии удобно
рассматривать удельную потенциальную энергию как состоящую
из двух частей:

18. Удельная потенциальная энергия деформации

8.17
Удельная потенциальная
энергия деформации
1) Удельная потенциальная энергия изменения объема uV.
2) Удельная потенциальная энергия формоизменения uф.