Лекция 1 (2 семестр)

1. Лекция 1 (2 семестр)

Линейное (векторное) пространство.

2.

Определение: Множество L, называется линейным (векторным) пространством, а его
элементы называются векторами, если для них определены операции сложения и
умножения на число, не выводящие их из пространства.
Эти операции обладают свойствами:
1) Коммутативность x + y = y + x
2) Ассоциативность ( x + y ) + z = x + ( y + z )
3)Существует такой нулевой вектор O , что O + x = x для x L
4) Для x L существует вектор y = - x , такой, что x + y = O
5)1 x = x
6) ( x ) = ( ) x
7) Распределительный закон ( + ) x = x + x
8) ( x + y ) = x + y

3.

Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел,
множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.
Если операции сложения и умножения на число определены для действительных
элементов, то линейное (векторное) пространство является вещественным
пространством, если для комплексных элементов – комплексным пространством.
Свойства линейных пространств.
1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.
2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.
3) Для каждого x L верно 0 x = 0
4) Для каждого R и O L верно O = O
5) Если x = O , то = 0 или x = O
6) (-1) x = - x

4.

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования
a1 , a2 ,..., an , то другой вектор b a1 a2 ... an является линейной комбинацией
векторов a i .
Определение: Если a1 a2 ... an 0 только при = = … = = 0, то
векторы a i называются линейно независимыми.

5.

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов,
но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным,
а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного
пространства L.
Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в
виде линейной комбинации векторов базиса.

6.

Матрицы линейных преобразований.
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом e1 , e 2 ,…, e n задано
линейное преобразование А. Тогда векторы А e1 ,А e 2 ,…,А e n - также векторы этого
пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A e1 = a11 e1 + a21 e 2 +…+ an1 e n
A e 2 = a12 e1 + a22 e 2 +…+ an2 e n
……………………………….
A e n = an1 e1 + an2 e 2 +…+ ann e n
Тогда
матрица
А
преобразования А.
=
a11
a 21
...
a
n1
a12
a 22
...
an2
... a1n
... a 2 n
... ...
... a nn
называется
матрицей
линейного

7.

Если в пространстве L взять вектор x = x1 e1 + x2 e 2 +…+ xn e n , то A х L.
Ax x1 e1 x2 e2 ... xn en , где
x1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn
x2 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn
……………………………..
xn an1 x1 an 2 x2 ... ann xn
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе e1 , e 2 ,…, e n .
В матричном виде:
x1
x1 x1
x2
x 2 x 2
А ,
x e1 , e2 ,..., en ,
A x x
...
...
...
x
x x
n
n n

8.

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:
x = x + y
y = y + z
z = z + x
x = 1 x + 1 y + 0 z
y = 0 x + 1 y + 1 z
z = 1 x + 0 y + 1 z
1 1 0
A = 0 1 1
1 0 1
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям
над их матрицами.
Определение: Если вектор х переводится в вектор
линейным
у
преобразованием с матрицей А, а вектор у в вектор z линейным преобразованием с
матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно
линейному преобразованию, переводящему вектор х в вектор z (оно называется
произведением составляющих преобразований).
С = В А

9.

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор х в вектор у и
линейное преобразование В, переводящее вектор у в вектор z . Найти матрицу
линейного преобразования, переводящего вектор x в вектор z .
y1 2 x1 x2 5 x3
z1 y1 4 y 2 3 y3
y 2 x1 4 x2 x3
z 2 5 y1 y 2 y3
y 3x 5 x 2 x z 3 y 6 y 7 y
1
2
3
1
2
3
3
3
A
B
x
y
z
C
x
z
С = В А
2 1 5
1 4 3
A 1 4 1 B 5 1 1
3 5 2
3 6 7
7
2 4 9 1 16 15 5 4 6 15 0
C 10 1 3
5 4 5
25 1 2 6 4 24 .
6 6 21 3 24 35 15 6 14 33 14 23
z1 15 x1 7 x3
Т.е. z 2 6 x1 4 x 2 24 x3
z 33x 14 x 23x
1
2
3
3
Примечание: Если А = 0, то преобразование вырожденное, т.е., например,
плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

10.

Собственные значения и собственные векторы
линейного преобразования.
Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой
вектор х L называется собственным вектором линейного преобразования А, если
существует такое число , что выполняется равенство:
A х х .
При этом число называется собственным значением (характеристическим
числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору х .
Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе e1 , e 2 ,…, e n
a11
a
имеет матрицу А = 21
...
a
n1
... a1n
... a 2 n
, то собственные значения линейного
... ...
... a nn
преобразования А можно найти как корни 1, 2, … , n уравнения:
a12
a 22
...
an2
a11
a12
...
a1n
a 21
a 22 ...
a2n
0
...
...
...
...
a n1
an 2
... a nn
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая частьхарактеристическим многочленом линейного преобразования А.

11.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не
зависит от выбора базиса.
Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование
a12
a
. Тогда преобразование А может быть
плоскости, матрица которого равна 11
a
a
22
21
задано формулами:
x1 a11 x1 a12 x2
a11 a12 x1 x1
;
a
a
x
x
22 2
21
2
x2 a 21 x1 a 22 x2
в некотором базисе e1 , e2 .
Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением ,
то А х х .
x1 x1 a11 x1 a12 x2
(a11 ) x1 a12 x2 0
или
x2 x2 a 21 x1 a 22 x2
a21 x1 (a22 ) x2 0

12.

Т.к. собственный вектор x ненулевой, то х1 и х2 не равны нулю одновременно. Т.к.
данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение,
определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу
Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.
a a12
11
(a11 )( a22 ) a12 a21 2 (a11 a22 ) (a11a22 a12 a21 )
a21
a22
Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного
преобразования А.
Таким образом, можно найти собственный вектор х (х1, х2) линейного
преобразования А с собственным значением , где - корень характеристического
уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения .
Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных
корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.
Следует отметить, что если х - собственный вектор преобразования А, то и
любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным
значением .
Действительно, A(kx ) kAx k x (kx ) . Если учесть, что векторы имеют одно
начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или
собственную прямую.

13.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня
1 и 2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное
количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений
определяет две собственные прямые.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня 1 = 2 = , то либо
имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она
0 х1 0 х2 0
превращается в систему вида:
. Эта система удовлетворяет любым
0 х1 0 х2 0
значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование
называется преобразованием подобия.

14.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного
5 4
.
преобразования с матрицей А =
2 3
x1 x1 5 x1 4 x 2
Запишем линейное преобразование в виде:
x 2 x 2 2 x1 3x 2
Составим характеристическое уравнение:
5
4
(5 )(3 ) 8 15 3 5 2 8 0
2
3
2 - 8 + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: 1 = 7; 2 = 1;

15.

(5 7) x1 4 x2 0 2 x1 4 x2 0
Для корня 1 = 7:
2
x
(
3
7
)
x
0
2
1
2 x1 4 x2 0
Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого
корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.
(5 1) x1 4 x2 0 4 x1 4 x2 0
Для корня 2 = 1:
2
x
(
3
1
)
x
0
2
1
2 x1 2 x2 0
Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго
корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.
Полученные собственные векторы можно записать в виде:
u1 t (e1 0,5e2 ); u2 t (e1 e2 ).

16.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного
6 4
.
преобразования с матрицей А =
4 2
x1 x1 6 x1 4 x 2
Запишем линейное преобразование в виде:
x 2 x 2 4 x1 2 x 2
(6 ) x1 4 x2 0
4 x1 (2 ) x2 0
Составим характеристическое уравнение:
6
4
(6 )( 2 ) 16 12 6 2 2 16 0
4
2
2 - 4 + 4 = 0;

17.

Корни характеристического уравнения: 1 = 2 = 2;
(6 2) x1 4 x2 0
Получаем:
4 x1 4 x2 0
Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого
корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.
Собственный вектор можно записать: u (e1 e2 )t .

18.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного
1 1 3
преобразования А, матрица линейного преобразования А = 1 5 1 .
3 1 1
Составим характеристическое уравнение:
x1 x1 1 x1 1 x2 3 x3
x2 x 2 1 x1 5 x2 1 x3
x x 3 x 1 x 1 x
3
1
2
3
3
1
1
3
1
5
1
3
1
1
0
(1 - )((5 - )(1 - ) - 1) - (1 - - 3) + 3(1 - 15 + 3 ) = 0
(1 - )(5 - 5 - + 2 - 1) + 2 + - 42 + 9 = 0
(1 - )(4 - 6 + 2) + 10 - 40 = 0
4 - 6 + 2 - 4 + 6 2 - 3 + 10 - 40 = 0
- 3 + 7 2 – 36 = 0
- 3 + 9 2 - 2 2 – 36 = 0
- 2( + 2) + 9( 2 – 4) = 0
( + 2)(- 2 + 9 - 18) = 0
Собственные значения:
1 = -2; 2 = 3; 3 = 6;

19.

1) Для 1 = -2:
(1 2) x1 x2 3x3 0
x1 7 x2 x3 0
3x x 3x 0
2
3
1
x1 7 x2 x3 0
3x1 x 2 3x3 0

20.

7 x x3 1
Если принять х1 = 1, то 2
x2 3x3 3
х2 = 0;
x3 = -1;
Собственные векторы: u1 (e1 e3 ) t.
2) Для 2 = 3:
2 x1 x2 3x3 0
x1 2 x2 x3 0
3x x 2 x 0
2
3
1
2 x2 x3 1
Если принять х1 = 1, то
x2 2 x3 3
x1 2 x2 x3 0
3x1 x2 2 x3 0
х2 = -1;
Собственные векторы: u 2 (e1 e2 е3 ) t.
x3 = 1;

21.

3) Для 3 = 6:
5 x1 x2 3x3 0
x1 x2 x3 0
3x x 5 x 0
2
3
1
x2 x3 1
Если принять х1 = 1, то
x2 5 x3 3
x1 x2 x3 0
3x1 x2 5 x3 0
х2 = 2;
Собственные векторы: u3 (e1 2e2 е3 ) t.
x3 = 1;

22.

Квадратичные формы.
Определение:
переменных х1 и х2
Однородный
многочлен
второй
степени
относительно
Ф(х1, х2) = а11 x12 2a12 x1 x2 a22 x22 ,
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется
квадратичной формой переменных х1 и х2.
Определение:
переменных х1, х2 и х3
Однородный
многочлен
второй
степени
относительно
Ф( x1 , x 2 , x3 ) a11 x12 a 22 x 22 a33 x32 2a12 x1 x 2 2a 23 x 2 x3 2a13 x1 x3
не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется
квадратичной формой переменных х1, х2 и х3.

23.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет
а11 а12
. Определитель этой матрицы называется
симметрическую матрицу А =
а12 а 22
определителем квадратичной формы.
Пусть на плоскости задан ортогональный базис е1 ,е2 . Каждая точка плоскости
имеет в этом базисе координаты х1, х2.
Если задана квадратичная форма Ф(х1, х2) = а11 x12 2a12 x1 x2 a22 x22 , то ее можно
рассматривать как функцию от переменных х1 и х2.

24.

Приведение квадратичных форм к каноническому
виду.
а
Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей А 11
а12
Это симметрическое преобразование можно записать в виде:
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a12x1 + a22x2
где у1 и у2 – координаты вектора Ах в базисе е1 ,е2 .
Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде
Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.
а12
.
а 22

25.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке
с координатами х1 и х2 – скалярное произведение х Ах Ф .
Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем
квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой
геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная
форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в
квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.
Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного
преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:
0
.
А 1
0
2
При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к
переменным х1 и х 2 . Тогда:
Ф х1 у1 х 2 у 2
х1 а12
х 2
у1 а11
х1 а 22
х 2
у 2 а12
Тогда у1 1 х1 ,
у2 2 х2 .
Выражение Ф( х1 , х2 ) 1 ( х1 ) 2 2 ( х2 ) 2 называется каноническим видом
квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду
квадратичную форму с большим числом переменных.

26.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду
уравнений кривых и поверхностей второго порядка.
Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму
Ф(х1, х2) = 27 х12 10 х1 х2 3х22 .
Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.
Составим характеристическое уравнение:
27
5
5
3
(27 - )(3 - ) – 25 = 0
2 - 30 + 56 = 0
1 = 2; 2 = 28;
Ф( х1 , х2 ) 2 х1 2 28 х2 2
0;

27.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:
17x2 + 12xy + 8y2 – 20 = 0.
17 6
А =
6 8
17
6
Составим характеристическое уравнение:
0
6
8
(17 - )(8 - ) - 36 = 0
136 - 8 - 17 + 2 – 36 = 0
2 - 25 + 100 = 0
1 = 5, 2 = 20.
x 2 y 2
2
2
1 - каноническое уравнение эллипса.
Итого: 5( х ) 20( у ) 20 0;
4
1
Коэффициенты а11 = 17, а12 = 6, а22 = 8.