Лекция 3

1. Лекция 3

Евклидовые пространства

2.

Евклидовы линейные пространства.
В линейных пространствах можно ввести различные реализации скалярного произведения ( по
аналогии с введенным ранее скалярным произведением в R 3 ) при сохранении некоторых
основных понятий.
Определение. Будем говорить, что в линейном пространстве L введено абстрактное скалярное
произведение, если любой паре элементов x, y L ставится в соответствие число ( x, y ) при
выполнении следующих аксиом:
1. ( x, y ) ( y, x) для любых x, y L ;
2. ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z ) для любых x, y и z L ;
3. ( x, y ) ( x, y ) для любых x, y L , R ;
4. ( x, x) 0 для любого x 0 (при этом x ( x, x) ).

3.

Определение. Линейное пространство L с введенным таким образом скалярным произведением
называется евклидовым линейным пространством.
Пример 1. В пространстве L R n , состоящим из множества наборов из n действительных чисел
x ( x1 , , xn ) , скалярное произведение для произвольных x ( x1 , , xn ) y ( y1 , , yn ) можно
ввести по формуле:
n
( x, y) x j y j
j 1
или по более общей формуле:
n
( x, y) j x j y j (для любых j 0, j 1, n )
j 1
Пи этом для каждого набора ( 1 , , n ) мы будем иметь различные скалярные произведения и
соответствующие им евклидовы пространства.

4.

Пример 2. Мы доказали, что в линейном векторном пространстве
R 3 при наличии
ортонормированного базиса e j j 1 скалярное произведение любых двух векторов x ( x1 , x2 , x3 )
3
и y ( y1 , y2 , y3 ) определяеться формулой ( x, y )
b
3
j
j 1
3
x y . При наличии произвольного базиса
j 1
и
соответствуещего
y ( 1 , 2 , 3 )
представления
j
j
произвольных
x ( 1 , 2 , 3 )
и
3
в этом базисе выражение
( x, y ) j j
j 1
произведением.
элементов
также является скалярным

5.

Пример 3. Пространство L Pn (t ) многочленов степени не выше n также можно рассматривать
в качестве евклидова пространства, если в базисе 1, t , , t n ввести координатную запись любых
двух многочленов:
p(t ) x1 x2t xn 1t n ( x1 , x2 , , xn 1 )
q(t ) y1 y2t yn 1t n ( y1 , y2 , , yn 1 )
И соответствующее скалярное произведение:
n 1
p(t ), q(t ) x j y j
j 1

6.

Пример 4. Линейное пространство L Pn a, b многочленов степени не выше n на отрезке a, b
(доказать, что это множество является линейным пространством!) и ввести в нем скалярные
n 1
произведения
вида
p(t ), q(t ) x j y j ,
j 1
n
или
p(t ), q(t ) p(t ), q(t )dt ,
что
позволяет
0
рассмотреть два различных евклидовых пространства, индуцированных этими скалярными
произведениями.
Замечание. По аналогии со скалярным произведением в R 3 : x , y x y cos можно и для
скалярного произведения ввести понятия «абстрактного угла» между произвольными элементами
и условие ортогональности.

7.

Теорема 6.3. (Неравенство Коши-Буняковского).
Для произвольных элементов x, y евклидова пространства имеет место неравенство КошиБуняковского:
x, y x y .

8.

Доказательство. С учетом свойств скалярного произведения преобразуем скалярный квадрат
y tx, y tx t 2 x, x 2t x, y y, y 0
и
рассмотрим
его
как
квадратный
at 2 bt c 0 ( a ( x, x) x , b 2( x, y ), c ( y, y ) y ).
2
2
Запишем
отрицательности:
D b 2 4ac 4( x, y ) 2 4 x y 0 x, y x y ,
2
что и завершает доказательство.
2
условие
трехчлен
его
не

9.

Теорема (Неравенство треугольника).
Для любых элементов x, y евклидова пространства справедливо неравенство x y x y
(называемое также неравенством Минковского).
Доказательство следует из оценки квадрата нормы для суммы элементов x, y (с учетом
неравенства Коши-Буняковского):
x y x y, x y x, x 2 x, y y, y
2
x 2 x y y x y ,
2
2
Откуда имеем x y x y , что и требовалось доказать.
2

10.

Следствие 1. При «ортогональности» элементов x и y ( x, y 0 ) имеем аналог теоремы
Пифагора в произвольном евклидовом пространстве:
x y x 2 x, y y x y .
2
2
2
2
2
Следствие 2. Из теоремы 7.3 и 7.4 сразу вытекает «равенство параллелограмма» (сумма кваратов
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон). Доказательство следует из
соотношений:
x y x 2 x, y y и x y x 2 x, y y x y ,
2
2
2
2
2
2
при этом
x y x y 2( x y ).
2
2
2
2
2
2

11.

Евклидово линейное пространство называют также унитарным,
или предгильбертовым.

12.

До сих пор обсуждались векторы линейных пространств, и над ними
были определены линейные операции. Понятия длины вектора и угла между
векторами не вводились, равно как и скалярное произведение векторов, которое
в геометрическом пространстве определяется через длины векторов и угол
между ними. В п-мерных пространствах удобнее, оказывается, сделать
наоборот, т.е. сначала ввести понятие скалярного произведения векторов.

13.

Определение.
Длиной
называется число, равное
вектора
х в евклидовом пространстве
(x, x) . Обозначается x .
Очевидно, в силу аксиомы 4º, что длина вектора – вещественное
неотрицательное число, причем длина вектора равна нулю, только если он
нулевой.
Определение. Углом между векторами в евклидовом пространстве
называется число φ, удовлетворяющее условию cos
(x, y)
, 0 .
x y
Определение. Векторы называются ортогональными, если (х, у) = 0.
Для ненулевых векторов это означает, что угол между ними равен π/2.

14.

КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
МАТРИЦА ГРАМА
Определение. Пусть е – базис в евклидовом п-мерном пространстве.
Векторы х и у имеют координатные столбцы Х и Y в этом базисе. Тогда
n
n
n
(x, y) xiei , yiei xi y j (ei ,e j ) .
i 1
i 1
i, j 1
(e1,e1)
Матрица
(e , e )
n 1
базиса е.
(e1, en )
(e , e ) называется матрицей Грама
i j
(en , en )

15.

При помощи матрицы Грама скалярное произведение можно записать в
матричной форме
n
(x, y) xi iY X T Y в евклидовом пространстве,
i 1
n
(x, y) xi iY X T Y в унитарном пространстве.
i 1
Заметим, что в евклидовом пространстве T , т.е симметричная, в
унитарном T . Такие матрицы называются эрмитовыми.

16.

УПРАЖНЕНИЯ
В вещественном арифметическом пространстве скалярное умножение задано как
функция
компонент векторов х и у. Вычислить матрицы Грама
стандартного базиса и базиса, составленного из данных векторов f1,f2 . Найти
выражение скалярного произведения векторов х и у через их компоненты в
базисе f1,f2 . (x, y) 4x1y1 2x1y2 2x2 y1 4x2 y2 ,
f1 (1, 0)T , f2 (1, 1)T .

17.

Задачи для самостоятельного решения
№1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного
умножения (x, y)1 и (x, y)2 . Показать, что для любых чисел 0, 0 ,
одновременно не равных нулю, операцией скалярного умножения будет и
(x, y) (x, y)1 (x, y)2 .
№2. Обозначим через x1,..., xn и y1,..., yn координаты векторов х и у в
некотором
базисе
п-мерного
вещественного
Определить, может ли заданная функция
линейного
F (x, y)
пространства.
служить скалярным
произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств евклидова
скалярного умножения не выполнены:
а) F(x, y) x1y2 x2 y1, n 2;
б) F(x, y) 2x1y1 3x2 y2 , 1) n 2, 2) n 3.

18.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ
Определение.
Система
векторов
{a} (a1,a2,...,an )
называется
ортогональной, если все входящие в нее векторы попарно ортогональны.
Определение.
Система
векторов
{a} (a1,a2,...,an )
называется
ортонормированной, если все входящие в нее векторы попарно ортогональны
и имеют модуль, равный единице.
Утверждение 4. Всякая конечная система попарно ортогональных
ненулевых векторов и, в частности, всякая ортонормированная система
линейно независима.
Доказательство.
Предположим,
что
рассматриваемая
система
n
векторов линейно зависима, т.е.
ja j θ . Домножим последнее равенство
j 1
скалярно на ai. Получим i (ai ,ai ) 0 , откуда следует, что i 0 , т.к. все
векторы системы ненулевые по условию. Аналогично получаем равенство
нулю всех остальных коэффициентов и приходим к противоречию.

19.

УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Е – евклидово или унитарное пространство. Доказать, что: 1) если
вектор f E и ортогонален ко всем векторам из Е, то f θ . 2) Если f , g E и
(f , x) (g, x) для любого x E , то f g .
2. Можно ли утверждать линейную независимость произвольной системы
попарно ортогональных векторов?
Ответ: нет, если в системе есть нулевой вектор, то она линейно зависима.

20.

1. Ввиду линейной независимости всякой ортогональной системы ненулевых
векторов ее можно выбирать в качестве базиса. Особенно удобными являются
ортонормированные базисы (ОНБ). Как выглядит матрица Грама в ОНБ? Как
выглядит формула для скалярного произведения?
2. а) Проверить,
что
1, cost, sin t,..., cos nt, sin nt
тригонометрическая
ортогональна
система
функций
относительно
скалярного
произведения ( f , g)

21.

Теорема (процесс ортогонализации).
Произвольный базис евклидова пространства можно преобразовать в
ортогональный базис, а затем в ортонормированный.
Доказательство. Пусть {a} (a1,a2,...,an ) – произвольная линейно
независимая система векторов в L. Требуется построить в этом пространстве
ОНБ {b} (b1,b2 ,...,bn ) .
1. b1 a1 / a1 ; получили единичный вектор.

22.

1. Разложим
вектор
а2
на
сумму
двух
векторов:
параллельного
и
перпендикулярного b1: a2 21b1 b2 . Чтобы найти коэффициент 21 ,
домножим скалярно правую и левую часть последнего равенства на b1.
Учитывая, что b1 b2 , получаем (b1,a2 ) 21, и тогда
b2 a2 21b1;
нормируем вектор b2 : b2 b2 / b2 .
(Заметим, что b2 0 , иначе a2
противоречит условию).
b1 a1 , т.е. a1,a2 линейно зависимы, что

23.

1. Пусть уже построена система (b1,b2 ,...,bi 1) . Тогда
i 1
bi ai ijb j ; bi bi / bi ,
j 1
причем bi b j ,
j 1,...,i 1 (bi ,b j ) 0 , значит, (b j ,ai ) ij . И bi 0 ,
иначе вектор ai являлся бы линейной комбинацией (b1,b2 ,...,bi 1) , которые
выражены через (a1,a2 ,...,ai 1) .
2.
Процедуру
продолжаем
вплоть
до
ортонормированную систему векторов.
п.
В
результате
получим

24.

УПРАЖНЕНИЕ
Система векторов задана в ортонормированном базисе евклидова пространства
координатными столбцами. При помощи процесса ортогонализации построить
ортонормированный базис в линейной оболочке этих векторов (1, 2, 1)T , (3, 4,
1)T , (1, 3, 1)T .
1
Ответ:
(1, 2, 1)T ,
6
1
(1, 0, 1)T ,
2
1
(1, 1, 1)T .
3

25.

Определение. Вещественную матрицу S называют ортогональной, если
ST S E , т.е. ST S 1.
Определение. Комплексную матрицу S называют унитарной, если
ST S E , т.е. ST S 1.
Утверждение 5. При замене базиса ОНБ переходит в ОНБ тогда и
только
тогда,
когда
матрица
перехода
ортогональная
пространстве и унитарная – в унитарном.
Доказательство. Пусть е – ОНБ, e – ОНБ.
п
Тогда для Е (e ') E ST (e)S ST S S – ортогональна.
п
В U (e ') E ST (e)S ST S S – унитарна.
в
евклидовом

26.

Заметим, что все вышесказанное относилось только к вещественным
линейным
пространствам.
И
определение
скалярного
умножения
для
вещественного пространства окажется неверным в комплексном пространстве.
В самом деле, рассмотрим четвертую аксиому скалярного произведения. Пусть
x θ,
тогда
(x, x) 0.
Возьмем
вектор
y ix ,
для
него
(y, y) (ix,ix) (x, x) 0 , чего быть не может! По этой причине в
комплексном линейном пространстве скалярное произведение определяется
немного иначе.
Определение.
Будем
говорить,
что
в
комплексном
п-мерном
пространстве определено скалярное произведение, если каждой паре векторов
х и у поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у),
удовлетворяющее аксиомам:
1º. (x, y) (y, x) – эрмитова симметричность;
2º. (λх, у) = λ (х, у), где λ – комплексное число;
3º. (х1+х2, у) = (х1, у) + (х2, у) – дистрибутивность;
4º. (х, х) > 0 для всех x θ – положительность.
Определение.
Комплексное
линейное
пространство,
в
котором
определено скалярное произведение, называется унитарным (эрмитовым)
пространством. Будем обозначать унитарные пространства буквой U.