12 P-1

1.

2. 5. дифференцирование функции одного аргумента

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОГО АРГУМЕНТА
5.1 Определение производной
5.2 Геометрический смысл производной
5.3 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
5.4 Производные основных элементарных функций
5.5 Правила дифференцирования
5.6 Производная сложной функции
5.7 Производная обратной функции
5.8 Логарифмическое дифференцирование
5.9 Производная функции, заданной параметрически

3. 5.1 Определение производной

5.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение x :
x x (a; b)
Найдем соответствующее приращение функции:
y f ( x x) f ( x)
y
Если существует предел
f(x+ Δx )
y
f(x )
0
x
х
x+Δx
х
y
lim
x 0 x
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x);
dy
dx

4. 5.1 Определение производной

5.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Итак, по определению:
f ( x x) f ( x)
y lim
x 0
x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b),
называется дифференцируемой в этом интервале;
операция нахождения производной функции называется
дифференцированием.
Значение производной функции y = f(x) в точке x0 обозначается одним из
символов:
y ( x0 );
f ( x0 );
y x
0
Если функция y = f(x) описывает какой-либо физический процесс, то f (x)
есть скорость протекания этого процесса – физический смысл
производной.

5. 5.2 Геометрический смысл производной

5.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ угол
наклона секущей.
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
α
0
y
М
М
x
φ
х
x+Δx
х
y
tg
x
f ( x x) f ( x)
x
При x 0 в силу непрерывности функции y также стремится к
нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а
секущая ММ1 переходит в касательную.
lim lim tg tg
x 0
x 0

6. 5.2 Геометрический смысл производной

5.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
f ( x x) f ( x)
lim
tg k y
x 0
x
Производная f (x) равна угловому коэффициенту касательной к графику
функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.
y
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент
касательной есть k = f (x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
yy y00 кf ('(xx0-)(xx0 ) x0 )
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется
нормалью к кривой.
f ' ( x0 )
1
1
1
kнорм
y y0
( x x0 )
kкас
f '( x0 )
f '( x0 )

7. 5.3 Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

5.3 СВЯЗЬ МЕЖДУ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ И
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ
Теорема
Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она
непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке х,
следовательно существует предел:
y
y
lim
f ( x)
f ( x) ( x)
x 0 x
x
где ( x ) 0 при x 0
По теореме о связи
функции, ее предела и
бесконечно
y 0
малой
y f ( x) x ( x) x lim
x 0
Функция y = f(x) – непрерывна.
функции
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь
производной.

8. 5.4 Производные основных элементарных функций

5.4 ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Таблица производных (без вывода)
1. x n nx n 1
5. a x a x ln a
2. x 1
6. e x e x
1
1
3. 2
x
x
7. log x
x 2 x
1
8. ln x
x
4.
1
a
1
x ln a

9. 5.4 Производные основных элементарных функций

5.4 ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Таблица производных (без вывода)
9. sin x cos x
10. cos x sin x
11. tg x
1
cos 2 x
12. ctg x
1
sin 2 x
13. arcsin x
1
1 x2
1
14. arccos x
2
1 x
1
15. arctg x
1 x2
1
16. arcctg x
1 x2

10. 5.5 Правила дифференцирования

5.5 ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b)
функции, С – постоянная.
(C ) 0
(u v) u v
(u v) u v u v
u
u v u v
2
v
v
(C u ) C u
u u
C C
C C v
2
v
v

11. Уравнения касательной и нормали

УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
Пример
Составить уравнения касательной и нормали для функции
x 5
y
x 2
в точке
x0 2
2 5
3
y 2
2 2
4
1 x 2 x 5 1 x 2 x 5
7
y
2
2
2
x 2
x 2
x 2
7
7
y 2
2
2 2 16

12. Уравнения касательной и нормали

УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ
Пример (продолжение)
y y0 f '( x0 )( x x0 )
3 7
y x 2
4 16
7
7 3
y x
16
8 4
y
7
13
x
16
8
- уравнение касательной
1
y y0
( x x0 )
f '( x0 )
16
3
y x 2
7
4
y
16
32 3
x
7
7 4
16
107
y x
7
28
- уравнение нормали

13. 5.6 Производная сложной функции

5.6 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть даны функции y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная
функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную u x в точке x,
а функция y = f(u) имеет производную yu в соответствующей точке u ,
то сложная функция y = f(φ(x)) имеет производную
по формуле:
y x , которая находится
y x yu u x
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
y f (u ); u (v); v g ( x) y f ( ( g ( x)))
y x yu uv v x

14. 5.6 Производная сложной функции

5.6 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Пример
Вычислить производную функции
y cos(ln12 x)
y (cos(ln12 x)) sin(ln12 x) (ln12 x)
sin(ln12 x) 12ln11 x (ln x)
1
sin ln x 12ln x
x
12
11

15. 5.7 Производная обратной функции

5.7 ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть задана дифференцируемая функция y = f(x) и f (x) 0 , пусть
существует обратная функция
x f 1 y .
Из дифференцируемости f(x) следует её непрерывность, а значит и
непрерывность обратной функции, поэтому
x 0 y 0
1
1
1
x
x y lim
lim
x 0 y
y 0 y
y
y x
lim
x 0 x
x
1
x y
y x

16. 5.8 Логарифмическое дифференцирование

5.8 ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную
функцию сначала прологарифмировать, а затем результат
продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Типы функций, к которым применяют логарифмическое
дифференцирование:
1) функция, построенная при помощи нескольких операций произведения
и (или) деления
x 3 4 3 2 x 3 e x
4
Например:
y
3x 2 5
2
2) степенно-показательная функция
Например:
y sin 2 x 1
cos x 2 1

17. 5.8 Логарифмическое дифференцирование

5.8 ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Для применения логарифмического дифференцирования необходимо
вспомнить свойства логарифмов:
1) ln a b ln a ln b
a
2) ln ln a ln b
b
3) ln a b b ln a
Найти производные следующих функций:
x 4 2 x 3 e
1) y
3x 5
3
4
3
2
2) y sin 2 x 1
2
cos x 2 1
x
самостоятельно
в точке x 1

18. 5.8 Логарифмическое дифференцирование

5.8 ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пример 2
Вычислить производную функции в точке:
2) y sin 2 x 1
cos x 2 1
в точке x 1
cos x 2 1
ln y ln sin 2 x 1
ln y cos x 2 1 ln sin 2 x 1
ln y cos x 2 1 ln sin 2 x 1
y
cos x 2 1 ln sin 2 x 1 cos x 2 1 ln sin 2 x 1
y
cos 2 x 1 2
y
2
2
sin x 1 2 x ln sin 2 x 1 cos x 1
y
sin 2 x 1

19. 5.8 Логарифмическое дифференцирование

5.8 ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Пример 2 (продолжение)
y
2 x sin x 2 1 ln sin 2 x 1 2cos x 2 1 ctg 2 x 1
y
y 2 x sin x 2 1 ln sin 2 x 1 2cos x 2 1 ctg 2 x 1 y
y 2 x sin x 1 ln sin 2 x 1 2cos x 1 ctg 2 x 1 sin 2 x 1
2
2
y 1 2 1 sin 0 ln sin 3 2cos 0 ctg 3 sin 3
y 1 2ctg 3 sin 3 2
cos3
sin 3 2cos3
sin 3
cos 0
cos x 2 1

20. 5.9 Производная функции, заданной параметрически

5.9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
x f (t )
Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:
y g (t )
Выведем формулу для нахождения производной этой функции:
Пусть функция x = f(t) имеет обратную
t f 1 x ,
тогда
– сложная функция
y g t g f 1 x
y x g t
x
g f
1
x x g t t f 1 x x
1
y t
y t t x y t
xt
xt
При выводе использовали:
производную сложной функции
производную обратной функции
требование x 0
t
yt
y x
xt

21. 5.9 Производная функции, заданной параметрически

5.9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пример 1
Вычислить производную функции, заданной параметрически:
x t 2 4t 1
1)
y arctg 2t
xt t 2 4t 1 2t 4
t
yt arctg 2t t
y x
1
1 2t
2t t
2
2
1 4t 2
yt
2
1
xt 2t 4 1 4t 2 t 2 1 4t 2

22. 5.9 Производная функции, заданной параметрически

5.9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пример 2
Вычислить производную функции, заданной параметрически, в точке:
x et cos t
2)
при t
t
y e sin t
x et cos t et cos t et sin t et cos t sin t
t
t
yt et sin t et sin t et cos t et sin t cos t
t
t
yt e sin t cos t sin t cos t
y x t
xt e cos t sin t cos t sin t
y x
sin cos
0 1
1
cos sin 1 0

23. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...