2026 год комбинаторика (3)

1. Элементы комбинаторики

2.

Комбинаторикой
называется
область математики, в которой
изучаются вопросы о том,
сколько различных комбинаций,
подчиненных тем или иным
условиям, можно составить из
элементов,
принадлежащих
заданному множеству.
Комбинаторика является
важным разделом математики,
который исследует закономерности
расположения, упорядочения,
выбора и распределения элементов
с фиксированного множества.

3. Множество

Любая совокупность элементов произвольного
рода, обладающая некоторым общим свойством,
образует множество (соединение).
Примеры множеств:
множество всех действительных чисел,
множество натуральных чисел,
множество всех студентов данного университета,
множество парт в данном классе.

4.

Множество считается определенным, если указаны
все его элементы или указано их общее свойство.
Множества, содержащие конечное число элементов,
называются конечными. Характеристикой конечного
множества является число его элементов.
Множество, состоящее из n элементов, называется
упорядоченным, если каждому элементу этого множества
поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n
таким образом, что различным элементам соответствуют
различные натуральные числа.
Всякое конечное множество можно упорядочить.

5. Правило суммы

Пусть некоторый предмет А может быть выбран m способами, а
другой предмет В может быть выбран n способами. Тогда имеется
m + n возможностей выбрать либо предмет А, либо предмет В.
А
A или В
А В
А В
А
В
В

6. Задача 1

От сквера Кирова до академгородка можно проехать через Ангарский
мост, плотину и новый мост. В первом случае количество дорог равно
2, во втором — 2, в третьем — 3. Сколькими способами можно
добраться от сквера Кирова до академгородка ?
Решение
2+2+3=7

7. Правило произведения

Пусть некоторый предмет А может быть выбран
m способами, а другой предмет В может быть выбран
n способами. Тогда имеется mn возможностей
выбрать предмет А и предмет В.
А и В
А В
А В
А В

8. Задача 2

В киоске продают 5 видов конвертов и 4 вида открыток.
Сколькими способами можно купить конверт и открытку?
5 · 4 = 20

9. Задача 3

Сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную буквы из слова КОНВЕРТ?
Решение
Гласную можно выбрать
двумя способами.
Согласную — пятью
способами.
Ответ. 2 · 5 = 10.

10.

ПЕРЕСТАНОВКИ
Определение: Перестановкой из n элементов
называется любое упорядоченное множество из n
элементов.
Иными словами, это такое множество, для которого
указано, какой элемент находится на первом месте,
какой – на втором, какой- на третьем, …, какой – на n-м
месте.
Перестановки – это такие соединения по n элементам из
данных элементов, которые отличаются одно от другого
порядком элементов.
Число перестановок из n элементов обозначают Рn.
Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

11.

ФАКТОРИАЛ
Определение:
Пусть n - натуральное число. Через n! (читается "эн
факториал") обозначается число, равное произведению
всех натуральных чисел 1 от до n:
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.
В случае, если n = 0, по определению полагается: 0! = 1.

12.

Пример № 6
Найдем значения следующих
выражений:
1!
2!
3!
7!
Пример № 7
Чему равно
а)Р5 ;
б) Р3.
Пример № 8
Упростите
а) 7! · 8
б) 12! · 13 ·14
в) κ! · (κ + 1)

13.

Пример № 9
Сколькими способами можно расставить 8 участниц
финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение.
n =8
Р8=8! = 8·7·6·5 · 4 · 3 · 2 ·1 =40320

14. Задача

Сколько существует четырехзначных чисел, в записи
которых цифры 2, 3, 4, 5 встречаются ровно по одному
разу?
4 3 2 1 4! 24

15. Перестановки с повторениями

Пусть имеются предметы k различных типов.
Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов
первого типа, n2 элементов второго типа,..., nk
элементов k-го типа?
n!
Pn1 ;...nk
,
n1!...nk !
n n1 n2 ... nk

16. Задача

Сколькими способами можно переставить буквы
слова «ананас», так, чтобы получались разные
«слова»? Смысл «слов» значения не имеет.
Решение
«Ананас» - 6:
а – 3; н – 2; с – 1.
6!
6 5 4 3 2 1
P3;2;1
60
3!2!1!
3 2 1 2 1

17.

РАЗМЕЩЕНИЯ
Определение. Размещением из n элементов
по m называется любое упорядоченное множество
из m элементов, состоящее из элементов n элементного
множества.
Число размещений из m элементов по n обозначают:
вычисляют по формуле:

18. Размещения

Размещения без
повторений
n!
(n m)!
n(n 1)(n 2)...(n m 1)
m
An
Размещения с
повторениями
m
m
An n

19.

Пример № 9
Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании
учебных занятий на один день можно поставить 4 различных
предмета. Сколько существует различных способов составления
расписания на один день?
Решение.
Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные
предметы. При составлении расписания мы будем выбирать
4-элементное подмножество (уроков) и устанавливать в нем
порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти
по четыре (m=9, n=4) то есть A94:

20.

Пример
Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика,
можно выбрать старосту и помощника старосты?
Решение.
Имеем 24-элементное множество, элементы которого ученики
класса. При выборах старосты и помощника старосты мы будем
выбирать 2-элементное подмножество (ученика) и
устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно
числу размещений из девяти по четыре(m = 24, n = 2), то
есть A242:

21.

СОЧЕТАНИЯ
Определение. Сочетанием без повторений
из n элементов по m - называется любое m элементное
подмножество n-элементного множества
Число сочетаний из n элементов по m обозначают
и вычисляют по формуле:

22. Сочетания

Сочетания без
повторений
m
Сn
m
An
Pm
Сочетания с
повторениями
n!
m!( n m)!
m
m
С n C n m 1
(n m 1)!
m!(n 1)!

23. Свойства сочетаний

n
0
Сn Сn 1
1
n 1
Сn Сn
n
m
n m
Сn Сn

24.

Учитывается ли порядок следования
элементов в соединении?
ДА
НЕТ
Все ли элементы входят в
соединение?
ДА
ПЕРЕСТАНОВКИ
Рn = n!
НЕТ
РАЗМЕЩЕНИЯ
СОЧЕТАНИЯ

25.

Определить к какому типу относится соединений относится
задача.
1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного
дня из 5 различных уроков?
Учитывается ли порядок следования элементов в соединении? (да)
Все ли элементы входят в соединение? (да)
Вывод: перестановка
2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать
команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?
Все ли элементы входят в соединение?
Вывод: сочетания
(нет)
(на этот вопрос ответ не нужен)

26.

3.Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых
можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе
должны быть различными?
Учитывается ли порядок следования элементов в
соединении?
Все ли элементы входят в соединение?
(нет)
Вывод: размещение
(да)

27. Задача.

В городе проводится первенство по футболу. Сколько в
нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?
Решение.
12!
11 12
С
66
2!(12 2)!
2
2
12

28. Задача.

В группе 10 стрелков, из них 6 снайперов. Для
выполнения боевой задачи нужно отобрать 5 стрелков,
причем снайперов должно быть не меньше 4. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение
Не меньше 4 – это значит, что снайперов должно быть либо 4,
4
либо 5. 4 снайпера из 6 можно выбрать С 6 способами,
остальных стрелков выбираем из оставшихся 4 стрелков (10-6)
С14 способами. Проводим аналогичные рассуждения, когда
в группе снайперов 5.
4 1
5
0
С6 С4 С6 С4 15 4 6 1 66

29. Треугольник Паскаля

• Треугольник Паскаля является одной из наиболее
известных и изящных числовых схем во всей
математике.
• Блез Паскаль, французский математик и философ,
посвятил ей специальный "Трактат об арифметическом
треугольнике".
• Эта треугольная таблица была известна задолго до
1665 года - даты выхода в свет трактата.
• В 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен
на титульном листе учебника арифметики,
написанного астрономом Петром Апианом.

30.

• Изображен треугольник на иллюстрации книги
"Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского
математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.
• Омар Хайям, бывший философом, поэтом,
математиком, знал о существовании треугольника в
1110 году, в свою очередь заимствовав его из более
ранних китайских или индийских источников.

31. Построение треугольника Паскаля

• Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая
таблица "треугольной формы", в которой на вершине
и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из
остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих
над ним слева и справа в предшествующей строке.
• Таблица обладает симметрией относительно оси,
проходящей через его вершину.
Свойства строк
Сумма чисел n-й строки Паскаля равна (потому что при
переходе от каждой строки к следующей сумма членов
удваивается, а для нулевой строки она равна =1)

32. Свойства строк

n
• Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2
(потому что
при переходе от каждой строки к следующей сумма членов
удваивается, а для нулевой строки она равна
2 0 =1)
• Все строки треугольника Паскаля симметричны (потому что
при переходе от каждой строки к следующей свойство
симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична).
• Каждый член строки треугольника Паскаля с номером n
тогда и только тогда делится на т, когда т- простое число, а
n - степень этого простого числа

33. Нахождение элемента треугольника

• Каждое число в треугольнике Паскаля можно
определить тремя способами: Cnk ,
где n - номер строки, k- номер элемента в строке;
• Оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная
со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над
данным.
• Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на
единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих
параллелограмм, ограниченный теми правой и левой
диагоналями, на пересечении которых стоит данное
число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый
параллелограмм не включаются.