Григорьев_Ф_В_Сириус_2026.pptx

1.

КИНЕМАТИКА БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ:
ИДЕИ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
Ф. В. Григорьев
Лицей 1511 при НИЯУ МИФИ, МГУ им. М.В. Ломоносова
1
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

2.

Треугольник перемещений (Векторные уравнения
движения)
Не кидайтесь камнями! Хулиган кинул камень в крышу дома – и
едва увернулся, потому что камень, упруго отскочив от крыши,
упал туда, где стоял хулиган. Найти расстояние от хулигана до
крыши, если времена полета камня туда и обратно t1 и t2. Рост
хулигана гораздо меньше высоты дома.
2
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

3.

Треугольник перемещений
Не кидайтесь камнями! Хулиган кинул камень в крышу дома – и
едва увернулся, потому что камень, упруго отскочив от крыши,
упал туда, где стоял хулиган. Найти расстояние от хулигана до
крыши, если времена полета камня туда и обратно t1 и t2. Рост
хулигана гораздо меньше высоты дома.
3
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

4.

Треугольник перемещений
Не кидайтесь камнями! Хулиган кинул камень в крышу дома – и
едва увернулся, потому что камень, упруго отскочив от крыши,
упал туда, где стоял хулиган. Найти расстояние от хулигана до
крыши, если времена полета камня туда и обратно t1 и t2. Ростом
хулигана можно пренебречь.
L2 + (h + gt12/2)2 = (υ0t1)2
L2 + (h + gt22/2)2 = (υ0t2)2
(L/t1)2 + (h/t1)2 + (gt12/2)2/t12 = (L/t2)2 + (h/t2)2 + (gt22/2)2/t22
L2 + h2 = s2
s2/t12 + g2t12/4 = s2/t22 + g2t22/4
s = gt1t2/2
4
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

5.

Треугольник перемещений
Неизвестная траектория. Камень брошен под углом к
горизонту. Соседние промежутки АВ и ВС камень
проходит за одинаковое время t. Построением найти
положение точки D, в которой камень окажется спустя
время t после прохождения точки C. Ориентация
рисунка относительно горизонтали неизвестна.
5
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

6.

Треугольник перемещений
Неизвестная траектория. Камень брошен под углом к
горизонту. Соседние промежутки АВ и ВС камень
проходит за одинаковое время t. Построением найти
положение точки D, в которой камень окажется спустя
время t после прохождения точки C. Ориентация
рисунка относительно горизонтали неизвестна.
6
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

7.

Треугольник перемещений
Неизвестная траектория. Камень брошен под углом к
горизонту. Соседние промежутки АВ и ВС камень
проходит за одинаковое время t. Построением найти
положение точки D, в которой камень окажется спустя
время t после прохождения точки C. Ориентация
рисунка относительно горизонтали неизвестна.
7
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

8.

Задачи на треугольники перемещений и скоростей
1.Камень бросили под углом α к горизонту со скоростью υ0, Время полета равно τ. Найти
расстояние от точки броска до точки падения. ((υ0τ)2 + (gτ 2/2)2 – υ0τ 3gsinα)1/2
2.Время полета мяча, брошенного под углом к горизонту со скоростью υ0, равно τ. Найти
перемещение мяча, если высота точек броска и падения одинакова. ((υ0τ)2 – (gτ 2/2)2)1/2
3.Из одной и той же точки одновременно под разными углами к горизонту бросили два камня с
одинаковой по величине начальной скоростью. Камни приземлились в одной и той же точке,
времена их полета τ1 и τ2 > τ1. Найти начальную скорость камней, их дальность полета и углы,
под которыми камни бросили к горизонту. (τ12 +τ22)1/2g/2; τ1τ2g/2; tgα1 = τ1 /τ2; α2 = π/2 – α1.
4.С обрыва под углом α брошен камень с начальной скоростью υ0. Найти время полета камня,
если конечная скорость перпендикулярна начальной. τ = υ0/(gsinα)
5. Из одной точки одновременно бросают два камня с горизонтальными скоростями υ1 и υ2,
направленными противоположно. Через какое время скорости камней станут
перпендикулярными друг другу?τ = (υ1υ2)1/2/g; L = τ (υ1 + υ2).
6.С обрыва брошен камень с начальной скоростью υ0. Найти время полета камня, если конечная
скорость υ направлена под углом α к начальной. (υ02 + υ2 – 2υ0υcosα)1/2
7.На рисунке показаны вектор начальной скорости камня,
А
брошенного под углом к горизонту, и траектория камня.
Построением найти вектор скорости камня в точке А.
8
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

9.

Площадь треугольника скоростей ~ горизонтальному перемещению
Максимальная дальность броска с высоты. Найти
максимальную горизонтальную дальность броска с
начальной скоростью υ0 с высоты h. Угол броска
может меняться.
L -?
9
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

10.

Площадь треугольника скоростей ~ горизонтальному перемещению
Максимальная дальность броска с высоты. Найти
максимальную горизонтальную дальность броска с
начальной скоростью υ0 с высоты h. Угол броска
может меняться.
L -?
L -?
Горизонтальная дальность полета:
L = υ0cosα∙τ,
Площадь треугольника скоростей:
S = υ0cosα∙gτ /2
Тогда L = 2S/g.
С другой стороны S = υ0υ sinφ/2. Площадь
максимальна, когда вектора начальной и
конечной скорости перпендикулярны:
S = υ0υ/2, L = υ0υ/g = υ0(υ02 + 2gh)1/2/g
10
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

11.

Вариации задачи на максимальную дальность броска с высоты
1.Камень бросают вниз с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. При какой
минимальной скорости броска камень упадет на расстоянии L от точки броска?
(gL(1 – sinα))1/2
2.С обрыва высотой h бросают камень. При какой минимальной начальной скорости
дальность полета равна L? (g(h2 + L2)1/2 – gh)1/2
3.Склон горы образует угол α с горизонтом. Начальная скорость камня, брошенного из точи
на склоне, равна υ0. На какое максимальное расстояние вверх и вниз вдоль склона можно
забросить камень? υ02/(g(1 ± sinα))
4.Какой должна быть минимальная начальная скорость снаряда, чтобы поразить цель,
удаленную от пушки на расстояние L по горизонтали и находящуюся на высоте H?
(gH + g(H2 + L2)1/2)1/2 .
5.С какой минимальной скоростью нужно бросить камень с поверхности
земли, чтобы он перелетел прямоугольный дом с косой крышей?
Величины, показанные на рисунке, известны.
(g(h + H + (L2 + (H – h)2)1/2))1/2.
6.Катапульта, находясь за крепостной стеной высотой h, ведет
обстрел осаждающих. Начальная скорость снаряда катапульты υ0.
На каком
максимальном расстоянии от стены находятся
поражаемые цели? (υ02/g)(1 – 2gh/υ02)1/2
11
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

12.

Ориентация осей координат
Отскок от крыши. Мяч со скоростью υ0 бросили на крышу
дома, наклоненную под углом α к горизонту. Спустя время τ
мяч упал в точке броска, два раза упруго отскочив от крыши.
Найти угол к горизонту, под которым бросили мяч.
12
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

13.

Ориентация осей координат
Отскок от крыши. В открытой прямоугольной коробке сидит кузнечик,
который умеет прыгать с начальной скоростью V0=3м/с под любым углом к
горизонту. На какой минимальный угол к горизонту нужно наклонить коробку,
чтобы кузнечик смог из неё выпрыгнуть? Считать, что каждая грань коробки
является квадратом со стороной h=52см. Ускорение свободного падения
g=10м/с2.
Сопротивлением
воздуха
пренебречь
Источник:
13
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

14.

Ориентация осей координат
Отскок от крыши. В открытой прямоугольной коробке сидит кузнечик,
который умеет прыгать с начальной скоростью V0=3м/с под любым углом к
горизонту. На какой минимальный угол к горизонту нужно наклонить коробку,
чтобы кузнечик смог из неё выпрыгнуть? Считать, что каждая грань коробки
является квадратом со стороной h=52см. Ускорение свободного падения
g=10м/с2.
Сопротивлением
воздуха
пренебречь
Источник:
14
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

15.

Ориентация осей координат
Отскок от крыши. Мяч со скоростью υ0 бросили с земли на
крышу дома, наклоненную под углом α к горизонту. Спустя
время τ мяч упал в точке броска, два раза упруго отскочив от
крыши. Найти угол к горизонту, под которым бросили мяч.
x(t) = υ0cos(β-α)t – gsinα·t2/2
Проекция скорости на ось X не меняется при ударе
0 = υ0cos(β-α)τ – gsinα·τ2/2
β = α + arсcos(gsinα·τ/(2υ0))
Доп. вопрос: при каких α, τ и υ0 возможно решение?
Доп. вопрос: при каких α, τ и υ0 возможно решение?
15
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

16.

Ориентация осей координат
Отскок от крыши. Мяч со скоростью υ0 бросили с земли на
крышу дома, наклоненную под углом α к горизонту. Спустя
время τ мяч упал в точке броска, два раза упруго отскочив от
крыши. Найти угол к горизонту, под которым бросили мяч.
x(t) = υ0cos(β-α)t – gsinα·t2/2
Проекция скорости на ось X не меняется при ударе
0 = υ0cos(β-α)τ – gsinα·τ2/2
β = α + arсcos(gsinα·τ/(2υ0))
Доп. вопрос: при каких α, τ и υ0 возможно решение?
Доп. вопрос: при каких α, τ и υ0 возможно решение?
16
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

17.

Уравнение траектории.
Отскок от крыши. Мяч со скоростью υ0 бросили с земли на
крышу дома, наклоненную под углом α к горизонту. Спустя
время τ мяч упал в точке броска, два раза упруго отскочив от
крыши. Найти угол к горизонту, под которым бросили мяч.
17
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

18.

Экстремальные задачи баллистики
Отскок от крыши. Мяч со скоростью υ0 бросили с земли на
крышу дома, наклоненную под углом α к горизонту. Спустя
время τ мяч упал в точке броска, два раза упруго отскочив от
крыши. Найти угол к горизонту, под которым бросили мяч.
18
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

19.

Площадь треугольника скоростей ~ горизонтальному перемещению
Максимальная дальность броска с высоты. Найти
максимальную горизонтальную дальность броска с
начальной скоростью υ0 с высоты h. Угол броска
может меняться.
L -?
19
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

20.

Площадь треугольника скоростей ~ горизонтальному перемещению
Максимальная дальность броска с высоты. Найти
максимальную горизонтальную дальность броска с
начальной скоростью υ0 с высоты h. Угол броска
может меняться.
L -?
L -?
Горизонтальная дальность полета:
L = υ0cosα∙τ,
Площадь треугольника скоростей:
S = υ0cosα∙gτ /2
Тогда L = 2S/g.
С другой стороны S = υ0υ sinφ/2. Площадь
максимальна, когда вектора начальной и
конечной скорости перпендикулярны:
S = υ0υ/2, L = υ0υ/g = υ0(υ02 + 2gh)1/2/g
20
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026

21.

Вариации задачи на максимальную дальность броска с высоты
1.Камень бросают вниз с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. При какой
минимальной скорости броска камень упадет на расстоянии L от точки броска?
(gL(1 – sinα))1/2
2.С обрыва высотой h бросают камень. При какой минимальной начальной скорости
дальность полета равна L? (g(h2 + L2)1/2 – gh)1/2
3.Склон горы образует угол α с горизонтом. Начальная скорость камня, брошенного из точи
на склоне, равна υ0. На какое максимальное расстояние вверх и вниз вдоль склона можно
забросить камень? υ02/(g(1 ± sinα))
4.Какой должна быть минимальная начальная скорость снаряда, чтобы поразить цель,
удаленную от пушки на расстояние L по горизонтали и находящуюся на высоте H?
(gH + g(H2 + L2)1/2)1/2 .
5.С какой минимальной скоростью нужно бросить камень с поверхности
земли, чтобы он перелетел прямоугольный дом с косой крышей?
Величины, показанные на рисунке, известны.
(g(h + H + (L2 + (H – h)2)1/2))1/2.
6.Катапульта, находясь за крепостной стеной высотой h, ведет
обстрел осаждающих. Начальная скорость снаряда катапульты υ0.
На каком
максимальном расстоянии от стены находятся
поражаемые цели? (υ02/g)(1 – 2gh/υ02)1/2
21
МД-2026, Пушкин (Санкт-Петербург), 2026