Матрицы_и_определители_2 курс

1.

Институт физикоматематического,
информационного и
технологического
образования (ИФМИТО)
2026 Новосибирск

2. Матрицы и действия с ними МАТЕРИАЛ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2-ГО КУРСА неИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛьНОСТЕЙ

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ С
НИМИ
МАТЕРИАЛ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ 2-ГО КУРСА
НЕИНЖЕНЕРНЫХ
СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Белоусова М.А.,
преподаватель математики

3.

Матрица
Действия над матрицами
Определитель матрицы
Обратная матрица

4. Матрица

МАТРИЦА
Матрицей размером m×n называется совокупность
m·n чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы из m строк и n
столбцов.
Эту таблицу обычно заключают в круглые
скобки. Например, матрица может иметь вид:

5. Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

ДЛЯ КРАТКОСТИ МАТРИЦУ МОЖНО
ОБОЗНАЧАТЬ ОДНОЙ ЗАГЛАВНОЙ
БУКВОЙ, НАПРИМЕР, А ИЛИ В.
Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы. Элементы матрицы
обозначают aij:
i - номер строки, j – номер столбца
В общем виде матрицу размером m×n
записывают так

6. Виды матриц

ВИДЫ
МАТРИЦ
•квадратная
•прямоугольная
•матрица-строка/столбец
•нулевая
•треугольная
•диагональная
•единичная

7. Квадратная матрица

КВАДРАТНАЯ
МАТРИЦА
Если в матрице число строк
равно числу столбцов, то
матрица называется
квадратной, причём число ее
строк или столбцов называется
порядком матрицы

8. Прямоугольная матрица

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ
МАТРИЦА
Матрица, в которой число строк не равно числу
столбцов, называется прямоугольной.
Матрица, у которой всего одна строка , называется
матрицей – строкой , а матрица, у которой всего
один столбец, матрицей – столбцом.

9. Нулевая матрица

НУЛЕВАЯ МАТРИЦА
Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается (0), или
просто 0. Например,

10. Главная диагональ

ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬ
Главной диагональю квадратной матрицы
назовём диагональ, идущую из левого верхнего
в правый нижний угол .

11. Треугольная матрица

ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА
Квадратная матрица, у которой все элементы,
лежащие ниже(выше) главной диагонали, равны
нулю, называется треугольной матрицей.
Верхняя треугольная матрица:

12. Диагональная матрица

ДИАГОНАЛЬНАЯ
МАТРИЦА
Квадратная матрица, у которой все элементы,
кроме, быть может, стоящих на главной
диагонали, равны нулю, называется
диагональной матрицей.

13. Единичная матрица

ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА
Диагональная матрица, у которой все
диагональные элементы равны единице,
называется единичной матрицей и обозначается
буквой E.

14. Действия над матрицами

ДЕЙСТВИЯ НАД
МАТРИЦАМИ

15. Какие действия можно выполнять с матрицами?

КАКИЕ
ДЕЙСТВИЯ
МОЖНО
ВЫПОЛНЯТЬ С
МАТРИЦАМИ?
•равенство матриц
•транспонирование
•сложение
•вычитание
•умножение матрицы на число
•умножение
•нахождение обратной матрицы

16. Равенство матриц

РАВЕНСТВО МАТРИЦ
Две матрицы A и B называются равными, если они имеют
одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие
элементы равны aij = bij.
Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 =
b22.

17. Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ – ЭТО
ПЕРЕМЕНА РОЛЯМИ СТРОК И
СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ
Матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от
A к B транспонированием .
Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

18. Найти матрицу транспонированную данной

НАЙТИ МАТРИЦУ ТРАНСПОНИРОВАННУЮ
ДАННОЙ

19. Сложение(вычитание) матриц

СЛОЖЕНИЕ(ВЫЧИТАНИЕ)
МАТРИЦ
Для того, чтобы сложить(вычесть) матрицы A и B нужно к
элементам матрицы A прибавить(отнять) элементы матрицы B,
стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C,
которая определяется по правилу

20. Найти сумму матриц

НАЙТИ СУММУ МАТРИЦ
- нельзя, т.к. размеры матриц различны

21. Умножение матрицы на число

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО
Для того чтобы умножить
матрицу A на число k нужно
каждый элемент матрицы A
умножить на это число .
пример

22. Умножение матриц

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Перемножать можно только те матрицы, у которых
число столбцов первой матрицы совпадает с числом
строк второй матрицы.
Произведением матрицы A не матрицу B называется
новая матрица C=AB, элементы которой составляются
так:

23. Проверить умножение

ПРОВЕРИТЬ
УМНОЖЕНИЕ

24.

Матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом,
т.е. A∙B ≠ B∙A.
Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить
за порядком множителей.

25. 1. Вычислить линейные комбинации матриц:

1. ВЫЧИСЛИТЬ ЛИНЕЙНЫЕ
КОМБИНАЦИИ МАТРИЦ:
1)
2)
2. НАЙТИ АВ - ВА:

26. Определитель матрицы

ОПРЕДЕЛИТЕЛ
Ь МАТРИЦЫ

27. Определитель 2 порядка

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 2 ПОРЯДКА
Определителем (или детерминантом) второго
порядка, соответствующим данной матрице,
называют число
Определитель второго порядка записывается так:
PRESENTATION TITLE

28. примеры

ПРИМЕРЫ

29. Определитель 3 порядка

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ 3 ПОРЯДКА
Определителем (или детерминантом) третьего
порядка, соответствующим данной матрице,
называется число
Определитель третьего порядка записывается так:

30. примеры

ПРИМЕРЫ

31. Вычислите определитель

ВЫЧИСЛИТЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

32. Правило треугольника

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
При вычислении определителей третьего порядка
удобно пользоваться правилом треугольников
(правилом Сарруса). Это правило проиллюстрируем
на схеме.

33.

Еще один способ вычисления
определителя третьего порядка, следует из
правила треугольников:

34.

Разложение определителя

35. Свойства определителя

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

36. Свойства определителя

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

37. Свойства определителя

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

38. Свойства определителя

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

39. Свойства определителя

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

40. Обратная матрица

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

41.

42.

43.

44.

45. Найти обратную матрицу

НАЙТИ
ОБРАТНУЮ
МАТРИЦУ

46. Применение матриц для решений систем уравнений

ПРИМЕНЕНИЕ
МАТРИЦ ДЛЯ
РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ

47. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений: правила и примеры

МЕТОД ГАУССА ДЛЯ
РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ:
ПРАВИЛА И ПРИМЕРЫ
Делим всю строку на 2
Делим всю строку на 3
Вычитаем из 2 первую
47

48.

Подставим y в верхнее уравнение:
x+2=4
Вычислить x несложно:
x=2
И выходит, что решение для нашей
системы уравнений: x = 2, y = 1.
20XX
PRESENTATION TITLE48

49. Усложним задачу

УСЛОЖНИМ ЗАДАЧУ
Умножим на 2 и на 3 и
вычтем соответственно из
второй и третей строки

50.

Для красоты меняем
местами 2 строку и 3 строку
теперь, умножаем 2 строку
на 5 и вычитаем из третей
Округлим до −1.
Найдём значение y во второй строке:
y − (12) × (−1) = −15 → y + 12 = −15 → y = −3
Из первой найдём значение x:
x − (−3) + (−1) = 8 → x + 3 − 1 = 8 → x = 6
Решение для системы уравнений: x = 6, y = −3, z = −1.

51. Метод Крамера

МЕТОД КРАМЕРА
Поскольку уже достаточно подготовлены, рассмотрим
самый общий вид:
Есть система уравнений общего вида
При этом определитель отличен от 0
i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов

52.

В такой форме метод Крамера справедлив без
предположения, что Δ отличен от нуля, не нужно
даже, чтобы коэффициенты системы были бы
элементами целостного кольца (определитель
системы может быть даже делителем нуля в кольце
коэффициентов).

53. Пример решения методом Крамера

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ КРАМЕРА
Решить систему уравнений:

54. Спасибо за внимание готовьте головы к решению практики

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ
ГОТОВЬТЕ ГОЛОВЫ К
РЕШЕНИЮ ПРАКТИКИ