0f693b7c6554401ca7e24dba1beec50d

1. Множества. Операции над множествами. (Урок-лекция №1) 10 класс. УМК Мерзляк А.Г.

Марафон педагогических идей
МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД
МНОЖЕСТВАМИ.
(Урок-лекция №1)
10 класс. УМК Мерзляк А.Г.
Павлова Светлана Михайловна,
учитель математики,
МБОУ СОШ № 3,
Московская область, г. Пущино

2. Множества. Подмножества

МНОЖЕСТВА. ПОДМНОЖЕСТВА
Совокупность элементов, объединённых
некоторым признаком, свойством, составляет
понятие множество.
Например:
множество книг в библиотеке;
множество учеников нашей школы;
множество натуральных чисел N;
множество целых чисел Z;
множество рациональных чисел Q;
множество действительных чисел R.

3.

4.

5.

6.

Например:
если А – множество всех учеников класса, В –
множество девочек в классе, то В А или А В
а а, в, с
N Z ; Z Q; Q N
Замечание. Не стоит путать знаки принадлежности ϵ и включения .
Например:
• 1 {1, 2, 3} – запись ошибочна, т.к. в её левой части находится не
множество;
1 ϵ {1, 2, 3} – запись верна, она означает, что элемент 1 является
элементом множества 1,2,3 ;
• {1; 2} ϵ {0; 1; 2; 3} – запись ошибочна, т.к. в её левой части находится
не элемент множества, а некоторое множество;
• {1; 2} {0; 1; 2; 3} – запись верна.

7.

Запись множеств:

8. Примеры задания множества

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА
Множество всех чисел, являющихся
неотрицательными степенями числа 2, можно
задать:
а) перечислением элементов:
M 2n = 1, 2, 4, 8,16, 32, ...
б) указанием характеристического свойства:
M 2n = 2 i | i Z , i 0

9.

Замечание. Вместо выражения «любое х из множества
Х» можно писать x X , где перевёрнутая латинская
буква А взята от начала английского слова Any – любой.
Вместо выражения «существует элемент х из
множества Х» кратко пишут: x X
, где
перевёрнутая латинская буква Е является начальной в
английском слове Existence – существование.

10. Круги Эйлера

КРУГИ ЭЙЛЕРА
Круги (диагра́ммы) Э́йлера — геометрическая
схема, с помощью которой можно изобразить
отношения между подмножествами, для наглядного
представления.
Эйлерова окружность — это простая диаграмма,
которая может быть использована для отображения
взаимосвязи между общим и его частями. Это также
помогает увидеть логическую цепочку между
явлениями и понятиями.
Метод Эйлера используется для упрощения задач
во многих областях, от математики до управления.
Он помогает находить ответы, создавая четкие
логические цепочки.

11. Виды кругов Эйлера

ВИДЫ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
Эйлер выделил шесть типов отношений между понятиями,
выраженных в соответствующей форме.
1. Равнозначные. Два одинаковых круга. Например, А.С.Пушкин
= автор повести «Капитанская дочка».
2. Пересекающиеся. Часть одного круга частично совпадает с
частью другого (человек может быть одновременно и
футболистом, и поэтом).
3. Подчиненные. Один маленький круг внутри большого (корова
относится к классу млекопитающих).
4. Соподчиненные. Несколько одинаковых по размеру маленьких
кругов внутри большого (яблоко, груша, персик – фрукты).
5. Противоречащие. Разделенный пополам круг, каждая часть
которого не имеет ничего общего с другой. Например, две
конкурирующие между собой компании, производящие
автомобили.
6. Противоположные. Две части круга, между которыми есть
свободное пространство. В отличие от предыдущей группы,
между ними нет конфликта (холодное и горячее).

12. Пересечение множеств

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Пересечением множеств А и В называют
множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих и множеству А, и множеству В.
А В = х х А и х В
Например:
1.
2.
3.
Если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11},
то А В = {3; 9}
Q N=N
Z R=Z

13. Объединение множеств

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ
Объединением множеств А и В называют
множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из этих множеств:
или множеству А, или множеству В.
А В = х х А или х В
Например:
Если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11},
то А В = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}

14. Разность множеств

РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ
Разностью множеств А и В называют множество,
состоящее из всех элементов, принадлежащих
множеству А, но не принадлежащих множеству В.
A∖ B = {x | x ∈ A и x ∉ B}
Например:
Если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11},
то А ∖ В = {12}

15. Пересечение, объединение, разность множеств

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ, ОБЪЕДИНЕНИЕ, РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ
Если множества А и В не имеют общих
элементов, то А В =
Если В А, то А В = В
Если В = А, то А В = А
А =
А = А
Если
В А, то А В = А
А∖ =А
Если В А, то В ∖ А =
Если В = А, то В ∖ А =

16. Решение задач

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

17.

№ 2.
Пусть А – множество различных букв в
слове «математика», а В – множество
различных букв в слове «стереометрия».
Найти пересечение и объединение
множеств А и В.

18.

№ 3. Образуйте все подмножества
множества букв в слове «пять».

19.

20.

№5
В классе английский язык изучают 25
человек, а немецкий – 27 человек, причем
18 человек изучают одновременно
английский и немецкий языки.
Сколько человек в классе:
а) изучают иностранные языки?
б) изучают только английский язык?
в) изучают только немецкий язык?

21.

22.

№6. Множества А и В содержат
соответственно 5 и 6 элементов, а
множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько
элементов в множестве АUВ?
5 + 6 – 2 = 9.

23.

№7.
В одной семье было много детей. 7 из них
любили капусту, 6 морковь, 5 – горох, 4
капусту и морковь, 3 капусту и горох, 2 –
морковь и горох, 1 – и капусту, и морковь,
и горох. Сколько детей было в семье?

24.

25. Самостоятельная работа №1

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №1
Какие из следующих утверждений верны:
а) 3 ϵ {1, 3, 5}
г) 5 {1, 3, 5}
б) {1} ϵ {1, 3, 5}
д) {1, 3, 5}
в) 5 {1, 3, 5}
е) ϵ {1, 3, 5}?
2. Какие из следующих утверждений верны:
а) {3} 3, 9 = 3, 9 в) {3} 3, 9 = 9
б) {3} 3, 9 = 3
г) {3} 3, 9 = 3, 9 ?
3. Даны множества А={х |х² – 4=0} и В= {х |(х–2)(х+3)=0}. Найдите:
а) А В
б) А В
в) А ∖ В
г) В ∖ А
4. На диаграмме Эйлера изображены множества А, В, С.
Заштрихуйте множество:
а) (А С) В
б) (А В) ∖С
в) (В) ∖С) А
1.