1.Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц. Определители

1. Матрица и определитель.

Матрица.
Определитель.

2. Что такое матрица?

Матрицей A = Amn порядка m*n называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая
m - строк и n - столбцов.
Матрица «два на три»
(две строки, три
столбца)
Матрица «три на
три» – квадратная
Матрицы с только
одним столбцом или
только одной строкой
называют векторами.

3. Чего НЕЛЬЗЯ делать

• Переставлять элементы матрицы
• Складывать элементы матрицы

4. Сложение матриц

Не все матрицы можно складывать!
Они должны быть одинаковы по размеру.
Для того чтобы сложить матрицы, необходимо
сложить их соответствующие элементы.

5. Транспонирование матрицы

Нужно ее строки записать в столбцы
транспонированной матрицы.

6. Внесение (вынесение) минуса

Чтобы вынести минус, нужно сменить знак у
каждого элемента матрицы.

7. Умножение матрицы на число

Нужно умножить на число каждый элемент
матрицы.

8. Умножение матриц

Порядок важен!
Чтобы матрицу K можно было умножить на матрицу L нужно, чтобы
число столбцов матрицы K равнялось числу строк матрицы L .
m = n, значит, умножать
можно
, значит, умножать
нельзя

9. Умножение матриц

Умножаем по принципу: строка на столбец.

10. Возведение в степень.

Актуально только для квадратных матриц.
m>1 - целое положительное число. А квадратная матрица.

11. Определитель.

Определи́тель (или детермина́нт) — это
многочлен, комбинирующий элементы
квадратной матрицы таким образом, что его
значение сохраняется при транспонировании
и линейных комбинациях строк или
столбцов.
Обозначается det(A), |А| или Δ(A).
Порядок определителя равен числу
столбцов и числу строк матрицы.
Вычислить определитель – это значит
НАЙТИ ЧИСЛО.

12. Определитель первого порядка

Для матрицы первого порядка
значение определителя равно
значению элемента этой матрицы:
∆ = |a11| = a11
|3| = 3

13. Определитель второго порядка.

Для матрицы 2×2 значение определителя
равно разности произведений элементов
главной и побочной диагоналей:

14. Определитель третьего порядка можно считать разными способами. The choice is yours.

15. Определитель 3-го порядка. Способ Саррюса (параллельных полосок)

Справа от определителя дописывают первых два
столбца и произведения элементов на главной
диагонали и на диагоналях, ей параллельных,
берут со знаком «плюс»; а произведения
элементов побочной диагонали и диагоналей, ей
параллельных, со знаком «минус».

16. Определитель 3-го порядка. Способ Саррюса (параллельных полосок)

17. Определитель 3-го порядка. Правило треугольника.

18. Раскрыть по n-ной строке (столбцу)

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов
строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких
определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ.

19. Ступенчатый определитель

Особый случай, когда определитель имеет так
называемый ступенчатый или треугольный вид,
например:
– в таком определителе все
числа, расположенные ниже главной диагонали,
равны нулю.
Ступенчатый определитель равен произведению
чисел его главной диагонали:

20. Свойства определителя

1. Если все элементы строки или столбца
равны нулю, то и определитель равен нулю.
2. Определитель изменит знак, если поменять
местами какие-либо 2 строки или столбца.
3. Определитель транспонированной
матрицы равен определителю исходной
матрицы.

21. Свойства определителя

4. Определитель равен нулю, если
элементы одной строки
пропорциональны (или равны)
соответствующим элементам другой
строки (для столбцов также).

22. Свойства определителя

6. Общий сомножитель строки
(столбца) может быть вынесен за знак
определителя. (НЕ общий множитель
ВСЕХ элементов!)

23. Свойства определителя

7. Определитель не изменится, если к
элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой
строки (столбца), умноженные на одну и ту же
величину.

24. Стоп! Так я могу не считать сразу всё?

25. Понижение порядка определителя

Получим ноль слева вверху:
Для этого вторую строку умножим на 3: (–3, 6) и к
первой строке прибавим вторую строку,
умноженную на 3:

26.

Идея: получить 2 нуля в какой-то строке
или столбце, тем самым понизив порядок
определителя.
Получим два нуля во второй строке. Ко
второму столбцу прибавим третий
столбец, к первому столбцу прибавим
третий, умноженный на (-2).