11_Алгебра_08.09.2026_Степень с рациональным показателем

1. Свойства степени с рациональным показателем.

2. Вспомним теорию

1
Вспомним теорию
Арифметическим корнем n – ой степени (n N, n 2) из
неотрицательного числа a называется такое
неотрицательное число, n – я степень которого равна а:
2n
nk
a
2 n +1
= a,
n N
;
a = a ,
n N
;
2 n +1
a
2n
mn
=
k
m
a,
при
a 0.

3.

2
1)
m
n
Степень с рациональным
показателем.
a = a ,
m
n
m
0,
n
Если
m Z , n N , a 0;
где
то
m
n
a = n am
при
a 0.
2) При a > 0, b > 0, p и q - рациональные числа:
a a = a
p
q
(a ) = a
p q
p
a p a
( ) = p
b
b
p+q
pq
p
a
p −q
=a
q
a
(ab) = a b
p
p
p

4. Тренировочные упражнения

5
1) Вычислить:
2
3 − 3 27 9 − 5
− 64
3
2) Найдите значение выражения
3) Упростить выражение
=-26,5
3
c c
5
c
−
1
5
5
6 − 2 17 5 6 + 2 17 = -2
=1
4
4) Найдите значение выражения
(
2с −
2с +
d
−
d
5) Упростить выражение
2c +
2c −
d
) (
d
1
2
d
−
2c
1
3
1
2
2c
)
d
125 + 8 5 − 5 49
1
2
6) Упростить выражение
a + 2 + 2 a +1 − a + 2 − 2 a +1
2
2
2
2
= 2
=
4
= 7 5 − 35

5.

Задания для самостоятельной работы
Вычислить: 1)
2)
(( 4 2 + 4 8 ) 2 − 6)(( 4 2 − 4 8 ) 2 + 6)
8 − 28 − 8 + 28
3)
4)
5)
5( 27 −
2
3) :
3
3
2
3
4
b b
(
b
0,5а
1
4
(2 − а)
1
4
(2 − а) а
+
3
2
4
−
3
4
) : ( 2а − а 2 )
−
3
4

6.

Проверка
1)
2)
2
5
(
3
3
−
3
)
3
5( 27 − 3 ) :
=
= 15
3
2
(( 2 + 8 ) − 6)(( 2 − 8 ) + 6) =
4
2
4
4
4
2
= ( 2 + 8 + 2 2 8 − 6)( 2 + 8 − 2 2 8 + 6) =
4
4
= ( 2 + 8 − 2)( 2 + 8 + 2) = ( 2 + 8 ) − 4 =
2
= 2 + 8 + 2 16 − 4 = 14

7.

Проверка
3)
8 − 28 − 8 + 28 =
= 1 − 2 7 + 7 − 1 + 2 7 + 7 = (1 − 7 ) 2 − (1 + 7 ) 2 =
= 1 − 7 − 1 + 7 = 7 − 1 − 1 − 7 = −2
4)
5
6
−
5
−
6 6
1
−
3 3
−
1
3
64 − (0,125) − 32 2−4 16
= (2 )
− (0,5 )
−4
−1
1
2
+ (30 ) 4 4 =
3
−
4
2
− 2 2 (2 )
5
+ 1 4 =
1 −1
−6
−5
−5
= 2 − ( ) − 2 2 + 4 = 2 − 2 − 2 + 4 = 2
2
−5

8.

Проверка
3
3
3
3
3
( 100 + 2 5 + 2 2 )( 10 − 4 ) =
5)
(а + аb + b )(a − b) = a − b следует
3
3
3
3
= ( 10 ) − ( 4 ) = 10 − 4 = 6
По формуле
6)
b3 b 2
3
b
4
2
2
2 4
1+ −
3 3
=b
3
1
3
=b =
3
3
b

9.

Проверка
7)
(
0,5а
1
4
(2 − а)
1)
1
4
(2 − а) а
+
3
2
4
3
4
2 0,5a + (2 − a) (2 − a) a
2 (2 − a)
2)
1
4
3
4
1
4
−
3
4
1 a (2 − a)
3
4
a (2 − a)
3
4
3
4
=1
3
4
) : ( 2а − а 2 )
−
3
4
=
−
1
3
4
a (2 − a)
3
4
3
4
;
=1