Лек_Системы_счисления2025Итог (1)

1. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Кафедра прикладной информатики и
статистики МосГу
Доцент Гаврилова О.В. 2025 г.
gavrilovamosgu@yandex.ru

2.

Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там
говорят на разных языках, считают одинаково, "поарабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет
назад ничего подобного и в помине не было даже в
просвещенной Европе, не говоря уже об Африке или
Америке.
Но тем не менее числа люди все равно как-то записывали.
У каждого народа была своя собственная или
позаимствованная у соседа система записи чисел. Одни
использовали буквы, другие - значки, третьи - закорючки. У
кого-то получалось удобнее, у кого-то не очень.
Но не так-то просто даже имея цифры (значки, которыми
записываются числа), записать какое-нибудь число. Для
этого нужна система счисления (способ записи чисел с
помощью цифр).

3.

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же
появилась необходимость в названии и записи чисел. Язык,
применяемый для наименования, записи чисел и
выполнения действий над ними называют системой
счисления.
Простейшая система записи натуральных чисел требует
лишь одной цифры, например «палочки» (или зарубки на
дереве, как у первобытного человека, или узелка на веревке,
как у индейцев Америки), которая изображает единицу.
Повторяя этот знак, можно записать любое число: каждое
число n записывается просто n «палочками». В такой системе
счисления удобно выполнять арифметические действия. Но
подобный способ записи очень не экономичен и для больших
чисел неизбежно приводит к ошибкам в счете.

4.

Наиболее известные системы счисленияи мира:
Древнеегипетская нумерация
Древнегреческая нумерация
Вавилонская нумерация
Нумерация индейцев Майя
Старо-Китайская нумерация
Славянская кириллическая нумерация
Славянская глаголическая нумерация
Латинская нумерация
Современная арабская нумерация

5.

Казалось бы, что понятие числа должно возникнуть одновременно с умением
считать, но это далеко не так. Замечено, что считать до пяти умеют и кошки и
свиньи, но чтобы перейти от пяти предметов к числу “пять”, требовалось
великое открытие, и вот почему. Пять собак или пять свиней - это совсем не то,
что пять орехов. Ведь пять орехов - очень мало, съел - и не заметил, а пять
свиней - очень много, их хватит, чтобы долго кормиться большой семье. Пять
собак - это стая, которая может хорошо защитить от диких зверей, а пять блох
на собаке и разглядеть то трудно. Разве можно их сравнивать?
Знаменитый русский путешественник Н.Н. Миклуха-Маклай, проведши много
лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых
племен имеется три способа счета: для людей, для животных и для утвари,
оружие и прочих неодушевленных предметов. Т.е. там в то время еще не
появлялось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три козы и три
ребенка обладают общим свойством - их количество равно трем.

6.

Как только древние люди научились подсчитывать предметы,
то сразу появилась потребность в отображении чисел. Для
подсчета добычи, овец или жителей племени использовались
зарубки на деревьях, засечки на костях животных и стенах
пещер, камушки, и другие предметы, с помощью которых
можно отобразить количественное значение

7.

Унарной – называется непозиционная система счисления, которая состоит всего
лишь из одного знака (цифры), который обозначает единицу. Как было написано
выше, за «знак» можно было взять всё что угодно – палочку на стене пещеры
или зарубку на дереве.
Почему она называется непозиционной? Тут все очень просто – в таких
отображениях положение знака (цифры) не влияет на его значение. Возьмите две
спички и примите одну за единицу, поменяйте их местами – число не изменится,
каждая спичка, как обозначала 1, так и будет её обозначать
В позиционных системах счисления значение символа зависит от его позиции в
числе.
Примеры применения унарной системы в мире, информатике и
других науках
▪ Обучение маленьких детей счету (на палочках или пальцах)
▪ Использовал Робинзон Крузо после попадания на необитаемый остров;
▪ Применяется в военных частях или тюремных камерах. С помощью
единичного отображения ведется подсчет дней до окончания срока службы
или заключения.С помощью неё в информатике решаются некоторые задачи.
Например, унарная форма использовалась в машинах Тьюринга.

8.

Вавилонская нумерация
Иероглифы жителей Древнего Вавилона составлялись из узких
вертикальных и горизонтальных клинышков, эти два значка использовались
и для записи чисел. Один вертикальный клинышек обозначал единицу,
горизонтальный – десяток. В Древнем Вавилоне считали группами по 60
единиц. Например, число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще 5.
Записывалось такое число с помощью всего двух знаков, один из которых
обозначал, сколько раз взято по 60, а другой - сколько взято единиц.
О том, когда и как возникла у вавилонян шестидесятеричная система,
существует много гипотез, но ни одна пока не доказана. Одна из гипотез,
состоит в том, что произошло смешение двух племен, одно из которых
пользовалось шестеричной системой, а другое – десятичной.
Шестидесятеричная система возникла как компромисс между этими двумя
системами. Другая гипотеза состоит в том, что вавилоняне считали
продолжительность года равной 360 суткам, что, естественно, связывают с
числом 60.
Шестидесятеричная система, в некоторой степени, сохранилась до наших
дней, например, в делении часа на 60 минут, а минуты - на 60 секунд и в
аналогичной системе измерение углов: 1 градус равен 60 минутам, 1 минута
– 60 секундам.

9.

Самыми древними цифровыми знаками являются
вавилонские знаки.
Вавилонская система счисления применялась за две тысячи лет до н. э. Для записи чисел
использовались всего два знака: стоячий клин
клин
для обозначения единиц и лежачий
для обозначения десятков внутри шестидесятеричного разряда.

10.

Одна из версий, почему вавилоняни использовали
шестидесятерисную систему счисления:
Достоверно известно, что Вавилонское царство было
построено на руинах двух могущественных держав –
Шумера и Аккада. От этих цивилизаций осталось много
культурного наследия, которым очень мудро распорядились
вавилоняне.
У шумеров они позаимствовали шестеричный числовой ряд,
в котором присутствовали разряды, а у аккадцев – десятки.
Объединив наработки своих предков, жители нового
государства стали создателями новой науки, которая
получила название «математика».
Вавилонская шестидесятеричная система счисления дала
понять, что позиционность – крайне важный фактор в записи
чисел, потому в дальнейшем по данному принципу были
созданы греческие и арабские цифры. До сих пор мы
отмеряем величины десятками, будто бы разделяя с их
помощью число на разряды. Ну а что касается шестеричного
цикла, то взгляните на циферблат часов.

11.

Почти столь же древними являются египетские цифры. Для выражения
своих мыслей и слов на бумаге египтяне использовали знаки, которые мы в
настоящее время называем иероглифами.
В Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на
изображение пут для коров, десяток пут - одна мерная веревка, и т. д. Для
того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр.
Поэтому такие системы назвали аддитивными (add добавлять, складывать
англ.).
Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне
неудобна для счета.
А ведь всего-то это 1457 и 2026.

12.

Египетская нумерация
Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это
одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку.
Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов
Египтяне использовали палочки.
Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда,
причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем,
или на одну больше.
10. Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли
нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным
иероглифам.
100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после
разлива Нила.
1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда
не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению
этого цветка.
10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх
указательный палец.
100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
1 000 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и
возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное,
поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего
солнца

13.

Египтяне вначале писали числа высшего порядка, а затем низшего. При
этом использовался принцип сложения или умножения. Египтяне также
умели пользоваться дробями. Все египетские дроби имели в числителе
единицу, других дробей они не умели даже выговорить (исключение
составляло 2/3). Дроби писали так же, как и натуральные числа, только
над ними ставилась точка, причем для 1/2 и для 2/3 имели специальные
знаки.

14.

Древнегреческие системы счисления

15.

Число 10 обозначалось Δ (начальной буквой слова «дека» десять). Числа 100, 1000 и 10 000 обозначались Н, Х, М –
начальными буквами соответствующих слов.
Другие числа записывались различными комбинациями этих
знаков.
В третьем веке до нашей эры аттическая нумерация была
вытеснена так называемой ионийской системой. В ней числа 1 –
9 обозначаются первыми девятью буквами алфавита: α
(альфа), β (бэта), γ (гамма), δ (дельта), ε (эпсилон), ς (фау), ζ
(дзета),
η (эта),θ (тэта).

16.

Числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – следующими девятью
буквами: i (йота),
κ (каппа), λ (ламбда), μ (мю), ν (ню), ξ (кси), ο (омикрон), π (пи), с
(копа).
Числа 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 – последними
девятью буквами греческого алфавита.

17.

Алфавитную нумерацию, подобную древнегреческой, имели в
древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. У
какого народа она возникла впервые неизвестно.
В Древнем Риме в качестве «ключевых» использовались числа 1, 5, 10,
50, 100, 500 и 1000. Они обозначались соответственно буквами I, V, X,
L, C, D и М.
Все целые числа (до 5000) записывались с помощью повторения выше
приведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед
меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей
(в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из
большей: VI = 6, т.е. 5 + 1; IV = 4, т.е. 5 – 1;
XL = 40, т.е. 50 – 10; LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра
ставится не более трех раз: LXX = 70, LXXX = 80, число 90
записывается XC (а не LXXXX).
Например: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII
= 1818.

18.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской
нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В
языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры
были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков).
Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах
Западной Европы - до XVI века.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой
записи очень трудно. Однако римская нумерация сохранилась до настоящего
времени. Ее используют для обозначения юбилейных дат, наименования
конференций, глав в книгах.

19.

Первоначальный правильный вид римских цифр такой:
1-I
2 - II
3 - III
4 - IIII
5-V
6 - VI
7 - VII
8 - VIII
9 – VIIII
Теперь эти римские цифры можно легко показать на пальцах одной руки,
считая большой палец = 5, а остальные = 1, то есть цифре V соответствует
отставленный большой палец, а сжатая в кулак рука по форме и
значению соответствует цифре "ноль" (римляне и греки его не писали, но
фактически ноль был). Как видно, написание всех римских цифр является
упрощённым изображением фигур, образуемых при счёте на пальцах
рук.
Написание всех римских цифр является
упрощённым изображением фигур, образуемых при счёте на
пальцах рук.

20.

Правая рука:

21.

а левой руке показываются десятки, поэтому большой палец левой руки
имеет значение 50 (римский символ L - сокращение от латинского laeva homo
- левая рука), а остальные - по 10 (римский символ X, состоящий из двух V, т.е.
=5+5 ).
Левая рука:

22.

О вычислениях римскими цифрами
Восприятие цифр зависит исключительно от привычки, которая при
необходимости возникает очень быстро, поскольку принцип очень
простой: "одна рука - одно число". Например, показанное на двух руках
число 10 выглядит очень узнаваемо - слева 1, а справа 0:

23.

Такая десятичная позиционная система счета позволяет на двух руках
считать до 99. А если слева от вас встанет еще один человек, то вы вдвоем
легко сможете делать сложение и вычитание на пальцах уже до 9999!
При этом пальцы правой руки второго человека имеют значение: большой
палец - 500 и обозначаются символом "D" от латинского Dextro homo правая рука, а остальные - по 100 и обозначаются символом "C" от
латинского Centum - сто.
Четыре пальца левой руки второго человека имеют значение 1000 и символ
"M" от латинского Mille - тысяча, а вот для большого пальца левой руки
второго человека, который имеет значение 5000, а также и для пальцев рук
третьего человека и так далее, общераспространенных символов нет.

24.

Вот так два человека показали бы на пальцах число 2012, которое в римской
записи выглядит как MMXII:

25.

Римские цифры возникли как упрощённое изображение разогнутых
пальцев при пальцевом счете, и до сих пор в Европе при счёте пальцы
разгибают, а России наоборот – загибают.
Отсюда, кстати и пошло выражение «не загибай» в смысле «не
преувеличивай». Поскольку в России каждый палец обозначал единицу
(до десяти считали не на одной, а на двух руках), то для адаптации к
сложившейся практике русские счеты были сделаны в виде удвоенного
абака, где все косточки имеют значение единицы.

26.

Задача 1. Записать числа в римской нумерации: а) 193; б) 564;
в) 2708.
Решение: а) 193 - это сто (С) + девяносто, т.е. сто без десятка (ХС)
+ три (III). Следовательно, 193 запишется как СХСIII.
б) 564 - это пятьсот (D) + пятьдесят (L) + десять (Х) + четыре (IV),
т.е. число 564 запишется как DLХIV.
в) 2708 - это две тысячи (ММ) + плюс пятьсот (D) + сто (С) + сто
(С) + пять (V) + три (III). Следовательно, число 2708 записывается
так: ММDCCVIII.

27.

Славянская глаголическая нумерация
Эта нумерация была создана для переписки чисел в
священных
книгах
западных
славян.
Использовалась она нечасто, но достаточно долго.
По организации она в точности повторяет греческую
нумерацию. Использовалась она с VIII по XIII в.

28.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и
заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц,
или какого-то другого разряда не было, то его пропускали

29.

30.

Славянская кириллическая нумерация
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной
системой для переписки священных книг для славян греческими
монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX
веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение
в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью
чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а"
идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то
есть используются только буквы, которые есть в греческом
алфавите. До XVII века эта форма записи чиcел была
официальной на территории современной России, Белоруссии,
Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные
церковные книги используют эту нумерацию.
Для того, чтобы не перепутать буквы и
цифры,
использовались
титла
горизонтальные черточки над числами, или
точки.

31.

32.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и
заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц,
или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.
Интереснее всего записывались числа второго десятка:
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как
слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для
всех чисел от 11 до 19. Таким образом у славян мы прослеживаем
десятеричную систему счисления.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в
ней используется только сложение:

33.

34.

Тысячи обозначались теми же буквами с «титлами», что и
первые девять цифр, но у них слева ставился знак «≠»: ≠А =
1000, ≠В = 2000, ≠Е = 5000.
Десятки тысяч назывались «тьма», их обозначали, обводя
знаки единиц кружками:
Отсюда произошло выражение «Тьма народу», т.е. очень много
народу.
Сотни тысяч назывались «легионами», их обозначали, обводя знаки
единиц кружками из точек:

35.

Миллионы назывались «леодрами». Их обозначали, обводя знаки
единиц кружками из лучей или запятых:
Десятки миллионов назывались «воронами» или «вранами» и их
обозначали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или
ставя по обе стороны букву К:
Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела
специальное обозначение – над буквой и под буквой ставились
квадратные скобки:

36.

Начало правления Петра I принесло в страну
арабскую
нумерацию,
которой
пользуются
и
сегодня. Однако в богослужебных книгах до сих пор
используют славянскую систему записи.

37.

1. Записать глаголицей числа:
944; 321.
2. Записать кириллической нумерацией числа:
651; 763.
3. Записать числа в римской нумерации:
193; 564; 2708.
4.Записать римскими цифрами следующую
операцию:
350+2021=2371.
5. Нарисовать, как изображались руками римские
числа:
35; 86; 47.

38.

Китайская нумерация
Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных,
поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в
современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла
эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

39.

Нумерация индейцев Майя
Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не
повлеяла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней
использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация
обслуживала пятиричную систему счисления, а потом ее
приспособили для двадцатиричной.

40.

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59; 5+5+5+1 = 16;
20+1+1+1 = 23
Такая запись числа аддитивна, то есть в ней
используется только сложение.

41.

Новая, или арабская нумерация
Это, самая распространенная на сегодняшний день нумерация. Название
"арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из
арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой
нумерации - Индия.
В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации,
но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид
начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке санскрите, использующем алфавит "Деванагари".
Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …,
90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был
введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего
разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную
систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К
середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое
применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай,
Китай, Тибет, Среднюю Азию.

42.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в
арабских странах сыграло руководство, составленное в
начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было
переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке.
В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в
Италии. В других странах она распространяется к XVI веку.
Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее
"арабской". Это исторически неправильное название
удерживается и поныне.
Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (поарабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место"
(перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же
смысл). Это слово применялось для названия знака пустого
разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV
веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

43.

Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая
цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0
— углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д.
Написание
десятичных
существенные
изменения.
установилась в XVI веке.
цифр
в
Форма,
дальнейшем
претерпело
которой
пользуемся,
мы

44.

Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления пользовались при счете некоторые
первобытные племена, она была известна еще древнекитайским математикам,
но по настоящему развил и построил двоичную систему великий немецкий
математик Лейбниц, видевший в ней олицетворение глубокой метафизической
истины.
Двоичной системой счисления пользуются некоторые (местные) культуры в
Африке, Австралии и Южной Америке.
Для изображения чисел в двоичной системе счисления требуется лишь две
цифры: 0 и 1. По этой причине двоичную запись числа легко представить,
пользуясь физическими элементами, которые имеют два различных
устойчивых состояния. Именно это и послужило одной из важных причин
широкого использования двоичной системы в современных электронных
вычислительных машинах.

45.

Четверичной системой счисления пользуются, главным образом, индейские
племена Южной Америки и индейцы юкки в Калифорнии, считающих на
промежутках между пальцами.
Пятеричная система счисления была распространена гораздо шире, чем все
остальные. Индейцы племени таманакос в Южной Америке употребляют для
обозначения числа 5 то же слово, что и для обозначения «всей руки». Слово
«шесть» по-таманакски означает «один палец на другой руке», семь – «два
пальца на другой руке» и т.д. для восьми и девяти. Десять называется «двумя
руками». Желая назвать число от 11 до 14, таманакос протягивают вперед обе
руки и считают: «один на ноге, два на ноге» и т.д. до тех пор, пока не доходят
до 15 – «всей ноги». Затем следует «один на другой ноге» (число 16) и т.д. до
19. Число 20 по-таманакски означает «один индеец», 21 – «один на руке
другого индейца». «Два индейца» означают 40, «три индейца» - 60.
У жителей древней Явы и у ацтеков продолжительность недели составляла 5
дней.

46.

Широкое распространение имела в древности двенадцатеричная система
счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. А
именно, так как четыре пальца руки (кроме большого) имеют в
совокупности 12 фаланг, то по этим фалангам, перебирая их по очереди
большим пальцем, и ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимают за единицу
следующего разряда.
Основное преимущество двенадцатеричной системы состоит в том, что ее
основание делится без остатка на 2, 3 и 4. Сторонники двенадцатеричной
системы появились еще в XVI веке. В более позднее время к их числу
принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт Спенсер, Джон Квинси
Адамс и Джордж Бернард Шоу. Существует даже американское
двенадцатеричное общество, выпускающее два периодических издания:
«Двенадцатеричный бюллетень» и «Руководство по двенадцатеричной
системе». Всей «двенадцатеричников» общество снабжает специальной
счетной линейкой, в которой в качестве основания используется 12.

47.

В устной речи остатки двенадцатеричной системы сохранились и
до наших дней: вместо того, чтобы сказать «двенадцать», часть
говорят «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы
не десятками, а именно дюжинами, например, столовые приборы в
сервизе (сервиз на 12 персон) или стулья в мебельном гарнитуре.
Происхождение двенадцатеричной системы счисления тоже связано со
счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных
четырех пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы
счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в
денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).

48. Системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов
наименования и записи чисел.
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные

49.

Позиционная система имеет еще название
мультипликативная, а непозиционная – аддитивная.
Система счисления - очень сложное понятие. Оно включает в
себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а
так же те, по которым производятся операции над ними.
Самое главное, что нужно знать о системе счисления - ее тип:
аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая
цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно
сложить все значения использованных цифр:
XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10-1+10 = 219;
Во втором типе каждая цифра может иметь разные
значения в зависимости от своего местоположения в
числе:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф "2", и в каждом случае он
принимал разные значения "2000" и "20".
2 1000 + 4 100+2 10+5 = 2425

50. Системы счисления

В непозиционных системах счисления значение символа не
изменяется при перемещении его в числе. Примером
непозиционной системы счисления является римская система
счисления.
Например: III – число три. Символ I обозначает единицу и не
изменяет своего значения в любой позиции.
В позиционных системах счисления значение символа зависит
от его позиции в числе.
Например: 111 – число сто одиннадцать в десятичной системе
счисления. Первая единица показывает количество сотен, вторая количество десятков, третья количество единиц.

51. Позиционные системы счисления

Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется значение символа при переходе его на соседнюю позицию в числе и сколько всего символов используется в данной
системе счисления для записи чисел.
Например:
10 с.с – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
8 с.с – 0,1,2,3,4,5,6,7.
2 с.с – 0,1.
16 с.с – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
За основание системы счисления можно взять любое
положительное число больше единицы.
4

52. Кодирование данных двоичным кодом

Для автоматизации работы с данными, относящимися к различным
типам, очень важно унифицировать их форму представления — для
этого обычно используется прием кодирования, то есть выражение
данных одного типа через данные другого типа.
Проблема универсального средства кодирования достаточно
успешно реализуется в отдельных отраслях техники, науки и
культуры. В качестве примеров можно привести систему записи
математических выражений, телеграфную азбуку, морскую
флажковую азбуку, систему Брайля для слепых и многое другое.
Своя система существует и в вычислительной технике — она
называется двоичным кодированием и основана на представлении
данных последовательностью всего двух
знаков: О и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами, по
английски — binary digit или, сокращенно, bit {бит).

53. Системы счисления

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет
ряд преимуществ перед другими системами:
❖ для ее реализации нужны технические устройства с двумя
устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не
намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
❖ представление информации посредством только двух состояний
надежно и помехоустойчиво;
❖ возможно применение аппарата булевой алгебры для
выполнения логических преобразований информации;
❖ двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов,
необходимых для записи чисел.

54. Кодирование данных двоичным кодом

Одним битом могут быть выражены два понятия: О
или 1 (да или нет, черное или белое, истина или
ложь и т. п.). Если количество битов увеличить до
двух, то уже можно выразить четыре различных
понятия:
00 01 10 11
Тремя битами можно закодировать восемь
различных значений:
000 001 010 011 100 101 110 111
Увеличивая на единицу количество разрядов в
системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в
два раза количество значений, которое может быть
выражено в данной системе, то есть общая
формула имеет вид:
N=2m, где:
N— количество независимых кодируемых значений;
т — разрядность двоичного кодирования, принятая
в данной системе.

55. Позиционные системы счисления

В десятичной системе счисления
Разряды в числе
2
1
0
102=100
101=10
100=1
18510 = 1х102+8х101+5х100 = 100+80+5
В двоичной системе счисления
Разряды в
байте
7
6
5
4
3
2
1
27=128 26=64 25=32 24=16 23=8 22=4 21=2
0
20=1
101110012 = 27+25+24+23+20 = 128+32+16+8+1 = 18510
111111112 = 255 = 256-1 = 28-1

56. Системы счисления

В электрических и электронных устройствах речь идет не о
регистрации положений элементов конструкции, а о регистрации
состояний элементов устройства. Таких устойчивых и
различимых состоянии всего два: включен — выключен; открьгг
—
закрыт; заряжен — разряжен и т. п. Поэтому традиционная
десятичная система, использованная в механических
калькуляторах, неудобна для электронных вычислительных
устройств.
Возможность представления любых чисел (да и не только чисел)
двоичными цифрами впервые была предложена Готфридом
Вильгельмом Лейбницем в 1666 году

57. Кодирование целых и действительных чисел

Целые числа кодируются двоичным кодом достаточно просто —
достаточно взять целое число и делить его пополам до тех пор, пока в
остатке не образуется ноль или единица. Совокупность остатков от
каждого деления, записанная справа налево вместе с последним
остатком, и образует двоичный аналог десятичного числа.
19:2 = 9+1
9:2=4+1
4:2=2+0
2:2 = 1+0
0 в остатке
Таким образом, 1910= 100112.
Для кодирования целых чисел от О до 255 достаточно иметь 8 разрядов
двоичного кода (8 бит). Шестнадцать бит позволяют закодировать целые
числа от О до 65535, а 24 бита — уже более 16,5 миллионов разных
значений.

58. Кодирование целых и действительных чисел

Для кодирования действительных чисел используют 80-разрядное
кодирование.
При этом число предварительно преобразуется в нормализованную
форму:
3,1415926 = 0,31415926*101
300 000 = 0,3*106
123 456 789 = 0,123456789 • 1010
Первая часть числа называется мантиссой, а вторая —
характеристикой. Большую часть из 80 бит отводят для хранения
мантиссы (вместе со знаком) и некоторое фиксированное количество
разрядов отводят для хранения характеристики (тоже со знаком).

59. Представление чисел с плавающей запятой

Представление чисел с плавающей запятой.
При представлении чисел с плавающей запятой часть
разрядов ячейки отводится для записи порядка числа,
остальные разряды - для записи мантиссы. По одному
разряду в каждой группе отводится для изображения знака
порядка и знака мантиссы.
Для того, чтобы не хранить знак порядка, был придуман так
называемый смещённый порядок, который рассчитывается
по формуле 2a-1+ИП, где a - количество разрядов,
отводимых под порядок.
Пример:
Если истинный порядок равен -5, тогда смещённый порядок
для 4-байтового числа будет равен 127-5=122.

60. Кодирование текстовых данных

Если каждому символу алфавита сопоставить определенное целое число
(например, порядковый номер), то с помощью двоичного кода можно
кодировать и текстовую информацию.
Восьми двоичных разрядов достаточно для кодирования 256 различных
символов. Этого хватит, чтобы выразить различными комбинациями восьми
битов все символы английского и русского языков, как строчные, так и
прописные, а также знаки препинания, символы основных арифметических
действий и некоторые общепринятые специальные символы, например
символ «§».
Институт стандартизации США (ANSI — American National
Standard Institute) ввел в действие систему кодирования ASCII (American
Standard Code for Information Interchange — стандартный код
информационного обмена США). В системе ASII закреплены две таблицы
кодирования — базовая и расширенная. Базовая таблица закрепляет значения
кодов от О до 127, а расширенная относится к символам с номерами от 128 до
255.
Аналогичные системы кодирования текстовых данных были разработаны и в
других странах. Так, например, в СССР в этой области действовала система
кодирования КОИ-7 (код обмена информацией, семизначный).

61. Полная таблица десятичных,шестнадцатеричных и двоичных ASCII - кодов

62. Кодирование текстовых данных

Кодировка символов русского языка, известная как кодировка
Windows-1251 у была введена «извне» — компанией Microsoft, но,
учитывая широкое распространение операционных систем и других
продуктов этой компании в России, она глубоко закрепилась и
нашла широкое распространение
Другая распространенная кодировка носит название КОИ-8 (код
обмена информацией, восьмизначный) — ее происхождение
относится ко временам действия Совета Экономической
Взаимопомощи государств Восточной Европы. Сегодня кодировка
КОИ-8 имеет широкое распространение в компьютерных сетях на
территории России и в российском секторе Интернета.
Международный стандарт, в котором предусмотрена кодировка
символов русского алфавита, носит название кодировки ISO
(International Standard Organization — Международный
институт стандартизаци

63. Универсальная система кодирования текстовых данных

Если проанализировать организационные трудности, связанные с созданием
единой системы кодирования текстовых данных, то можно прийти к выводу,
что они вызваны ограниченным набором кодов (256). В то же время очевидно,
что если, например, кодировать символы не восьмиразрядными двоичными
числами, а числами с большим количеством разрядов, то и диапазон
возможных значений кодов станет намного больше. Такая система, основанная
на 16-разрядном кодировании символов, получила название универсальной —
UNICODE. Шестнадцать разрядов позволяют обеспечить уникальные коды
для 65 536 различных символов — этого поля достаточно для размещения в
одной таблице символов большинства языков планеты. Несмотря на
тривиальную очевидность такого подхода, простой механический переход на
данную систему долгое время сдерживался из-за недостаточных ресурсов
средств вычислительной техники (в системе кодирования UNICODE все
текстовые документы автоматически становятся вдвое длиннее). Во второй
половине 90-х годов технические средства достигли необходимого уровня
обеспеченности ресурсами, и сегодня мы наблюдаем постепенный перевод
документов и программных средств на универсальную систему кодирования.

64. Позиционные системы счисления

Десятичная система
Двоичная система
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
1999
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1100100
1111101000
11111001111

65. Позиционные системы счисления

66. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет
важную часть машинной арифметики.
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его
записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр
числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по
правилам десятичной арифметики:

67.

Пример . Число
счисления.
111010002
перевести в десятичную систему
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
N
(степень)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512 1024

68.

• Переведите число из двоичной системы в
десятичную:
1) 111110012
2) 110110002 3) 111101112
4) 111110002
Ответ:249;216;247;230

69.

Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо
его записать в виде многочлена, состоящего из произведений
цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить
по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней
восьмерки:
Таблица 5. Степени числа 8
n
(степень)
0
1
2
3
4
5
6
1
8
64
512
4096
32768
262144

70.

Пример . Число
десятичную систему счисления.
перевести в

71.

Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо
его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр
числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по
правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней
числа 16:
Таблица 6. Степени числа 16
n
(степе
нь)
0
1
2
3
4
5
6
1
16
256
4096
65536
1048576
16777216

72.

Пример: Число FDA116
перевести в
десятичную систему счисления.
Задание. Переведите числоA1F16в десятичное
системы счисления.

73.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо
последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток,
меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как
последовательность последнего результата деления и остатков от
деления в обратном порядке.
Пример.
Число
2210
перевести
в
двоичную
систему
счисления.

74.

• Как представлено число 8310 в двоичной
системе счисления?
• 1) 10010112 2) 11001012
3) 10100112
4) 1010012

75.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его
необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется
остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе
записывается как последовательность цифр последнего результата
деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число
перевести в восьмеричную систему
57110
счисления.

76.

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его
необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не
останется остаток, меньший или равный 15. Число в
шестнадцатеричной системе записывается как последовательность
цифр последнего результата деления и остатков от деления в
обратном порядке.
Пример. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему
счисления.

77. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления

78. Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления

79. Использование восьмеричной и шестнадцатеричной системы счисления

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека
неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Поэтому
используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы
счисления.
Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные,
требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре
(шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной
системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая
степени числа 2).
Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную
систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить
эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой
(четверкой цифр).
Например:

80.

Чтобы перевести число из двоичной системы в
восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить
влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной)
или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую
группу заменить соответ-ствующей восьмеричной
(шестнадцатеричной) цифрой.
Например,

81.

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую
цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
Пример. Число 5318 перевести в двоичную систему счисления.
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо
каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример. Число EE816 перевести в двоичную систему счисления.

82.

При переходе из восьмеричной системы счисления в
шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод
чисел в двоичную систему.
Пример 1. Число FEA16
перевести в восьмеричную систему
счисления.
Пример 2. Число
счисления.
66358 перевести в шестнадцатеричную систему

83.

• Как записывается число A8716 в
восьмеричной системе счисления?
• 1) 4358
2) 15778 3) 52078 4) 64008