Практика-вводнаяДинамические системы

1. Динамические системы

Модель Лотки-Вольтерры

2. Модель Лотки-Вольтерры

Что такое динамическая система и зачем её «качественно анализировать»?
Динамическая система — это просто набор правил, которые говорят, как
меняются величины со временем. Например, как меняется число зайцев и лис
в лесу год от года.
Качественный анализ — это когда мы не пытаемся вывести точную
формулу «сколько будет зайцев через 5 лет», а смотрим на общее поведение:
- Будут ли они вечно колебаться?
- К чему стремится система — к вымиранию, к устойчивому равновесию или к
бесконечному росту?
- Зависят ли колебания от того, с какого числа мы начали?
- Это как смотреть на карту течений в океане, не вычисляя путь каждой капли,
а понимая, куда в целом движется вода.

3.

Одной из первых математических моделей взаимодействующих
популяций является система ОДУ, именуемая моделью ЛоткиВольтерры, которая описывает взаимодействие двух видов, один
из которых является хищником, а другой — жертвой (например,
экологическая система волки-зайцы).
ОДУ – обыкновенное диф. ур-е, т.е. уравнение для функции от
одной переменной

4. Модель «хищник–жертва» — о чём она?

Представьте, что в одном озере живут рыбы-жертвы (планктон, мелкая рыба) —
обозначим их количество буквой x.
А также хищники (щуки, акулы) — обозначим их y.
- Правила жизни такие:
- Если хищников нет (y=0), то жертвы размножаются со скоростью, пропорциональной
их числу. Чем больше жертв, тем больше новых родится. Это записывается как αx,
где α — коэффициент рождаемости (например, 10% в год).
- Но жертвы гибнут от встреч с хищниками. Чем больше жертв и чем больше
хищников, тем чаще они встречаются. Скорость поедания жертв равна βxy, где β —
коэффициент «аппетитности» (как часто хищник находит жертву).
- Хищники без еды вымирают со скоростью γy (коэффициент смертности γ ‘гамма’).
- Но когда хищники едят жертв, они размножаются. Рождение новых хищников
пропорционально числу встреч: δxy, где δ — эффективность превращения съеденной
жертвы в потомство.

5.

Итого имеем систему уравнений:
Здесь dxdt — это скорость изменения числа жертв (производная по времени). Если производная
положительна — жертв становится больше, если отрицательна - меньше.

6. Что такое «положения равновесия»?

Равновесие — это такая ситуация, когда ничего не меняется: и
жертв, и хищников ровно столько, сколько было, и так будет вечно.
Математически это значит, что обе производные равны нулю:
αx−βxy=0,−γy+δxy=0.
Давайте решим эту систему как два простых уравнения.

7.

Из первого: вынесем x: x(α−βy)=0. Значит, либо x=0, либо α−βy=0, то есть y=α/β.
Из второго: вынесем y: y(−γ+δx)=0. Значит, либо y=0, либо −γ+δx=0, то есть x=γ/δx.
Теперь комбинируем решения:
Вариант 1: x=0 и y=0. Обе популяции вымерли. Это тривиальное равновесие.
Вариант 2: x=γ/δ и y=α/β. Это равновесие сосуществования: жертв ровно столько, чтобы хищники не вымирали, а
хищников ровно столько, чтобы жертвы не слишком расплодились.

8. Устойчивость равновесий — что это значит?

Теперь спросим: если мы чуть-чуть отклонимся от равновесия, система
вернётся в него, уйдёт дальше или будет кружить вокруг? Это и
есть устойчивость.
Представьте шар:
В ямке — устойчив (вернётся).
На вершине горки — неустойчив (скатится).
На ровной плоскости — безразличен (останется где положили).
Нам нужно понять, что происходит в маленькой окрестности каждой
точки равновесия. Для этого математики линеаризуют систему —
заменяют сложные нелинейные уравнения на приближённые
линейные, которые работают только очень близко к точке.

9. Точка (0,0) — полное вымирание

• Вблизи этой точки жертв и хищников очень мало. Тогда члены с
произведением xy (они ведь ещё меньше) можно почти не учитывать.
Система становится примерно:
dxdt≈αx, dydt≈−γy.
• То есть жертвы растут экспоненциально (со скоростью α), а хищники
убывают (со скоростью −γ). Если мы чуть-чуть отклонимся от нуля,
например, появится пара жертв, то они начнут размножаться, и
система уйдёт от вымирания. А если появится один хищник без жертв,
он вымрет. Но поскольку любое малое отклонение содержит хотя бы
немного жертв, то система не останется в нуле. Говорят, что точка (0,0)
— это седло: по одному направлению (жертвы) она отталкивает, по
другому (хищники) — притягивает. В реальности это означает, что
состояние «все умерли» неустойчиво — природа не любит пустоты,
если есть хоть малейший источник жертв, они восстановятся.

10. Точка сосуществования (γ/δ,α/β)

Точка сосуществования (γ/δ,α/β)
Здесь анализ сложнее, но если проделать все выкладки (линеаризовать
и найти собственные числа), то окажется, что собственные числа — это
чисто мнимые числа: λ1,2=±isqrt(αγ). Что это значит?
Мнимые числа говорят о том, что вблизи этой точки система не
приближается к ней и не удаляется, а совершает вращение — как
стрелка часов. Траектории в фазовой плоскости (где по оси x — число
жертв,
по
оси
y
—
число
хищников)
представляют
собой эллипсы или замкнутые кривые, окружающие точку равновесия.
Такую точку называют центром. Она нейтрально устойчива: если нас
толкнуть, мы не вернёмся обратно, но и не улетим далеко — мы будем
вечно кружиться вокруг центра с постоянной амплитудой.

11. Фазовый портрет — картина поведения

• Вместо того чтобы смотреть, как меняются x(t) и y(t) во времени по
отдельности, мы рисуем фазовую плоскость: ось абсцисс — жертвы,
ось ординат — хищники. Каждому моменту времени соответствует
точка на этой плоскости. Совокупность всех точек при движении
времени образует траекторию.
• Для модели Лотки—Вольтерры все траектории (кроме точек
равновесия) — это замкнутые петли, вложенные друг в друга, как
круги на воде от брошенного камня. Центр этих петель — точка
сосуществования.
• Почему они замкнуты? Потому что есть величина, которая сохраняется
вдоль каждой траектории, — так называемый первый интеграл. Для
нашей модели это выражение:
δx−γlnx+βy−αlny=const.

12.

• Суть в том, что для каждой замкнутой кривой это число
постоянно. Это как энергия в маятнике: она не меняется, поэтому
маятник качается вечно с одной и той же амплитудой. Так и здесь
— система ведёт себя как идеальный маятник без трения.

13. Первый интеграл

Это величина, которая не меняется со временем, пока система
движется по своей траектории. Представьте себе горку на детской
площадке. Если нет трения, то полная энергия (потенциальная +
кинетическая) всё время остаётся одной и той же, хотя скорость и
высота меняются. В модели Лотки—Вольтерры тоже есть своя
«энергия» — это и есть первый интеграл. Мы называем его H(x,y).
Зная эту энергию, мы можем сказать: система никогда не выйдет за
пределы той замкнутой кривой, где энергия постоянна. Именно
поэтому траектории замкнуты!

14. Почему этот интеграл важен для фазового портрета?

Поскольку H постоянна на каждой траектории, то каждая
траектория лежит на линии уровня функции H. Для любых двух
точек на одной траектории значение H одинаково. График
функции H(x,y) — это воронка с минимумом в точке равновесия.
Линии уровня этой воронки — замкнутые кривые (как изолинии на
карте высот). Именно эти линии и есть наши траектории.
В механике энергия часто имеет вид mv2/2+U(x). Здесь роль
кинетической энергии играют логарифмы, а потенциальной —
линейные члены. Только с точностью до знака. Это не просто
аналогия, а реальная математическая структура, иными словами,
система Лотки—Вольтерры является гамильтоновой с некоторой
заменой переменных.

15. Что это означает для реальных зайцев и лис (акул и рыб, китов и планктона и т.д.)?

• Численность жертв и хищников колеблется периодически. Когда жертв
много, хищники начинают активно размножаться и поедать их. Жертв
становится меньше, хищникам не хватает еды, они вымирают. Затем
жертвы восстанавливаются, и цикл повторяется.
• Амплитуда колебаний (насколько сильно меняются числа) зависит от
начальных условий. Если в начале было много жертв, то пик будет
высоким, а если мало — низким. Это не очень реалистично: в природе
часто амплитуда колебаний стабилизируется независимо от того,
сколько было изначально.
• Колебания не затухают — они длятся вечно. В реальности же из-за
случайных факторов (погода, болезни) колебания обычно либо
затухают, либо становятся регулярными с фиксированной амплитудой
(автоколебания).

16. Почему модель несовершенна и как её улучшают?

Классическая модель Лотки—Вольтерры — это идеализация. Она не
учитывает:
- Ограниченность ресурсов для жертв (пищи, места). В реальности
жертвы не могут расти бесконечно, даже если хищников нет.
- Насыщение хищников — если жертв слишком много, хищник не может
съесть их всех, ему просто некуда девать еду.
- Взаимодействие с другими видами, сезонность, миграции.
Из-за этих упрощений модель является структурно неустойчивой. Это
значит, что малейшее изменение уравнений (например, добавление
конкуренции) может кардинально изменить поведение: центр может
превратиться в устойчивый фокус (колебания затухают) или в
предельный цикл (колебания с фиксированной амплитудой, к которой
стремятся все траектории).

17.

Например, если добавить в уравнение для жертв член,
ограничивающий их рост (−kx2), то точка сосуществования может
стать устойчивым фокусом - тогда после возмущения численности
будут возвращаться к равновесию через затухающие колебания. А
если добавить нелинейность в поедании (насыщение), то могут
возникнуть предельные циклы - устойчивые периодические
колебания, не зависящие от начальных условий.

18.

• Итог — что мы узнали из качественного анализа?
• Мы научились, не решая систему точно, понимать, как она будет
себя вести:
• Нашли все возможные «стоп-кадры» (равновесия).
• Определили их устойчивость: одно — седло (неустойчиво), другое
— центр (нейтрально).
• Поняли, что траектории замкнуты — значит, будут вечные
колебания.
• Увидели, что модель чувствительна к изменениям, и поэтому в
реальных задачах используют её модификации.

19. Что нам нужно для изучения «поведения» динамических систем?

1) Векторная алгебра
2) Линейная алгебра
3) Аналитическая геометрия
4) Дифференциальные уравнения

20. Векторная алгебра

1. Состояние системы — это вектор
В любой динамической системе состояние в каждый момент
времени описывается набором чисел: координаты, скорости,
температуры, концентрации, числа особей в популяции и т.д. Этот
набор естественно объединяется в вектор состояния в
многомерном пространстве (его называют фазовым
пространством).

21.

• Пример: движение материальной точки в 3D задаётся
вектором r⃗(t)=(x(t),y(t),z(t)) и вектором скорости v⃗(t)=(x˙,y˙,z˙).
Вместе это 6 чисел → вектор в 6-мерном фазовом пространстве.
• Для популяционной модели (хищник-жертва) вектор может
быть (Nжертвы,Nхищника) — точка на плоскости.
• Именно вектор позволяет компактно записать состояние, а
изменение состояния во времени — это движение точки (конца
вектора) по траектории в этом пространстве.

22.

• Эволюция описывается векторным полем
• Динамическая система обычно задаётся дифференциальным
уравнением вида
• dx⃗dt=F⃗(x⃗,t) ,где x⃗ — вектор состояния, а F⃗ — векторное поле. Это
правило, которое каждой точке фазового пространства ставит в
соответствие вектор скорости, с которой система движется через эту
точку.
• Векторное поле показывает направление и скорость изменения
состояния. Без векторной записи пришлось бы выписывать систему из
десятков скалярных уравнений — громоздко и непонятно.

23.

• Линейные системы и матрицы — это операторы над векторами
• В огромном классе систем (линейные стационарные) уравнение имеет вид
• dx⃗dt=Ax⃗, где A — матрица (линейный оператор). Действие матрицы на
вектор — это и есть преобразование координат.
• Здесь векторы становятся еще более важными, потому что:
• Собственные векторы матрицы A задают направления, вдоль которых
система эволюционирует независимо (моды).
• Собственные значения определяют, будет ли движение вдоль этих
направлений расти, затухать или колебаться.
• Это позволяет разложить любое сложное движение на сумму независимых
компонент (нормальные моды) — как раз через собственные векторы.

24.

• Численное моделирование
• При компьютерном моделировании динамических систем
(методы Рунге-Кутты, Эйлера) все переменные хранятся как
массивы — те же векторы. Векторные операции позволяют
использовать высокопроизводительные библиотеки (numpy,
BLAS) и распараллеливать вычисления. Векторная форма
уравнений — это стандарт для языков программирования
(MATLAB, Python, Julia).

25.

Фазовые портреты и геометрическая интерпретация
Векторы дают наглядную геометрическую картину. Рисуя
векторное поле на плоскости, мы сразу видим, куда «течет»
система, есть ли аттракторы, сепаратрисы. Для больших
размерностей уже нельзя нарисовать, но математический аппарат
остаётся тем же - векторы и матрицы.