Колебания. Лекция № 8

1. ЛЕКЦИЯ № 8 Колебания.

200
1

2. ВОПРОСЫ 23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Векторная диаграмма. 24. Сложение колебаний одного

направления и частоты. Биения.
Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний.
25. Уравнение динамики
незатухающих колебаний.
Пружинный маятник.
200
2

3. 23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Графическое представление гармонических колебаний.

Векторная диаграмма.
Фазовая плоскость.
200
3

4. Колебания – процессы отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

200
4

5. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: Закон кинематики гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются

Дифференциальное уравнение
гармонических колебаний:
x
2
ω0 x
0
Закон кинематики гармонических
колебаний – колебаний, которые
совершаются по закону синуса или
косинуса (решение
дифференциального уравнения):
x A cos ω0t α
200
5

6. x – смещение или колеблющаяся величина, A – амплитуда колебаний – максимальное смещение или максимальное значение колеблющейся

величины,
(ω0t + α) – величина, стоящая под
знаком косинуса или синуса – фаза
колебаний,
200
6

7. ω0 – собственная частота, она же циклическая частота – количество колебаний за 2π секунды, α – начальная фаза (для момента

времени t = 0),
T – период, время, за которое фаза
получает приращение 2π или время
одного колебания (цикла),
200
7

8. Векторная диаграмма (векторное изображение колебаний) Возьмём ось X. Из точки О отложим вектор a под углом α к оси. Если

привести этот вектор во вращение с
угловой скоростью ω0, то проекция
конца вектора будет перемещаться
по оси X в пределах от –a до +a, по
закону x = a cos(ω0t + α).
200
8

9.

200
9

10. Фазовая плоскость На фазовой плоскости для координат используют значения колеблющейся величины (ось абсцисс – X) и её скорость

(ось
ординат – Y).
x a cos ωt ,
v
x
aω cos ωt α .
200
10

11. Уравнение траектории фазовой кривой X X

Уравнение траектории фазовой
кривой
X
2
2
x
x
1
2
2
a
aω
X
200
11

12. Затухающий осциллятор

200
12

13. Ангармонические колебания. Осциллятор с большим затуханием. β >> ω0

Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0
200
13

14. Предельный случай β = ω0 Этот случай в технике важен тем, что при таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия

Предельный случай β = ω0
2π
2
2
ω ω0 β 0, T
.
ω
Этот случай в технике важен тем,
что при таком соотношении
параметров в случае внешнего
воздействия система может
вернуться в исходное состояние.
(Из-за силы трения система может
не вернуться в исходное положение)
200
14

15.

200
15

16. 24. Сложение колебаний одного направления и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Частные случаи.

200
16

17. Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний x1 = a1 cos(ω0t + φ1), x2 = a2 cos(ω0t + φ2). В соответствии с теоремой

косинусов и рисунком запишем
амплитуду результирующего
колебания
a2 = a12 + a22 + 2a1a2cos(φ2 – φ1).
200
17

18.

200
18

19. Фаза результирующего колебания вычисляется следующим образом

a1 sin 1 a2 sin 2
tg
a1 cos 1 a2 cos 2
200
19

20. Если φ2 ≠ φ1 то говорим о векторном сложении векторов, Если φ2 = φ1 то говорим о скалярном сложении векторов: x = x1 + x2 = (a1

+ a2) cos(ω0t + φ).
200
20

21.

200
21

22. Биения – колебания с пульсирующей амплитудой, которые получаются в результате сложения двух колебаний, обладающими

незначительно отличающимися
частотами.
ω1 ω, ω2 ω ω, ω ω.
200
22

23.

200
23

24. Складываемые колебания x1 = a cos(ωt), x2 = a cos((ω + Δω)t), Результирующее колебание x=x1+x2=2acos(Δωt/2)cos((ω+Δω/2)t)≈ ≈ 2a

cos(Δωt/2) cos(ωt).
Амплитуда результирующего
колебания и период пульсаций
2π
ω
Aрез 2 A cos
t , Tбиения
Δω
2
200
24

25. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Запишем уравнения колебаний в следующей форме: x = a cos(ωt), y = b cos(ωt + α).

Это параметрическая форма записи.
200
25

26. Из этой формы можно получить следующую запись Это уравнение эллипса

Из этой формы можно получить
следующую запись
2
2
x
y 2 xy
2
2
cosα sin α
2
a b
ab
Это уравнение эллипса
200
26

27. В зависимости от фазы α получаем тот или иной вид колебаний. Рассмотрим три варианта. 1) α = 0:

2
x y
0
a b
b
y x
a
200
27

28. 2) α = ±π:

2
x y
0
a b
b
y x
a
200
28

29. 1) α = ±π/2: Если a = b, то получаем окружность: х2 + у2 = R2.

1) α = ±π/2:
2
2
x
y
1
2
2
a
b
Если a = b, то получаем окружность:
х2 + у2 = R2.
200
29

30. Если α = + /2, то точка на траектории будет двигаться по часовой стрелке.

Если α = + /2, то точка на
траектории будет двигаться по
часовой стрелке.
1
200
30

31. Если α =  /2, то точка на траектории будет двигаться против часовой стрелки.

Если α = /2, то точка на
траектории будет двигаться против
часовой стрелки.
200
31

32. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными амплитудами и частотами x  y и неодинаковыми начальными фазами

При сложении взаимно
перпендикулярных колебаний с
различными амплитудами и
частотами x y и неодинаковыми
начальными фазами возникают
сложные результирующие
колебания, которые называют
фигурами Лиссажу.
200
32

33. Если соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний α = /2, наблюдается кривая, напоминающая восьмерку.

Если соотношение частот
ωy 2
ωx 1
и разность фаз складываемых
колебаний α = /2, наблюдается
кривая, напоминающая восьмерку.
200
33

34. При отношении круговых частот и разности фаз складываемых колебаний α = /2 наблюдается более сложная кривая.

При отношении круговых частот
ωy 3
ωx 2
и разности фаз складываемых
колебаний α = /2 наблюдается
более сложная кривая.
200
34

35. Замечание 1: Число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, образованного амплитудами, равно величине отношения

частот.
200
35

36. Замечание 2: Если частоты складываемых колебаний кратны nω и mω, тогда уравнения взаимно перпендикулярных колебаний запишутся в

виде
x a sin nωt α1 ,
mωt α 2 .
y b sin
200
36

37. Траектория результирующего колебания будет замкнутой, её форма зависит от амплитуд a и b, круговых частот nω и mω и значений

начальных фаз α1 и α2.
200
37

38. Комплексные числа Представление колебаний в комплексной форме Комплексное число z = x + iy, x, y – вещественные числа, i2 = – 1

– мнимая единица.
200
38

39.

Y
z
i
ρ
φ
X
1
–i
200
39

40. x = Re z – вещественная часть, y = Im z – мнимая часть, z* = x – iy – комплексно сопряжённое числу z = x + iy, – модуль, φ =

x = Re z – вещественная часть,
y = Im z – мнимая часть,
z* = x – iy – комплексно
сопряжённое числу z = x + iy,
2
2
ρ z x y – модуль,
φ = arctg(y/x) – аргумент.
200
40

41. x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, отсюда z = ρ(cos φ + i sin φ), Формула Эйлера: – комплексная форма,

x = ρ cos φ,
y = ρ sin φ,
отсюда
z = ρ(cos φ + i sin φ),
Формула Эйлера:
e cos i sin
i
z ρe – комплексная форма,
i
i ωt α
z ρe
ρ exp i ωt α
200
41

42.

exp i exp i
cos
,
2
exp i exp i
sin
.
2i
200
42

43.

200
43

44. 25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный, физический и математический маятники.

200
44

45. Рассмотрим систему, с одной степенью свободы. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной x: U = U(x).

Система обладает положением
устойчивого равновесия в точке
x = 0. В этом положении функция
U(x) имеет минимум. Будем
отсчитывать координату и
потенциальную энергию от этого
положения равновесия U(0) = 0.
200
45

46. Рассмотрим динамику гармонических колебаний на примере шарика на пружине. Fвнеш – x 0 x x

Рассмотрим динамику
гармонических колебаний на
примере шарика на пружине.
Fвнеш
–x 0
200
x
x
46

47. Потенциальная энергия пружины Сила действующая на пружину Если сила по своей природе не является упругой, но соответствует

Потенциальная энергия пружины
1 2
U x kx
2
Сила действующая на пружину
U
F
kx Fвн
x
Если сила по своей природе не
является упругой, но соответствует
данному выражению, то её называют
квазиупругой.
200
47

48. Запишем 2-й закон Ньютона для данной системы

m x kx
2
ω0
2
x ω0 x
0
k m
200
48

49. Получим это же выражение из энергетических соотношений. Запишем полную механическую энергию системы и продифференцируем:

2
2
mv
kx
E T U
const
2
2
mvv kxx 0, v x a, v x
2
m x kx 0, x ω0 x 0 (*)
200
49

50. В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением Такие колебания

В отсутствие сил трения движение
под действием квазиупругой силы
описывается дифференциальным
уравнением
x ω x 0
2
0
Такие колебания называются
свободными незатухающими.
200
50

51. Решение уравнения имеет вид Это закон гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются по закону синуса или косинуса.

Решение уравнения x
имеет вид
2
ω0 x
0
x A cos ω0t α
Это закон гармонических колебаний
– колебаний, которые совершаются
по закону синуса или косинуса.
200
51

52. Гармонический осциллятор –физическая система, поведение которой подчиняется уравнениям (динамическому и кинематическому):

Гармонический осциллятор –
физическая система, поведение
которой подчиняется уравнениям
(динамическому и кинематическому):
x
2
ω0 x
0,
x x0 cos ω0t α .
200
52

53. Вообще, можно говорить о модели гармонического осциллятора. Рассмотри несколько примеров гармонических осцилляторов.

200
53

54. Математический маятник – материальная точка массы m на нерастяжимой нити длины ℓ. Действующие силы на точку

F G Fнат ,
ma mg T .
200
54

55.

α
200
55

56. Запишем проекцию на касательную воспользуемся следующими формулами (угол α очень мал) x/ - расстояние, пройденное точкой по

Запишем проекцию на касательную
maτ mg sin α
воспользуемся следующими
формулами (угол α очень мал)
2
d x
aτ 2 , x α, aτ x α , sin α α.
dt
x/ - расстояние, пройденное точкой
по дуге. В итоге получаем уравнение
2
α ω0α
0, ω0 g .
200
56

57. Можно переписать это уравнение не для угла отклонения α, а для смещения x вдоль оси X. Используем формулы В итоге получаем

Можно переписать это уравнение не
для угла отклонения α, а для
смещения x вдоль оси X.
Используем формулы
x x cos α α, cos α 1.
В итоге получаем уравнение
x
2
ω0 x
200
0
57

58. Физический маятник – реальная колебательная система. Физический маятник – некоторое тело, совершающее колебания относительно

оси, непроходящей
через центр масс.
Запишем 2-й закон Ньютона для
вращательного движения
J α M mg sin α
200
58

59.

200
59

60. В случае малых колебаний получаем закон гармонического осциллятора здесь m – масса тела, ℓ – расстояние от точки подвеса до

В случае малых колебаний получаем
закон гармонического осциллятора
2
α ω0α
0, ω0 mg J ,
здесь m – масса тела, ℓ – расстояние
от точки подвеса до центра масс, J –
момент инерции относительно точки
подвеса (оси качания), M – момент
сил, действующий на тело.
200
60

61. Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают

(Тфиз = Тматем):
I
2π
2π
mg
200
пр
g
61

62. Приведенная длина физического маятника расстояние между точками 0 и 0* и есть приведенная длина физического маятника. Сами

Приведенная длина физического
маятника
I
пр m .
расстояние между точками 0 и 0* и
есть приведенная длина
физического маятника. Сами точки 0
и 0* взаимозаменяемы, т. е. при
замене точки 0 на 0* и обратно
период колебаний физического
маятника сохраняется неизменным.
200
62

63.

200
63

64. Согласно теореме Штейнера момент инерции можно представить следующим способом: I0 – момент инерции тела относительно оси,

Согласно теореме Штейнера момент
инерции можно представить
следующим способом:
I I 0 m
2
I0 – момент инерции тела
относительно оси, проходящей через
центр масс.
Если ℓ = ℓ0 (ℓ0 – радиус инерции), то
период колебаний такого маятника
будет минимальным.
200
64

65. Колебательный контур (электрические колебания)

2
q ω0 q
0, ω0
200
1
.
LC
65

66. В отсутствии потерь энергии (нет диссипативных сил) выполняется закон сохранения механической энергии – полная механическая

энергия складывается из
кинетической энергии грузика массой
m (при прохождении положения
равновесия эта энергия
максимальна) и из потенциальной
энергии (максимальна в крайних
положениях).
200
66

67. Запишем выражения для координаты, скорости, ускорения и суммарной механической энергии на примере пружинного маятника:

x X 0 cos ωt α ,
dx
X 0ωsin ωt α ,
dt
d
2
a
X 0ω cos ωt α ,
dt
2
2
2
2
m
kx
m max kX 0
E
.
2
2
2
2
200
67

68.

X
V
A
E
Eп
Eк
t
200
68

69.

200
69

70. ЛЕКЦИЯ № 8 Затухающие колебания. Вынужденные колебания.

200
70

71. ВОПРОСЫ 26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. 27. Вынужденные

колебания.
Амплитуда и фаза вынужденных
колебаний. Резонанс.
28. Связанные колебания.
Нормальные координаты и
нормальные моды колебаний.
200
71

72. 26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. Апериодические процессы.

200
72

73. В случае наличия сил сопротивления (трение) колебания описываются дифференциальным уравнением β – коэффициент затухания, r –

В случае наличия сил сопротивления
(трение) колебания описываются
дифференциальным уравнением
x 2βx
2
ω0 x
0, 2β r m .
β – коэффициент затухания,
r – коэффициент сопротивления,
F = –rx – сила сопротивления.
200
73

74. Рассмотрим случай с малым затуханием (β << ω0), в этом случае решение уравнения имеет вид здесь – частота затухающих колебаний,

Рассмотрим случай с малым
затуханием (β << ω0), в этом случае
решение уравнения имеет вид
x t Ae
βt
cos ωt α
β – частота
здесь ω
затухающих колебаний, амплитуда
колебаний уменьшается по
βt
экспоненте A t A0e
.
2
ω0
200
2
74

75.

200
75

76. Рассмотрим характеристики затухающего колебания

200
76

77. Сравним значения амплитуды в моменты времени, отличающиеся на t/: если t/ = 1/β, то t/ называется постоянной времени

Сравним значения амплитуды в
моменты времени,
отличающиеся на t/:
A t
Ae
βt
β t t e
A t t Ae
A t
e
A t 1 β
если t/ = 1/β, то t/ называется
постоянной времени осциллятора –
время, за которое амплитуда
колебаний уменьшается в «е» раз.
βt
200
77

78. Сравним значения амплитуды колебаний в моменты времени (t) и (t + T): d – логарифмический декремент затухания. Он показывает,

Сравним значения амплитуды
колебаний в моменты времени (t) и
(t + T):
A t
βT
e
A t T
A t
d ln
βT
A t T
d – логарифмический декремент
затухания. Он показывает, на
сколько изменяется амплитуда
колебаний за 1 период.
200
78

79. Например, N – число колебаний функции x(t) после которых амплитуда уменьшается в «е» раз, тогда: Если d = 0,01, то за N = 100

Например, N – число колебаний
функции x(t) после которых
амплитуда уменьшается в «е» раз,
тогда:
t NT
T 1
1 ln z
d βT
t N Ne N z
Если d = 0,01, то за N = 100
колебаний амплитуда уменьшается в
«е» раз.
200
79

80. Добротность – это отношение средней энергии колебаний за некоторый период (E0) к потерям энергии (ΔE) за этот же период со

множителем 2π.
π π
E0
Q
πNe 2π
d βT
E
200
80

81. Ангармонические колебания. Осциллятор с большим затуханием. β >> ω0

Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0
200
81

82. Предельный случай β = ω0 Этот случай в технике важен тем, что при таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия

Предельный случай β = ω0
2π
2
2
ω ω0 β 0, T
.
ω
Этот случай в технике важен тем,
что при таком соотношении
параметров в случае внешнего
воздействия система может
вернуться в исходное состояние.
(Из-за силы трения система может
не вернуться в исходное положение)
200
82

83.

200
83

84. 27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

200
84

85. Если на систему действует внешняя вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону F = F0cosωt, то колебание описывается

уравнением
x 2βx
2
ω0 x
f 0 cos ωt
f 0 F0 m – приведённая сила.
200
85

86. это линейное дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Из математики известно, что его решением

x 2βx
2
ω0 x
f 0 cos ωt
это линейное дифференциальное
неоднородное уравнение с
постоянными коэффициентами. Из
математики известно, что его
решением является решение
общего однородного уравнения и
частного решения собственно
неоднородного уравнения.
200
86

87. Линейное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка: и его решение:

Линейное дифференциальное
однородное уравнение с
постоянными коэффициентами
второго порядка:
x 2βx ω x 0,
2
0
и его решение:
x1 t Ae cos ωt α
βt
200
87

88. Частное решение линейного дифференциального неоднородного уравнения в комплексной форме: Решение уравнения вынужденных

Частное решение линейного
дифференциального неоднородного
уравнения в комплексной форме:
x2 t
ω
f0
2
0
ω 2iωβ
2
e
iωt
Решение уравнения вынужденных
колебаний складывается из этих
двух решений: x1(t) + x2(t),
но x2(t) быстро затухает и его в
вынужденных колебаниях не
учитывают .
200
88

89. Запишем решение в вещественном виде (и без x2(t)): Амплитуда и фаза колебаний определяются выражениями

Запишем решение в вещественном
виде (и без x2(t)):
x a cos ωt .
Амплитуда и фаза колебаний
определяются выражениями
a
2ωβ
, tg 2
.
2
2
2
2
2 2
ω
ω
0
ω0 ω 4ω β
f0
200
89

90. Исследуем поведение амплитуды. При ω = 0 получаем стационарное отклонение a0 = f0/ω0. Максимальное значение амплитуды при

частоте
da
2
2
ω ω0 2β ,
0 .
dω
максимум скорости при ω = ω0,
максимум ускорения
при
2
ω0
ω
2
2
ω0 β
200
90

91.

1
2
3
200
91

92. Эта кривая называется резонансной кривой. Если (в случае малых затуханий) провести горизонтальную линию по уровню то можно

Эта кривая называется резонансной
кривой. Если (в случае малых
затуханий) провести горизонтальную
линию по уровню
a amax
2
то можно задать добротность
следующим образом
amax
ω0 π ω0
Q
a0
2β d ω
200
92

93.

amax
Δω
0,7amax
200
93

94. Резонанс – это явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей силы, равной частоте системы. Но как

видно из формулы
резонансной частоты, резонанс
достигается в случае не строгого
равенства частоты собственной и
частоты внешней периодической
силы: ω ω02 2β 2
200
94

95. Рассмотрим фазу в случае вынужденных колебаний и в случае резонанса рассмотрим фазовую резонансную кривую

Рассмотрим фазу в случае
вынужденных колебаний и в случае
резонанса
2ωβ
tg 2
, tg рез .
2
ω0 ω
рассмотрим фазовую резонансную
кривую
200
95

96.

200
96

97. Параметрический резонанс – это явление заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическим изменением какого-либо

Параметрический резонанс
– это явление заключается в
совершаемом в такт с колебаниями
периодическим изменением какоголибо параметра системы.
200
97

98. Возьмём математический маятник. Будем уменьшать длину подвеса маятника в положениях равновесия и увеличивать в крайних

положениях. В результате этого
маятник будет сильно
раскачиваться.
200
98

99.

200
99

100. Увеличение энергии маятника происходит за счёт работы, которую совершает сила, действующая на нить. В положениях равновесия

сила
натяжения нити больше, чем в
крайних, поэтому прирост энергии
здесь больше, чем убыль в крайних.
200
100

101.

200
101

102. 28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.

200
102

103. Рассмотрим закономерности поведения колебательных систем с двумя степенями свободы на следующем примере: пусть два маятника,

связаны
пружиной, будем рассматривать
малые колебания, так что
sinα1 ≈ α1, sinα2 ≈ α2.
200
103

104.

О1
h
О2
α1(t)
k
m1
200
α2(t)
m2
104

105. Пружина жёсткости k закреплена на расстоянии h от точек подвеса O маятников, причём при α1= α2 = 0 пружина не деформирована.

200
105

106. Уравнение движения для первого маятника имеет вид где m1ℓ12 – момент инерции относительно оси O1, (–mgℓ sin α) ≈ mgℓα – момент

Уравнение движения I α M
для первого маятника имеет вид
m α 1 m1 g 1α1 k hα2 hα1 h,
2
1 1
где m1ℓ12 – момент инерции
относительно оси O1,
(–mgℓ sin α) ≈ mgℓα
– момент силы тяжести,
h(α2 – α1) – деформация (удлинение)
пружины,
200
106

107. kh2(α2 – α1) – момент упругой силы относительно той же оси. Аналогично, для второго маятника

m α 2 m2 g 2α 2 k hα 2 hα1 h
2
2
m2 2 α 2 m2 g 2α 2 kh α 2 α1 ,
2
2 2
200
107

108. Эти два уравнения преобразуем к виду где собственные частоты каждого маятника.

Эти два уравнения преобразуем к
виду
α 1 ω α σ α1 α 2 ,
2
2
α 2 ω02α 2 σ 2 α 2 α1 ,
2
01 1
g
где ω01
1
2
1
g
и ω02
2
собственные частоты каждого
маятника.
200
108

109. Частоты ω01 и ω02 частоты, которые были бы, если бы не было связи между ними. – коэффициенты, описывающие взаимодействие

Частоты ω01 и ω02 частоты, которые
были бы, если бы не было связи
между ними.
2
2
kh
kh
2
σ
, σ2
2
2
m1 1
m2 2
– коэффициенты, описывающие
взаимодействие маятников,
обусловленное пружиной.
2
1
200
109

110. В общем случае колебания не будут гармоническими. Рассмотрим простейший случай: ω01 = ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ. Здесь может быть

два крайних
случая.
200
110

111. 1) α1 = α2, Решение:

α 1 ω α1 0,
2
α 2 ω0 α 2 0.
1) α1 = α2,
2
0
Решение: α1 α 2 Acos ωt .
α
k
200
α
111

112. 2) α1 = – α2, Решение:

ω
σ α
2) α1 = – α2, α 1 ω σ α1 0,
α 2
Решение:
2
0
2
0
2
2
2
0.
α1 α 2 Acos ω σ t .
α
k
200
2
0
2
α
112

113. Найденные решения называются нормальными колебаниями или модами. 1-я мода 2-я мода

Найденные решения называются
нормальными колебаниями или
модами.
1-я мода
α11 t A1cos ω1t 1 ,
α12 t B1cos ω1t 1 .
2-я мода
α 21 t A2cos ω2t 2 ,
α 22 t B2cos ω2t 2 .
200
113

114. В общем случае решение есть суперпозиция мод: Конкретный вид этого решения зависит от начальных условий: A1, A2, φ1, φ2 (A1 =

ω1 ω0 , ω2 ω σ ,
2
0
B1 A1 ,
2
B2 A2 .
В общем случае решение есть
суперпозиция мод:
α1 t A1cos ω1t 1 A2cos ω2t 2 ,
α 2 t B1cos ω1t 1 B2cos ω2t 2 .
Конкретный вид этого решения
зависит от начальных условий:
A1, A2, φ1, φ2 (A1 = B1, A2 = – B2).
200
114

115. Другими словами, колебания осцилляторов представляют собой суперпозицию двух гармонических колебаний разных частот ω01, ω02.

При произвольных начальных
условиях колебания не являются
гармоническими.
(Это решение для случая
ω01 = ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ.)
200
115

116.

200
116

117. ЛЕКЦИЯ № 10 Колебания.

200
117

118. ВОПРОСЫ 29. Теорема Фурье. Спектральное разложение. Принцип радиосвязи. 30. Ангармонические колебания. Автоколебания.

200
118

119. 29. Теорема Фурье. Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.

200
119

120. Теорема Фурье: Любая периодическая функция может быть разложена преобразованием Фурье, то есть представлена в виде суммы

конечного или бесконечного числа
синусоидальных и/или
косинусоидальных функций.
200
120

121. Запишем ряд Фурье в комплексной форме: здесь f(t) – периодическая функция, Ck – коэффициенты, i – мнимая единица, ωk – частоты,

Запишем ряд Фурье в комплексной
форме:
f t Ck e
iω k t
k 0
здесь f(t) – периодическая функция,
Ck – коэффициенты, i – мнимая
единица, ωk – частоты,
соответствующие коэффициентам
Ck, ωk = k·Ω, k = 0, 1, 2, … ,
Ω – основная частота.
200
121

122. Для вычисления Ck умножим обе части на и проинтегрируем: если k ≠ m, то интеграл справа равен 0, если k = m, то период Т.

Для вычисления Ck умножим обе
iω m t
части на e
и проинтегрируем:
T
0
f t e
iωmt
T
dt Ck e
k 0
i ωk ωm t
dt
0
если k ≠ m, то интеграл справа равен
0, если k = m, то период Т. Отсюда
T
1
iωmt
Cm f (t )e dt
T0
200
122

123. В тригонометрическом виде теорема Фурье выглядит следующим образом

a0
f t ak cos kt bk sin kt ,
2 k 1
α 2π
1
ak
f t cos kt dt , k 0,1,2, ,
π α
α 2π
1
bk
f t sin kt dt , k 1,2, .
π α
200
123

124. Пример: Рассмотрим разложение периодической чётной функции (в разложении будут только косинусы) с использованием первых десяти

членов (a0, a1, a3, a5, a7, a9 ≠ 0;
a2, a4, a6, a8 = 0).
200
124

125.

1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
200
125

126. Модулированное колебание здесь A(t) – амплитудная модуляция, ω(t) – частотная модуляция, φ(t) – фазовая модуляция.

Модулированное колебание
X t A t cos ω t t t
здесь A(t) – амплитудная модуляция,
ω(t) – частотная модуляция,
φ(t) – фазовая модуляция.
200
126

127. Рассмотрим синусоидальную модуляцию: A0, α, Ω – const, ω – несущая частота, α – глубина модуляции, Ω – частота модуляции.

Рассмотрим синусоидальную
модуляцию:
A t A0 1 α cos t
A0, α, Ω – const, ω – несущая
частота, α – глубина модуляции,
Ω – частота модуляции.
200
127

128. Получаем в итоге колебание на трёх частотах: С помощью гармонического осциллятора можно выделить одну из частот, совпадающую с

Получаем в итоге колебание на трёх
частотах:
X t A0 cos ωt
αA0
cos ω t cos ω t
2
С помощью гармонического
осциллятора можно выделить одну
из частот, совпадающую с его
собственной ω.
200
128

129. Теорема Фурье для непериодической функции X(t): Здесь имеет место непрерывное множество синусоидальных колебаний, частоты

Теорема Фурье для
непериодической
функции X(t):
i ωt
X t a ω e dω,
0
1
i ωt
a ω
X t e dt.
2 π
Здесь имеет место непрерывное
множество синусоидальных
колебаний, частоты которых
непрерывно заполняют
определённый интервал.
200
129

130. X(t) a(ω) t ω

a(ω)
X(t)
ω
t
200
130

131. Принцип радиосвязи Человеческое ухо воспринимает частоту 20 – 20000 Гц, но для передачи такого сигнала нужны гигантские антенны

L = λ/2 = c/2ν ~ 105 м.
λ – длина волны, c – скорость света,
ν – частота.
200
131

132. Для передачи используют радиоволны на частотах 105 – 108 Гц и даже на частотах 1010 Гц. Сигнал модулируют низкой частотой

(звуковая частота), а передают на
высокой частоте (радиоволны).
200
132

133. Модуляция может быть амплитудной, фазовой, частотной. Пример амплитудной модуляции (f(t) – модулирующая функция):

I I 0 1 f t sin ωt
200
133

134. В приёмной антенне сигнал необходимо демодулировать, детектировать. Схема простейшего детектора. Диод Uвх Uвых

200
134

135. 1) сигнал 3) сигнал после детектора (диода) 2) модулирующий 4) детектированный сигнал сигнал на выходе

1) сигнал
3) сигнал после
детектора (диода)
2) модулирующий
сигнал
4) детектированный
сигнал на выходе
200
135

136.

200
136

137. 30. Ангармонические колебания. Автоколебания.

200
137

138. Ангармонические колебания Уравнение динамики математического маятника имеет вид: В случае малых отклонений (α ≈ sin α)

Ангармонические колебания
Уравнение динамики
математического маятника имеет
вид:
α ω sin α 0
2
0
В случае малых отклонений
(α ≈ sin α) колебания можно считать
гармоническими:
α ω α 0
2
0
200
138

139. Именно в этом случае, в случае гармонических колебаний, период не зависит от амплитуды колебаний. Возвращающая сила прямо

пропорциональна смещению:
x
F mg tgα mg α mg
200
139

140.

x ≈ ℓ sinα
ℓ
α
x
200
140

141. В случае не малых отклонений колебания перестают быть гармоническими: сила нелинейно зависит от смещения

В случае не малых отклонений
α α α
α
sin α α α
3! 5! 7!
3!
3
5
7
3
колебания перестают быть
гармоническими: сила нелинейно
зависит от смещения
F mg tgα
200
141

142. В этом случае период зависит от амплитуды. Примеры: маятник с большими отклонениями, пружинный маятник с переменной жёсткостью,

колебательный контур, в катушке
которого сердечник, при больших
амплитудах.
200
142

143. Автоколебания Вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависит от характера

внешнего
воздействия, а определяется
свойствами самой
автоколебательной системы.
200
143

144. Автоколебательные системы – системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего

воздействия.
200
144

145. Кратко рассмотрим возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний, где Л – лампа-триод,

S – сетка, А – анод, К
– катод, L2 – индуктивность, R –
сопротивление, C – ёмкость, L1 –
катушка обратной связи, Ԑ ЭДС
источника тока.
200
145

146.

200
146

147. При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный ток Ia, а потенциал сетки упадет, что приведет к уменьшению анодного

тока.
Если витки катушек намотаны
параллельно, то за счет взаимной
индукции затухание в контуре
увеличится.
Возникнет отрицательная обратная
связь.
200
147

148. Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится, амплитуда колебаний начнет возрастать.

Возникнет положительная обратная
связь.
200
148

149. Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рисунке.

200
149

150. Уравнение для данного контура можно записать в виде: q – заряд на обкладках конденсатора.

Уравнение для данного контура
можно записать в виде:
q
MS
Lq Rq
q
C
C
или
2
q 2δq ω0 q 0
q – заряд на обкладках
конденсатора.
200
150

151. M, S = const, S – крутизна сеточной характеристики; М – коэффициент взаимной индукции, колебания в автоколебательном контуре

R MS
2δ
L LC
M, S = const, S – крутизна сеточной
характеристики; М – коэффициент
взаимной индукции,
колебания в автоколебательном
контуре будут подчиняться закону:
q q0e
δt
Acosωt B sin ωt
200
151

152. Если выполняется условие -SM / C > R (δ < 0), то состояние равновесия будет неустойчивым фокусом. Любое малое отклонение

Если выполняется условие -SM / C >
R (δ < 0), то состояние равновесия
будет неустойчивым фокусом.
Любое малое отклонение системы
от равновесия будет возрастать.
Колебательный контур начнет
самовозбуждаться.
200
152

153. В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий, а определяется

параметрами системы.
Это есть общее свойство всех
автоколебательных систем.
200
153

154. Рол нелинейности. Амплитуда автоколебаний от начальных условий не зависит. Автоколебания могут возбуждаться периодическими

внешними силами,
но период автоколебаний не зависит
от периода этих сил.
200
154

155. Релаксационные колебания – это колебания, которые происходят под действием постоянной вынуждающей силы за счёт перехода системы

из одного
состояния в другое (пример: ветер и
дерево). Параметрические
колебания – колебания за счёт
изменения параметра системы.
200
155

156.

200
156

157. ЛЕКЦИЯ № 11 Волны

200
157

158. ВОПРОСЫ 31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение плоской бегущей волны. Стоячие волны (вывод). 32.

Упругие волны. Энергия волны.
Вектор Умова.
33. Поведение звука на границе
раздела двух сред. Ударные волны.
Эффект Доплера.
200
158

159. Вопрос № 26. 31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение плоской бегущей волны. Стоячие волны

(вывод).
200
159

160. Волна – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Таким образом, волна это некоторая функция S =

S(x, y, z, t).
Эту функцию можно представить в
следующем виде:
S(z, t) = S(z – vt)
– распространение волны вдоль оси
Z.
200
160

161. Волновое уравнение (пространственное и вдоль оси Z) оператор Лапласа

Волновое уравнение
(пространственное и вдоль оси Z)
1 S
S 1 S
S 2 2 0,
0
.
2
2
2
t
z t
2
2
2
2
оператор Лапласа
2 2 2
x
y
z
2
2
2
2
200
161

162. Рассмотрим плоскую монохроматическую волну (на одной частоте) S(z, t) = a cos(ωt – kz)z. ω – циклическая частота волны, k =

2π/λ = ω/ʋ – волновой вектор,
ʋ = ω/k = λω/2π – фазовая скорость,
λ – длина волны,
Т – период,
(ωt – kz) – фаза волны.
200
162

163. Для плоской бегущей волны S и фаза одинаковы, синфазны, в любой точке (x, y) плоскости z = const. Поверхности, где колебания

синфазны, называются волновыми
поверхностями.
Поверхность, до которой дошла
волна в данный момент времени,
называется волновым фронтом.
200
163

164. Волновой вектор показывает направление распространения волны

S r , t a cos ωt k r
200
164

165. Стационарные волны – волновая функция постоянна. Синусоидальная волна – колебания в некоторой точке пространства происходят по

закону синуса.
Скалярные волны – волновое
возмущение описывается скалярной
величиной (плотность, давление).
Векторные волны – волновое
возмущение описывается векторной
величиной (напряжённость)
200
165

166. Продольные волны – колеблющая величина совершает колебания параллельно волновому вектору (вдоль направления распространения

волны S || k ),
Поперечные волны – колеблющая
величина совершает колебания
перпендикулярно волновому вектору
(поперёк направления
распространения волны S k )
200
166

167. Плоскополяризованная волна – волна, колебания в которой вектора S происходят в фиксированной плоскости. Эта плоскость

называется плоскостью
поляризации.
200
167

168. Стоячие волны Рассмотрим сложение двух волн: S1(z, t) = acos(ωt – kz), S2(z, t) = acos(ωt + kz), одна волна падающая (вектор –

k),
другая волна отражённая от какойлибо преграды (вектор + k).
200
168

169. В результате сложения падающей и отражённой волны получаем выражение: S1 + S2 = 2a cos(kz) cos(ωt). Временные и

пространственные
коэффициенты оказались
разделены. Это выражение
описывает волну, у которой нет
перемещения волновых
поверхностей. Это и есть стоячие
волны.
200
169

170. Если волна отражается от среды менее плотной, чем среда распространения, то сдвига фаз в волне не происходит. В этой точке у

стоячих волн всегда максимум
амплитуды – пучность.
Если волна отражается от более
плотной среды, то происходит сдвиг
фазы на пол длины волны. В этой
точке у волны узел – нулевая
амплитуда.
200
170

171.

200
171

172.

200
172

173. 32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.

200
173

174. Упругие волны в твёрдых телах Рассмотрим стержень, на который оказывается некоторое ударное воздействие. z ξ z/ ξ/ F здесь z –

координата, ξ – новая
координаты частиц, Δz – смещение
частиц из-за удара F (z + Δz = ξ).
200
174

175.

Продольная деформация
ξ ξ
dξ
ε
ε
z z
dz
dz – расстояние между точками без
напряжения, dξ – расстояние между
точками при деформации (из-за
распространения волны).
200
175

176. Сами частицы стержня смещаются незначительно, приводя в движение соседние частицы, те передают импульс соседним частицам и т.д.

–
именно так малые смещения частиц
приводят к распространению
волнового возмущения на большие
расстояния.
200
176

177. Волновое уравнение упругих деформаций ʋ2 = E/ρ0 – скорость волны, E – модуль Юнга, ρ0 – плотность вещества без нагрузки.

Волновое уравнение упругих
деформаций
ξ 1 ξ
0
.
2
2
2
z t
2
2
ʋ2 = E/ρ0 – скорость волны, E –
модуль Юнга, ρ0 – плотность
вещества без нагрузки.
200
177

178. Упругие волны в газах и жидкостях Волна в газах или жидкостях распространяется за счёт изменения давления и плотности. Волновое

уравнение
ξ 1 ξ
0
.
2
2
2
z t
2
2
ξ – смещение центра масс участка
среды.
200
178

179. – скорость волны, dp – изменение давления, dρ – изменение плотности.

ξ
dp
– скорость волны,
d
dp – изменение давления, dρ –
изменение плотности.
200
179

180. Для газов p0 – давление в обычных условиях, ρ0 –плотность в обычных условиях, γ – показатель адиабаты, Cp, CV – теплоёмкости

Для газов
Cp
ρRT
p0
RT0
p
, γ
γ
, γ
,
M
ρ0
M
CV
p0 – давление в обычных условиях,
ρ0 –плотность в обычных условиях,
γ – показатель адиабаты, Cp, CV –
теплоёмкости при постоянном
давлении и объёме
1 моля газа, соответственно.
200
180

181. Энергия волны В упругой волне энергия складывается из кинетической и потенциальной составляющих. Объёмная плотность энергии

ρ
Eε
w
2
2
2
200
2
181

182. Волновой процесс представляет собой передачу энергии без передачи вещества. Введём вектор – плотность потока энергии (вектор

Умова-Пойтинга):
q σ , q σ n.
σ = Eε – напряжение, n – единичный
вектор, который направлен так же
как и направление бегущей волны.
200
182

183. В газе или жидкости Поток энергии через площадку S за время dt:

В газе или жидкости
q p n
Поток энергии через площадку S за
время dt:
dW qSdt
200
183

184.

200
184

185. 33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.

200
185

186. Поведение звука границе раздела двух сред. Рассмотрим плоскую звуковую волну S1 = a1 cos(ωt – k1z), в области 1 z < 0. На

Поведение звука границе раздела
двух сред.
Рассмотрим плоскую звуковую волну
S1 = a1 cos(ωt – k1z),
в области 1 z < 0.
На границе раздела (z = 0) волна
разделяется на две:
прошедшую (S2) и отражённую (S′1).
200
186

187.

1
2
S1
S2
S′1
Z
0
200
187

188. Прошедшая волна S2 = a2 cos(ωt – k2z), отражённая волна S′1 = a′1 cos(ωt + k1z), k1 ≠ k2, ʋ1 ≠ ʋ2.

200
188

189. Запишем граничные условия: E1k1(a1 – a′1) = E2k2a2. Это условие получено из условия равенства сил, действующих на границе со

стороны одной среды на
другую.
200
189

190. Из условия равенства сил здесь

Из условия равенства сил
1 γ
2γ
a1
a1 , a2
a1.
1 γ
1 γ
здесь
E2 k 2
γ
E1k1
200
E2 ρ 2
E1ρ1
190

191. Порог слышимости (минимальная слышимая интенсивность звука) I0 ≈ 10–12 Вт/м2, Болевой порог I ≈ 1012 I0. Интенсивность звука

выражают в
децибелах:
β = 10log I/I0,
1010 I0 ÷ β = 100 дБ,
порог слышимости β0 = 0 дБ,
болевой порог β = 120 дБ.
200
191

192. Ударные волны В случае малых возмущений среда линейна – волна синусоидальна. С ростом амплитуды возмущения среда теряет

линейность, волна
становится не синусоидальной.
Участки с большим возмущением
имеют большую скорость. Возникают
волны различных частот. В этом
случае говорят о взрывной волне.
200
192

193. Эффект Доплера – изменение частоты излучения при относительном движении источника и приёмника (верхний знак относится к

сближению, нижний – к
расхождению)
u1
1 cosα1
зв u1cosα1
зв
ν νo
νo
.
u
зв u2 cosα 2
1 2 cosα
зв
2
200
193

194. Здесь ν – частота принимаемого сигнала, ν0 – частота испускаемого сигнала, ʋзв – скорость сигнала (звукового или светового), u1

–
скорость приёмника, u2 – скорость
источника, α1 – угол между
направлением на источник и
движением приёмника, α2 – угол
между направлением на приёмник и
направлением движения источника.
200
194

195. И u2 α2 ʋзв α1 П u1

И
u2
α2
ʋзв
П
α1
u1
200
195

196. Движение и приёмника и источника вдоль одной линии. На встречу друг другу Удаляются друг от друга

Движение и приёмника и источника
вдоль одной линии.
На встречу друг другу
зв u1
ν νo
.
зв u2
Удаляются друг от друга
зв u1
ν νo
.
зв u2
200
196