Кинематический анализ фрикционных и зубчатых механизмов

1. Кинематический анализ фрикционных и зубчатых механизмов

Лекция
2 часа
Старший преподаватель
кафедры «Автомобили
и транспортно-технологические
средства»
Стрыгин Сергей Васильевич

2. Вопросы

1.
Передаточные отношения фрикционных и зубчатых
механизмов с неподвижными осями вращения.
2.
Передаточные отношения планетарных
механизмов.
3.
Метод обращения движения.
4.
Кинематика зубчатого дифференциала.
5.
Замкнутые дифференциальные механизмы.

3. Передаточные отношения фрикционных и зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения

Зубчатым механизмом называется такой, в состав
которого входят зубчатые звенья.
По ГОСТ 16530-83 зубчатым называется звено,
имеющее выступы (зубья) для передачи движения посредством
взаимодействия с выступами другого зубчатого звена.
Одной из основных задач кинематического анализа
зубчатых механизмов является определение их передаточного
отношения.
Передаточным отношением называется отношение
угловых скоростей рассматриваемых звеньев механизма.
Передаточное отношение определяется по формуле:
~
~
U ij =
i
j
~
~
(1)
где i и j - угловые скорости звеньев i и j.
Знаком “~” (тильда) отмечаются скалярные величины,
которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

4. Передаточные отношения фрикционных и зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения (продолжение)

Прежде чем перейти к зубчатым
механизмам, рассмотрим плоский фрикционный
механизм с цилиндрическими шкивами 1, 2,
показанный на рисунке. Для этого механизма
имеем:
~
~
U 12 =
1
2
(2)
Из условия отсутствия проскальзывания
шкивов следует:
,
(3)
r
=r
1
1
2
2
где r1 и r2 радиусы шкивов 1 и 2.
В этом выражении ω1 и ω2 - модули, но в
~ имеют
~ и
выражении (1) угловые скорости
2
1
знак. При одинаковом направлении вращения
звеньев, т.е. при одинаковых знаках угловых
скоростей
и
передаточное отношение
положительное, при разных - отрицательное.
Из соотношений (2), (3) для случая
внешнего зацепления следует:
r
U 12 = − 2 .
r1
При r1< r2: U12 < (-1) и угловая скорость
ω1 > ω2. Например, при значении r1 = 100 мм и
(4)
r2 = 200 мм U12 = (-2) и относительное движение
шкивов будет иметь вид, при котором за два
оборота шкива 1 шкив 2 сделает один оборот.

5. Передаточные отношения фрикционных и зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения (продолжение)

Фрикционный
механизм -
механизм, в котором для
передачи движения между
соприкасающимися
звеньями
используется
трение.
При r1 = r2: U12 = (-1) и угловые
При r1 > r2: (-1)< U12<0 и угловая
скорости шкивов будут одинаковыми:
скорость ω1 < ω2. Например, при значении
ω1=ω2. Это подтверждается
r1 = 200 мм и r2 = 100 мм U12 = (-0,5) и
одновременным расположением стрелок,
относительное движение шкивов будет иметь
изображающих спицы на шкивах, на линии
вид, при котором за один оборот шкива 1 шкив
центров О1О2 при вращении шкивов.
2 сделает два оборота.

6. Передаточные отношения фрикционных и зубчатых механизмов с неподвижными осями вращения (продолжение)

При относительном движении шкивов
плоского фрикционного механизма с внутренним
зацеплением передаточное отношение является
величиной положительной
U 12 =
r2
.
r1
Итак, передаточное
отношение
угловых
параллельных
(5)
отношение -
скоростей двух звеньев. При
осях
вращения
передаточное
отношение
считается
положительным
одинаковом
направлении
угловых
звеньев,
при
непараллельных
разном
осях
–
при
скоростей
отрицательным,
при
передаточное отношение
равно отношению модулей угловых скоростей.
Плоский фрикционный механизм
с внутренним зацеплением

7.

Передаточные отношения фрикционных и зубчатых
механизмов с неподвижными осями вращения
(продолжение)
Теперь от фрикционного механизма перейдем к зубчатому.
Зубчатый трехзвенный механизм, составленный из стойки и двух зубчатых колес,
называется зубчатой передачей. Для такого механизма формулы (4) и (5) остаются
справедливыми, если окружности с радиусами r1 и r2 являются центроидами в
относительном движении зубчатых колес. Центроида представляет собой геометрическое
место мгновенных центров скоростей зубчатого колеса. В зубчатых передачах центроиды
называются начальными окружностями. Таким образом, зубчатую передачу можно
уподобить рассмотренным фрикционным механизмам, у которых диаметры шкивов равны
диаметрам начальных окружностей. При этом следует помнить, что понятие начальная
окружность относится к паре зубчатых колес, а для одного колеса не существует.
Радиусы начальных окружностей зубчатых колес можно выразить через числа зубьев
колес:
r1 =
p z1
;
2
r2 =
p z2 ,
2
(6)
где p - шаг зубьев по начальной окружности; z1, z2 - числа зубьев колес 1 и 2.
Тогда формула для определения передаточного отношения зубчатого механизма
принимает вид:
U 12 =
Знак
“+”
соответствует
знак "-" - с внешним.
механизму
z2
z1
с
(7)
внутренним
зацеплением
колес,

8.

Передаточные отношения фрикционных и зубчатых
механизмов с неподвижными осями вращения
(продолжение)
Для определения общего передаточного отношения зубчатого механизма с
последовательным соединением нескольких зубчатых колес необходимо перемножить
передаточные отношения между отдельными парами колес.
Например, передаточное отношение зубчатого механизма с колесами 1-4
1
4
(8)
1 2 3
= −U12 U 23 U 34
4 2 3
(9)
U 14 =
Умножая числитель и знаменатель этого выражения на произведение 2 3 , получим
U14 =
Входное колесо 1 и выходное колесо 4 имеют разные направления вращения. В
соответствии с формулой (9) это подтверждает отрицательное значение передаточного
отношения U14.
2
4
1
3

9.

Передаточные отношения фрикционных и зубчатых
механизмов с неподвижными осями вращения
(продолжение)
В общем случае, формула для определения
передаточного отношения зубчатого механизма с
последовательным
соединением
нескольких
зубчатых колес имеет вид
U1n = U12 U 23...U ( n−1) n
(10)
Зубчатые колеса на схемах рекомендуется
изображать либо в виде начальных окружностей, либо
в виде схематизированного бокового разреза с
указанием вращательных кинематических пар. Пусть
дан зубчатый механизм с неподвижными осями
вращения звеньев 1, 2, 3 (см. структурную схему).
Зубчатые
звенья
обычно
обозначаются
в
направлении от входного звена к выходному
арабскими цифрами. Если на одном звене находится
несколько зубчатых колес, они обозначаются теми же
цифрами, что и соответствующее звено, со штрихами.
Механизм содержит вращательные пары I, II, III и
зубчатые пары IV, V. Рассматриваемый механизм
плоский, т.к. все звенья (колеса) вращаются в
параллельных плоскостях.
Число степеней свободы механизма:
W = 3·3 – 2·3 – 2 = 1.
2
2’
3
1

10.

Передаточные отношения фрикционных и зубчатых
механизмов с неподвижными осями вращения
(окончание)
При подсчете числа степеней свободы зубчатых механизмов
следует помнить, что зубья, составляющие кинематические пары
в зацеплении при их относительном движении, обладают двумя
степенями свободы (качение и скольжение). Механизм состоит из
последовательно соединенных пар зубчатых колес. С учетом
знаков передаточных отношений отдельных пар выражение для
2
определения передаточного отношения механизма принимает
вид:
z
z z
z
U13 = (−U 12 ) (−U 23 ) = (− 2 ) (− 3 ) = 2 3
z1
z 2
z1 z 2
Соотношение
(11)
подтверждается
3
(11)
относительным
движением звеньев механизма (зубчатых колес) и одинаковым
направлением вращения входного звена 1 и выходного звена 3. В
рассматриваемом механизме числа зубьев z1 =16, z2=28, z2’=11,
z3=17 и передаточное отношение в соответствии с формулой (11)
z
z
28 17
U13 = (− 2 ) (− 3 ) =
= 2,7
z1
z2
16 11
2’
1

11.

Передаточные отношения
планетарных механизмов
Если в зубчатом механизме с неподвижными осями
вращения ось звена 2 сделать подвижной, то в нем появится
еще одно подвижное звено - вращающийся рычаг, на оси
которого установлены зубчатые колеса 2 и 2' (см. структурную
схему и объемное изображение механизма). Вращающийся
рычаг обозначается букой "Н" (от немецкого слова Hebel рычаг). В русской терминологии этот рычаг называется
"водило". Колеса 2 и 2' получили название сателлитов
(спутников) или планетарных колес. Колеса 1 и 3
с
неподвижными осями вращения установлены соосно и
называются центральными колесами. Полученный механизм
является плоским. Число степеней свободы такого,
,
механизма равно двум: W = 3·4 – 2·4 – 2 = 2.
Зубчатые механизмы, обладающие двумя степенями
свободы, называются дифференциальными. Для
определенности движения такого механизма должны
быть заданы законы движения двух звеньев (две
обобщенные координаты). Например, если задать
2
законы движения звеньям 1 и 3, то движение
планетарных колес 2, 2’ и водила Н будет определенным.
Дифференциальные механизмы могут иметь два входа и
один выход. При одном входе (задан закон движения
только
одного
звена),
движение
механизма будет неопределенным.
2’
3
1
Н

12.

Метод обращения движения
Для
определения
передаточного
отношения
дифференциального
механизма
используется
метод
обращения движения. Суть его заключается в том, что если
сообщить всем звеньям механизма угловую скорость –ωH ,
равную по модулю и противоположную по направлению
угловой скорости ωH звена H, относительно которого
обращается движение (в данном случае относительно
водила), то относительное движение звеньев не изменится.
Тогда водило становится неподвижным, и передаточное
отношение механизма определяется из выражения:
U
(H )
13
~1 − ~H
= ~ ~
3 − H
U 13( H )
(12)
где U 13( H ) передаточное отношение от колеса 1 к колесу 3 в обращенном движении, которое
определяется по формуле (11). Тогда при остановленном водиле можно записать:
z 2 z3 ~1 − ~H
=
z1 z 2 ~3 − ~H
(13)
Это и есть формула для определения передаточного отношения зубчатого
дифференциального механизма. Она связывает три угловые скорости. Чтобы получить
заданный закон движения механизма, необходимо задать две скорости из указанных трех (две
обобщенные координаты) и тогда определится третья. Для рассматриваемого механизма при
~1 − ~H
(H )
числах зубьев z1=16, z2=28, z2’=11, z3=17 выражение (13) принимает вид U13 = ~ ~ = 2,7 ,
−
3
H
т.е. дифференциальный механизм превращается в механизм с неподвижными
вращения.
осями

13. Кинематика зубчатого дифференциала

Примером зубчатого дифференциального механизма с одним входом является конический
дифференциальный редуктор трансмиссии привода ведущих колес автомобиля. Входом является карданный вал.
При движении автомобиля происходит отбор мощности и передача движения от карданного вала
трансмиссии, вращающегося с угловой скоростью ωк на два выхода: ведущие левое и правое колеса,
вращающиеся со скоростями ωл и ωп. Передача движения от карданного вала осуществляется через коническую
шестерню 1 на коническое зубчатое колесо 2, жестко связанное с корпусом Н дифференциального редуктора,
играющего роль водила. В корпусе редуктора установлена ось 3, на которой с возможностью свободного
вращения смонтированы сателлиты 4. Сателлиты находятся в зацеплении с коническими шестернями 5,
закрепленными на полуосях 6 и 7 ведущих колес автомобиля.
Если автомобиль движется прямо с одинаковой угловой скоростью левого и правого колес, сателлиты 4
относительно оси 3 не вращаются. Корпус редуктора Н вместе с сателлитами и осью 3 вращаются в одном
направлении как одно целое с одинаковой угловой скоростью. В этом случае механизм работает как зубчатый
механизм с неподвижными осями вращения.
При поворотах автомобиля или
различных моментах сопротивления на
ведущих колесах скорости левого и правого
ведущих колес ωл и ωп оказываются
различными.
Сателлиты
начинают
поворачиваться относительно оси 3, и
механизм
будет
работать
как
дифференциальный механизм с двумя
степенями свободы.
Благодаря
применению
дифференциального редуктора устраняется
проскальзывание
ведущих
колес
при
поворотах относительно дорожного покрытия,
уменьшается
износ
шин,
повышаются
устойчивость и безопасность движения
автомобиля.

14.

Метод обращения движения (продолжение)
Планетарный механизм образуется из дифференциального при
остановленном одном из центральных колес, т.е. признаком планетарного
механизма является наличие неподвижного центрального колеса (с
наружным или внутренним зацеплением).
Свяжем со стойкой (сделаем неподвижным) зубчатое колесо 3 ранее
рассмотренного дифференциального механизма. Получим планетарный
механизм, изображенный на структурной схеме. Механизм плоский. Число
степеней свободы этого механизма: W = 3·3 – 2·3 – 2 = 1, т.е. планетарный
механизм имеет одну степень свободы.
Для определения в этом механизме передаточного отношения
U1H от центрального колеса 1 к водилу Н используем метод
обращения движения относительно водила. В этом случае водило
2
становится неподвижным, а колесо 3 - подвижным.
(H )
Тогда передаточное отношение U13 от центрального колеса 1 к
центральному колесу 3 при неподвижном
водиле Н:
~ ~
− H
3 − ~H ,
U13( H ) = ~1
2’
(14)
В обращенном движении угловая скорость колеса 1 равна
~
−
H ”, т.к. оно было неподвижным. Тогда:
1
H , а колеса 3 “
~ −
~
U
(H )
13
~1 − ~H
U1H = 1 − U13( H )
или
=
− ~H
(15)
− z 2 − z3 z 2 z3 ,
=
=
z1 z2
z1 z2 '
(16)
Передаточное отношение выраженное через числа зубьев
U
(H )
13
совместное решение (14) и (16) дает:
U 1H = 1 −
z 2 z3
z1 z 2 '
(17)
3
1

15.

Метод обращения движения (окончание)
Для планетарного механизма с внутренним зацеплением
(H )
U1H = 1 − U13( H ) , U13 =
и следовательно
− z 2 z3
z z
=− 2 3
z1 z2
z1 z2'
U 1H = 1 +
z 2 z3
z1 z2 '
(18)
Основное свойство и назначение планетарных
механизмов заключается в возможности получения
больших передаточных отношений. Например, для
планетарного механизма с внешним зацеплением и с
числами зубьев колес: z1=100; z2=99; z2'=100; z3=101
передаточные отношения следующие:
9999
1
U 1H = 1 −
= 0,0001 , соответственно U H 1 =
= 10000
10000
U 1H
Следовательно, если например, угловая скорость
первого колеса 1с-1, то угловая скорость водила 10000 с1. Однако следует иметь в виду, что при таких значениях
передаточных
отношений
механизм
получается
самотормозящимся, т.е. прикладывая к водилу Н
крутящий
момент,
механизм
повернуть
нельзя. Его можно повернуть, только вращая
колесо 1.
2’
2
1
H
3

16.

Замкнутые дифференциальные
механизмы
Если в зубчатом дифференциальном механизме связать
дополнительной передачей два каких либо звена с
неподвижными осями вращения, получим механизм с одной
степенью свободы, который получил название замкнутого
дифференциального механизма.
Соединим в приведенном выше дифференциальном
механизме звенья Н и 3 промежуточной зубчатой передачей,
состоящей из колес 3', 4 и zH.
Колесо zH связано непосредственно с водилом H. Получим замкнутый дифференциальный
механизм.
Для определения передаточного отношения
U1H от колеса 1 к водилу Н этот механизм
необходимо условно разделить на две части:
дифференциальную часть, состоящую из колес
1, 2, 2' и водила Н, и замыкающую часть,
включающую колеса 3', 4 и zH. Затем для каждой
части записать выражения для определения
передаточных отношений. В результате получим
систему двух уравнений, решение которой
позволяет найти U1H.
2’
2
1
3’
3
H

17.

Замкнутые дифференциальные
механизмы (окончание)
В рассматриваемом механизме передаточное отношение дифференциальной части
~ −
~
(H )
(19)
U13
= ~1 ~H ,
3 − H
замыкающей части
U 3H =
− z4 z H
z
=− H
z3' z 4
z3' .
Разделив числитель и знаменатель выражения (19) на ωH, получим
~1
~H − 1 U1H − 1 .
(H )
U13 = ~
=
3
~ − 1 U 3H − 1
(20)
(21)
H
Разрешая уравнение (21) относительно U1H, получим
U1H = 1 + U13( H ) (U 3 H − 1) .
(22)
Выражая U13(H) и U3H через числа зубьев, окончательно получаем
U1 H = 1 −
z H z 2 z3
− 1 .
z3' z1 z2'
(23)
В заключение необходимо отметить, что основным достоинством замкнутых
дифференциальных механизмов (дифференциальных редукторов) является разделение
потока мощности при передаче крутящего момента на два потока, что разгружает звенья
(передачи) редуктора и обеспечивает возможность передачи повышенных крутящих
моментов.