dea650ac98cb405fa2a81e77d78d1e26 2

1.

Взаимное расположение прямых
в пространстве.
Скрещивающиеся
прямые
Геометрия – 10
Каратанова М.Н. МБОУ СОШ № 256 ГО ЗАТО Фокино Приморский край

2.

Повторение
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
а
b
O
а b =O
Прямые в пространстве
называются
пересекающимися, если они
лежат в одной плоскости и
имеют одну общую точку.
а
а b
b
Прямые в пространстве
называются параллельными,
если они лежат в одной
плоскости и не имеют
общих точек.

3.

Повторение
Укажите пары параллельных прямых.
В₁
A₁
С₁
D₁
В
AA₁ и ВB₁
?
ВA₁ и СС₁
?
С
СС₁ и АВ
DA₁ и В₁C
A
D

4.

Повторение
Укажите пары пересекающихся прямых.
В₁
A₁
С₁
?
D₁
AA₁ и A₁B₁
?
С
В
ВС и AA₁
DA₁ и B₁C₁
СС₁ и А₁C₁
A
D

5.

Скрещивающиеся прямые
Определение
Две прямые называются скрещивающимися, если
не существует такой плоскости,
которая бы проходила через эти прямые.
В₁
D
α
B
C
A₁
С₁
D₁
A
∙ СD
АВ _
∙ BD
АA₁ _
В
A
С
D

6.

Скрещивающиеся прямые
Теорема (признак скрещивающихся прямых)
Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая
прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей
этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
D
α
B
A
Дано : АВ ; CD = C , C AB.
_
∙ СD
АВ
Доказать :
C
Доказательство (5):
Пусть АВ, СD , тогда
C и С ,
.
АВ и АВ ,
невозможно
_
АВ ∙ СD

7.

Решение задач
Задание 1
Укажите пары скрещивающихся прямых.
В₁
A₁
С₁
D₁
В
СС₁ и B₁А₁
AA₁ и B₁D₁
С
AD и B₁C₁
AD и BC
A
D

8.

Решение задач
Задание 2
Назовите прямые, проходящие через вершины куба
и скрещивающиеся с прямой 1) AB; 2) A₁D₁
В₁
С₁
Ответ (2):
A₁
D₁
В
A
С
D
1)
2)
A1D1;
B1C1;
DD1;
CC1.
AB;
DC;
BB1;
CC1.

9.

Скрещивающиеся прямые
Теорема
Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и
притом только одна.
C
D
Дано : АВ _∙ СD
Доказать : ∃ α: AB ∈ α, CD ∥ α
A
Доказательство (4):
B
E
α
1) Провели AE ∥ CD;
2) Провели плоскость α через
пересекающиеся прямые AE и АВ;
3) CD ∥ AE, AE ∈ α ⇒ CD ∥ α;
Плоскость α – искомая плоскость

10.

Скрещивающиеся прямые
Теорема (продолжение)
Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и
притом только одна.
Доказательство (3):
C
D
A
4) Любая другая плоскость будет
пересекать AE, а значит и параллельную
ей прямую CD ⇒
⇒ любая другая плоскость, проходящая
через AB, пересекается с прямой CD ⇒
B
E
α
⇒ α — единственная

11.

Решение задач
Дано : ΔABC, D ∉ Δ ABC
M – середина AD; N – середина BD;
P – середина CD; K ∈ BN.
Выясните взаимное
расположение прямых:
ND и AB
МD _и∙ BС
РМ и СА
Задание 3 (1)

12.

Решение задач
Дано : ΔABC, D ∉ Δ ABC
M – середина AD; N – середина BD;
P – середина CD; K ∈ BN.
Выясните взаимное
расположение прямых:
MN и AB
PK и BС
KN _и∙ АC
Задание 3 (2)

13.

Решение задач
Дано : c ∩ a; a ∥ b.
Доказать : с _∙ b
Задание 4
c
a
Доказательство (7):
1) a b : a , b
2) c a = K ; a b K b
3) b
c = K; K b
с _∙ b
K
b

14.

Источники:
Фон презентации
Презентации к урокам