Механика4 (2)

1.

Движение системы тел
Механической системой тел называют
совокупность тел, объединенных каким-либо
взаимодействием.
Силы взаимодействия, действующие между
телами системы, называют внутренними, а силы,
действующие на тела системы со стороны других
тел, называют внешними.
Систему тел называют изолированной
(замкнутой), если на тела системы не действуют
внешние силы.

2.

Рассмотрим систему двух тел.
m1
F1
f12
f 21
m2
F2
F − внешние силы, f − силы взаимодействия

3.

Запишем второй закон Ньютона
для каждого из тел.
dp1
= f12 + F1
dt
dp2
= f 21 + F2
dt

4.

Сложим оба равенства:
dp1 dp2
+
= f12 + f 21 + F1 + F2
dt
dt
(
)
По III-му з. Ньютона сумма сил
взаимодействия равна нулю, тогда
d ( p1 + p2 )
= F1 + F2
dt

5.

Сумма импульсов тел дает импульс системы:
pсист. = p1 + p 2
Векторная сумма внешних сил:
Fвнеш. = F1 + F2

6.

Закон изменения импульса системы тел:
скорость изменения импульса системы
тел равна векторной сумме внешних сил,
действующих на тела системы
dpсист.
= Fвнеш.
dt

7.

Если система тел замкнута, то
Fвнеш. = 0,
dpсист.
=0
dt
Закон сохранения импульса системы тел:
в замкнутой системе тел векторная сумма
импульсов тел не изменяется.
pсист. = сonst.

8.

Пример: явление отдачи при выстреле.

9.

10.

Центр инерции и центр масс системы тел
Центром инерции
системы тел называют точку,
скорость которой при умножении на
массу системы дает импульс этой
системы.
vC mсист . = pсист . = m1v1 + m2v2 + + mnvn
r
C mсист . = m1 r1 + m 2 r2 + + m n rn
rC mсист . = m1r1 + m2 r2 + + mn rn

11.

Радиус-вектор центра инерции
m1 r1 + m2 r2 + + mn rn
rC =
mсист .
rC =
mi ri
i
m
i
i

12.

Центр инерции системы двух тел

13.

Центром масс
системы тел называют точку, в
которую сжалась бы система
покоящихся тел, подверженная
только силам всемирного тяготения.
Центр масс и центр инерции системы
тел совпадают.

14.

Определение положения центра масс тела
сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса.

15.

Уравнение движения центра масс
mсист .vC = pсист .
d vC dpсист .
mсист .
=
dt
dt
mсист .aC = Fвнеш .

16.

Центр масс системы тел движется так,
как если бы вся масса системы была
сосредоточена в нем, и к нему же
приложены все внешние силы.
Внутренние силы взаимодействия не
могут придать какое-либо ускорение
центру масс системы тел и изменить
скорость его движения.

17.

Движение тела переменной массы.
Пусть в момент времени
t=0 ракета начинает
движение в системе
отсчета, связанной с
Землей. При этом
pсист . = 0

18.

u − относительная скорость отделяющейся массы
Через промежуток времени dt:
Масса ракеты: m+dm;
Скорость ракеты: d v ;
Отделившаяся масса: -dm;
Скорость отделившейся массы: u + d v
Изменение импульса системы тел:
dm < 0
dpсист . = dp ракеты + dpотд .
dpсист . = ( m + dm )d v - dm ( u + d v )
dpсист . = m d v − dm u

19.

По закону изменения импульса системы тел
dpсист .
= Fвнеш .
dt
d v dm
m
−
u = Fвнеш .
dt
dt
Уравнение Мещерского
dv
dm
m
= Fвнеш . +
u
dt
dt

20.

dv
dm
m
= Fвнеш. +
u
dt
dt
Fp
ma
реактивная
сила
Уравнение движения тела переменной массы
ma = Fвнеш . + Fp
dm
Fp =
u
dt

21.

22.

Формула Циолковского
Пусть на тело (ракету) не действуют
внешние силы, тогда
d v dm
m
=
u
dt
dt
m d v = u dm
В проекции на направление
движения:
dm
dv = −u
m
dm
dv = −u m
v = − u ln m + C
Из начальных условий
C = u ln m0

23.

v = u(ln m0 − ln m )
Формула Циолковского для
реактивного движения:
m0
v = u ln
m

24.

Движение тел в неинерциальных СО
Неинерциальные системы отсчета (НИСО) движутся
относительно инерциальных систем отсчета (ИСО) с
ускорением. Законы Ньютона в них не выполняются.

25.

Для НИСО законы динамики
применимы, если ввести в
рассмотрение силы, называемые
силами инерции.

26.

1. НИСО движется поступательно
НИСО
Fи
ИСО
a
Сила инерции
Fи = − ma
Ускорение НИСО
относительно ИСО
(переносное)
Сила инерции направлена противоположно
переносному ускорению системы и
пропорциональна массе тела.

27.

ИСО
T
Fрез .
mg
НИСО
Fи
a
a=
Fрез .
m
mg
T
a=0
Fрез . = 0
Теперь законы Ньютона выполняются в обеих СО.

28.

2. Тело покоится во вращающейся НИСО
r
Fупр
Fцб
НИСО
ИСО
В ИСО
man = Fупр . = − m 2 r
В НИСО
a = 0, Fрез . = 0
Fцб = − Fупр .
Fцб = m r
2

29.

3. Тело движется во вращающейся НИСО
Наряду с центробежной силой инерции
действует сила Кориолиса.
Ее причина – изменение ускорения тела
при его движении в НИСО.
Fк = 2m v ,
v - скорость точки в НИСО.

30.

Благодаря действию силы Кориолиса поезд
при движении вдоль меридиана в северном
полушарии оказывает на правый рельс
большее давление, чем на левый.
Так же объясняется подмывание реками в
северном полушарии правого, а в южном –
левого берегов.
Силы Кориолиса необходимо учитывать при
расчете траекторий полета снарядов и
искусственных спутников Земли.

31.

Принцип эквивалентности Эйнштейна
Все физические явления в
однородном поле тяготения
происходят так же, как и в
однородном поле сил инерции.

32.

Сила тяжести и вес
.
Силой тяжести называется сила, равная
векторной сумме гравитационной силы
тяготения тела к Земле и центробежной
силы инерции, обусловленной суточным
вращением Земли.
mg = Fгр + Fцб

33.

Fгр
Fцб
Fгр
Fцб
Fгр
mg

34.

Вес тела – это сила, с которой тело
действует на опору или подвес.
N
a=0
P
mg
N
a
Fи
НИСО
a
mg
Fи
По III-му закону Ньютона
P = −N
N − сила реакции опоры
N
mg

35.

В НИСО, связанной с платформой
N + mg + Fи = 0
− P + mg − ma = 0
Вес тела
P = m( g − a )

36.

1. a = 0
P = mg
2. a вверх
P = mg + ma = m ( g + a )
P mg
Вес тела больше силы тяжести. Это
явление называют перегрузкой.

37.

3. a вниз
P = mg − ma = m ( g − a )
P mg
3. a = g
P=0
Для свободно падающих тел вес равен нулю.
Это явление называется невесомостью.