Лекция_1_формулы_03.09.2026

1. Лекция №1 Разработка программного обеспечения для моделирования физических процессов

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Лекция №1
Разработка программного обеспечения
для моделирования физических
процессов
Воскобойников С.П.
Доцент ВШ ПИ ИКНК, к.ф.-м.н.
voskob_sp@spbstu.ru
03.09.2026

2. Содержание

• О курсе «Разработка программного обеспечения для
моделирования физических процессов»
• Литература
• Основные этапы математического моделирования
• Лемма
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение электрического потенциала
• Волновое уравнение
• Уравнение Шрёдингера
• Одномерные модели в декартовой, цилиндрической
и сферической системах координат

3. Литература

• Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения
математической физики : [учебное пособие для
вузов]. Изд. 5-е, стер. Москва : Наука, 1977. 725 с.

4. Основные этапы математического моделирования физических процессов

Объект
Проверка модели
на адекватность
Математическая
модель
Численный
метод и
алгоритм
Результаты
вычислений
Программа для
компьютера

5. Принципиальные ограничения, которые приходится учитывать при разработке программного обеспечения моделирования физических

процессов
• Конечная скорость выполнения операций
• Ограниченная ёмкость оперативной памяти
• Ограниченная точность арифметических
операций

6. Особенности разработки программного обеспечения для моделирования физических процессов

• Физические процессы, как правило, описываются
сложными моделями, аналитическое решение,
которых невозможно, что вынуждает применять
численные методы.
• Применение численных методов приводит к
необходимости решения задач большой размерности.
• Тестирование разработанных программ осложняется
отсутствием точных решений решаемых задач, а в
некоторых случаях существование и единственность
решения бывает не доказана

7. Лемма

(x, y, z ) D
f (x, y, z ) непрерывная
f (x, y, z )dxdydz = 0,
d D
d
f (x, y, z ) 0
f (x0 , y0 , z0 ) = ?
(x0 , y0 , z0 ) d
f (x, y, z )dxdydz = 0,
d выберем как сферу радиуса r
(
(x , y , z ) d
)
4 3
f x ,y ,z
r =0
3
*
*
*
*
*
)
(
(
)
f x* , y* , z* = 0
*
)
тогда x* , y * , z * → ( x0 , y0 , z0 )
устремим r → 0
(
d
f x* , y * , z * → f (x0 , y0 , z0 )
f (x0 , y0 , z0 ) = 0
f (x, y, z ) 0

8. Уравнение теплопроводности

u(x, y, z, t ) − температура тела
f (x, y, z, t ) − плотность источников тепла внутри объёма
с(x, y, z, t ) − теплоёмкость тела
k (x, y, z, t ) − теплопроводность тела
(x, y, z, t ) − плотность тела

9. Уравнение теплопроводности

Q1 − количество тепла, выделяемое в объёме D за счёт источников за интеравл времени от t1 до t2
t2
Q1 = f ( x, y, z , t )dxdydzdt
t1
D
Q2 − количество тепла, уходящее через поверхность тела S за интеравл времени от t1 до t2
Закон Фурье
W = −k
u
n
W = −k grad u
u u
u
u
=
cos( n, x) + cos( n, y) + cos( n, z ) = (grad u, n ),
n x
y
z
t2
t2
t1 S
t1 S
Q2 = Wd dt = − k
u
d dt
n
Q3 − количество тепла, оставшееся внутри тела
t2
Q3 = c
t1
D
u
dxdydzdt
t
Q3 = Q1 − Q2

10. Уравнение теплопроводности

t2
Q2 = − k
t1 S
u
d dt
n
формула Остроградского − Гаусса
u
k n d = div(k grad u )dxdydz
S
D
t2
Q2 = − div (k grad u )dxdydzdt
t1
t2
D
t
t
2
2
u
c dxdydzdt = f dxdydzdt + div (k grad u )dxdydzdt
t
t
t1 D
t1 D
1 D
t2
u
(
)
c
−
div
k
grad
u
−
f
dxdydzdt = 0
t
t
1 D
c
c
u
− div (k grad u ) − f = 0
t
u u u u
= k + k + k + f
t x x y y z z

11. Уравнение теплопроводности

c
u u u u
= k + k + k + f
t x x y y z z
2u 2u 2u
u
c
= k 2 + 2 + 2 + f
t
y
z
x
c, , k − постоянные
2
u
2u 2u
2 u
= a 2 + 2 + 2 +
t
y
z
x
u
= a 2 u +
t
k
a =
c
2
2
2
= 2 + 2 + 2
x
y
z
k xx
k = 0
0
c
u = −
0
k yy
0
0
0
k zz
a2
f
c
u = 0
u u u u
= k xx + k yy + k zz + f
t x x y y z z
k xx
k = k yx
k zx
c
=
2
k xy
k yy
k zy
k xz
k yz
k zz
u u
u
u u
u
u u
u
u
= k xx
+ k xy
+ k xz + k yx
+ k yy
+ k yz + k zx
+ k zy
+ k zz + f
t x x
y
z y x
y
z z x
y
z

12. Уравнение электростатики

теорема Гаусса
E d = 4 d
n
S
D
E d = divEd
формула Остроградского − Гаусса
n
S
D
divEd = 4 d
D
(divE − 4 )d = 0
divE − 4 = 0
D
E = − grad u
div(grad u ) = −4
u = f
f = 4
D

13. Уравнение длинной линии (телеграфное уравнение)

i(x, t )
u(x, t )
x2
x2
i
u ( x1 , t ) − u ( x2 , t ) = iRdx + L dx
t
x1
x1
x2
u
u ( x1 , t ) − u ( x2 , t ) = − dx
x
x1
x2
i
u
+
iR
+
L
dx = 0
x x
t
1
u
i
+ iR + L = 0
x
t
L, C , R, G − к единице длины
x2
x2
x1
x1
i ( x1 , t ) − i ( x2 , t ) = uGdx + C
u
dx
t
x2
i
dx
x
x1
i ( x1 , t ) − i ( x2 , t ) = −
x2
i
u
x + uG + C t dx = 0
x1
i
u
+ uG + C
=0
x
t

14. Уравнение длинной линии (телеграфное уравнение)

i
u
+
iR
+
L
= 0,
x
t
i + uG + C u = 0,
x
t
L, C , R, G − постоянные
2u i
i
+
R
+
L
=0
x 2 x
t x
i
u
+
iR
+
L
= 0,
x
t
i + uG + C u = 0,
x
t
2u
u
u
− R Gu + C + L Gu + C = 0
2
x
t
t
t
u
2u
u
2u
− R Gu + C − L G + C 2 = 0
x 2
t
t
t
2u
u
2u
− uRG − (RC + LG ) − LC 2 = 0
x 2
t
t
1 2u RG
RC + LG u 2u
−
u
−
−
=0
LC x 2 LC
LC
t t 2
2u
1 2u RC + LG u RG
=
−
−
u
t 2 LC x 2
LC
t LC
a2 =
1
LC
x
t
2b =
RC + LG
LC
2
2u
u
2 u
=a
− 2b − 2u
2
2
t
x
t
телеграфные уравнения
2 =
RG
LC
2
2i
i
2 i
=
a
−
2
b
− 2i
2
2
t
x
t

15. Уравнение длинной линии (телеграфное уравнение)

2
2u
u
2 u
=a
− 2b − 2u
2
2
t
x
t
v(x, t )
u (x, t ) = e t v(x, t )
u
v
= e t v + e t
t
t
2
2u
t v
=e
x 2
x 2
2
2u
2 t
t v
t v
= e v + 2 e
+e
t 2
t
t 2
2
v t 2v
v
2 t v
e v + 2 e
+e
=a e
− 2b e t v − 2be t
− 2e t
2
2
t
t
x
t
2 t
t
2
v 2v
v
2 v
v + 2 + 2 = a
−
2
b
v
−
2
b
− 2v
2
t t
x
t
2
2
2v
2 v
=
a
+ b2 − 2 v
2
2
t
x
(
= −b
(b − )
2
2
)
RC + LG RG (RC + LG ) − 4 RCLG (RC − LG )
=
=
=
−
LC
4 L2C 2
4 L2C 2
2 LC
2
2
R = G = 0 − линия без потерь
RC = LG − линия без искажений
v
v
= a2 2
2
t
x
2
2
2u
2 u
=a
t 2
x 2
2
2
волновое уравнение

16. Уравнение Шрёдингера

2
i
=−
+ U (x, y, z, t )
t
2m
(x, y, z, t ) − волновая функция
i = −1
− постоянная Планка
m − масса частицы
U (x, y, z, t ) − потенциальное поле

17. Декартова система координат

c
c
u
= div (k grad u ) + f
t
u u u u
= k + k + k + f
t x x y y z z
c, − постоянные
u ~ u ~ u ~ u ~
+ k
= k
+ k
+ f
t x x y y z z
~ k
k =
,
c
f
~
f =
c
u ( x, t )
u ~ u ~
= k
+ f
t x x
u (x )
−
d ~ du ~
k
= f
dx dx

18. Цилиндрическая система координат

x = r cos ,
c
z=z
y = r sin ,
u
= div (k grad u ) + f
t
1 u 1 2u 2u
u =
+
r +
r r r r 2 2 z 2
c, − постоянные
u 1 ~ u 1 ~ u ~ u ~
=
k
+ k
rk
+
+ f,
t r r r r 2 z z
f
~
f =
c
~ k
k =
,
c
u(r, t )
u 1 ~ u ~
=
rk
+ f,
t r r r
u (r )
−
1 d ~ du ~
rk
= f,
r dr dr

19. Сферическая система координат

z = r cos
y = r sin sin ,
x = r sin cos ,
1 2 u
1
2u
1
u
u = 2 r
+
sin
+ 2 2
r r r r sin 2 r 2 sin
c
u
= div (k grad u ) + f
t
c, − постоянные
u 1 2 ~ u
1
~ u
1
~
u ~
= 2 r k
k
+ 2
+ 2 2
k sin
+ f ,
t r r
r r sin r sin
f
~
f =
c
~ k
k =
,
c
u(r, t )
u 1 2 ~ u ~
=
r k
+ f,
t r 2 r
r
u (r )
−
1 2 ~ u ~
r k
= f,
r 2 r
r