Простейшие виды деформаций: растяжение, сжатие, кручение и изгиб

1. План:

Лекция 3.
ПРОСТЕЙШИЕ ВИДЫ
ДЕФОРМАЦИЙ
Растяжение и сжатие
План:
1. Внутренние усилия при растяжении-сжатии
2. Внутренние усилия при кручении
3. Внутренние усилия при изгибе

2.

•Внутреннее
усилие,
перпендикулярное
плоскости
поперечного сечения и действующее вдоль продольной оси
стержня называется продольной (нормальной) силой.
Продольная сила может меняться по длине стержня,
поэтому она есть функция от длины стержня.
Обозначение N(x). Размерность (ед. силы)
Продольная сила в сечении равна алгебраической сумме
проекций внешних сил, лежащих по одну сторону от
рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня:
N =прав.(лев)
∑ F(x)

3.

Правило знаков
продольных сил N:
Правило знаков: Если N(x) направлена от сечения (во
внешнюю сторону), то N(x) имеет знак плюс, если к
сечению, то N(x) имеет знак минус.

4.

Дифференциальная зависимость между продольной
силой и внешней нагрузкой
Рассмотрим равновесие элемента dx. На элемент
действует внешняя нагрузка q. Элемент находится в
равновесии, поэтому
∑ F(x) = 0.
- N - q · dx + ( N + dN ) = 0,
q · dx = dN
dN
q=
dx
Первая производная от продольной силы по длине
стержня равна интенсивности внешней нагрузки.
Физический смысл: производная есть tg угла наклона
касательной к графику функции

5.

Особенности построения эпюры N.
1. На участках, где внешняя нагрузка отсутствует (tg угла =
0, угол = 0) эпюра продольных сил параллельна нулевой
линии.
2. На участках с равномерно распределенной нагрузкой
линия, ограничивающая эпюру N наклонена к нулевой
линии под углом, tg которого численно равен интенсивности
внешней нагрузки. Общая величина возрастания или
убывания значений на эпюре N равна произведению
нагрузки на длину, на которой она распределена.
3. В сечениях, где приложена сосредоточенная нагрузка (dx
= 0, tg угла = ∞, угол = 900) на эпюре N(x) скачок, численно
равен внешней нагрузке.

6.

7.

Внутренние усилия.
Qz - действует в плоскости
поперечного сечения и направлена
вдоль оси Z.
Qy - действует в плоскости
поперечного сечения и направлена
вдоль оси Y.
N - действует перпендикулярно
плоскости поперечного сечения и
направлена вдоль оси X.
Mz - действует в плоскости ХУ и
поворачивает стержень вокруг оси Z.
My - действует в плоскости XZ и
вызывает вращение стержня вокруг
оси Y.
Mx (Тx ) - действует в плоскости ZY
и вызывает вращение стержня
вокруг оси X.

8.

КРУЧЕНИЕ.
Вид простого сопротивления, при котором в
поперечном сечении возникает только крутящий
момент, а остальные 5 внутренних усилий равны
нулю, называется кручением.
Внутреннее усилие, представляющее собой пару
сил, действующую в плоскости поперечного сечения
и поворачивающее его вокруг продольной оси
стержня, называется крутящим моментом.
Крутящий момент может
меняться по длине стержня,
поэтому он есть функция от
длины стержня. Обозначение
T(x). Размерность (ед.силы ·
ед.длины).
Т = ∑ mx(F)
прав.(лев)

9.

Построение эпюр крутящих моментов
Правило знаков
крутящих моментов:
М
М
М
М
Правило знаков: Крутящий момент положительный,
если при взгляде на отсеченную часть со стороны сечения
будет вращать его против хода часовой стрелки. Если
вращение по ходу часовой стрелки, то крутящий момент в
сечении - отрицательный.

10.

Дифференциальная зависимость между
крутящим моментом и внешней нагрузкой
Рассмотрим равновесие элемента
длиной dx. На элемент действует
внешний скручивающий момент m.
Элемент находится в равновесии.
∑ mx(F) = 0
T - m · dx - ( T + dT ) = 0,
m · dx = dT
dT
m=
dx
Первая производная от крутящего момента по длине
стержня равна интенсивности внешнего скручивающего
момента.

11.

Особенности построения эпюры T.
1.
На участках, где внешняя нагрузка отсутствует, эпюра Т
ограничена прямой, параллельной оси эпюры.
2.
На участке, загруженным равномерно распределенным
скручивающим моментом m, эпюра Т ограничена прямой линией, tg
угла наклона которой к нулевой линии численно равен
интенсивности m. Общая величина возрастания или убывания
значений на эпюре Т равна произведению m на длину, на которой он
распределен.
3.
В сечениях, где приложены сосредоточенные внешние
скручивающие моменты М на эпюре Т - скачки, численно равные
внешнему моменту.

12. Пример. Для заданной схемы загружения построить эпюру распределения внутренних крутящих моментов Т по длине стержня

13.

14. Определение крутящего момента по участкам.

15.

16.

17. Эпюра Т

18.

Изгиб балок.
Прямолинейные стержни, испытывающие плоский изгиб,
называются балками. Плоский изгиб имеет место в том случае, когда:
1. Балка имеет плоскость
симметрии.
2. Вся нагрузка расположена в
одной плоскости, которая
называется силовой плоскостью.
3. Силовая плоскость совпадает с
плоскостью симметрии балки
Внутренние усилия в балках.
При плоском изгибе вся
нагрузка расположена в
главной плоскости балки
(ZX), поэтому нагрузка не
дает проекций на ось Y и
моментов относительно X и Z.

19.

Следовательно, отличны от нуля будут три величины N,
Qz , My, и находится из условий равновесия:
N = ∑ F(x), Qz = ∑ F(z), My = ∑ my(F).
Однако в балках, при нагрузке, перпендикулярной оси x,
продольная сила тоже равно нулю, поэтому будем считать,
что в любом сечении балки возникают два усилия:
поперечная сила Q и изгибающий момент М.

20.

Поперечная (перерезывающая) сила.
Внутреннее усилие, лежащее в плоскости поперечного
сечения называется поперечной (перерезывающей) силой.
Поперечная сила изменяется по длине балки, поэтому
она является функцией длины стержня. Обозначение Qz.
Размерность (ед.силы).
Перерезывающая сила поступательно перемещает сечение
в своей плоскости, изменяя прямые до нагружения углы
между плоскостью сечения и образующей поверхности
стержня.

21.

Перерезывающая (поперечная) сила численно равна
алгебраической сумме проекций сил, расположенных слева
или справа от сечения, на локальную касательную ось
сечения «z-z»
Q = F ( z ) = F1 − F2
лев .
Q = F ( z ) =F3 − F4
прав .
Знак проекции нагрузки в выражении
направлению локальной оси «z-z».
соответствует
Правило знаков: поперечная сила в сечении положительна, если вращает отсеченную
часть стержня по ходу часовой стрелки и отрицательна, если вращает против хода часовой
стрелки.

22.

Изгибающий момент.
Внутренне усилие, представляющее собой пару сил,
перпендикулярную плоскости поперечного сечения и
поворачивающее это сечение из плоскости называется
изгибающим моментом.
В случае плоской задачи изгибающий момент численно
равен алгебраической сумме моментов сил, расположенных
слева или справа от сечения, вычисленных относительно
его центра тяжести.

23.

Поворот поперечных сечений на некоторый угол изгибает
продольную ось превращая ее в упругую линию.
Если выпуклость этой линии направлена вверх (растянуты
«верхние волокна»), то момент этой силы считается
отрицательным. В противном случае (растянуты «нижние»
волокна), когда выпуклость упругой линии направлена вниз,
момент от нагрузки считается положительным

24.

Дифференциальная зависимость между моментом M(y),
поперечной силой Q(z) и внешней нагрузкой q.
Рассмотрим балку с произвольно распределенной
нагрузкой.
Распределенную нагрузку
будем считать положительной,
если она направлена вверх (в
направлении оси Z).
Выделим из балки элемент длиной
dx. На участке dx – интенсивность q –
постоянная, т.к. величина dx
бесконечно мала. Малый элемент
длиной dx находиться в равновесии
под действием внешней нагрузки,
поперечных сил и изгибающих
моментов в сечениях О1 и О2.

25.

Так как поперечная сила и изгибающий момент меняются
в зависимости от расстояния х, следовательно на правой
грани элемента и поперечная сила, и изгибающий момент
будут иметь приращения dQ и dM, поэтому соответствующие
значения на правой грани Q + dQ и M + dM.
Составим два уравнения равновесия:
∑ F(z) = 0
∑ m0(F) = 0
1. Q + q · dx - (Q+dQ)=0
2. M + (Q+dQ) · dx - q · dx · (dx/2) - (M+dM) = 0
Из 1 следует: q · dx - dQ = 0, q = dQ/dx
Из 2 следует: M + Q · dx + dQ · dx - q · (d2 x/2) - M - dM = 0

26.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго
порядка, получим:
Q · dx = dM, Q = dM/dx
dQ
Имеем: q =
dx
dM
Q=
dx
носит название
дифференциальной
зависимости Журавского.
Первая производная от поперечной силы по длине балки
численно равна интенсивности нагрузки, действующей на
участок балки.
Производная от изгибающего момента по длине численно
равна поперечной силе, возникающей в сечении балки.
2
dQ d (dM )
Объединив выражения получим: dx =
dx 2
d M
q=
2
dx

27.

Дифференциальные зависимости Журавского
dQ
q=
dz
dM
Q=
dz
q=
Общие закономерности эпюр Q и М
а
б
2
d M
dz
2

28.

в
г

29.

Понятие чистого изгиба.
В тех случаях, когда в поперечных сечениях стержня действует
только изгибающий момент, а поперечная сила отсутствует,
деформация называется чистым изгибом (рис. сечение 1-1).
Понятие поперечного
изгиба.
В случае, если в сечении
стержня одновременно
действует и момент, и
поперечная сила
деформации называется
поперечным изгибом
(рис. сечение 2-2), т.е. на
изгибную деформацию
накладывается сдвиг,
вызываемый силой F.

30.

ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
В СЕЧЕНИЯХ РАМ
➢ В сечениях стержней рамы кроме изгибающих
моментов M и поперечных сил Q, обычно действуют
еще и продольные силы N.
➢ Границами характерных участков для рамы
являются также места изменения направления оси
рамы.
➢ При определении знаков внутренних силовых
факторов наблюдателю удобно располагать взгляд как
бы изнутри контура рамы.
➢ При построении этих эпюр положительные
ординаты M, Q и N откладывают с внешней стороны,
а отрицательные – внутрь контура рамы.