Векторная алгебра 2 лекция ПМ 2025

1.

Векторная алгебра
ido.tsuab.ru
1

2.

Тема 2. Нелинейные операции над векторами
Цель занятия:
1. Освоить понятия:
скалярного произведения векторов, векторного произведения
векторов и смешанного произведения векторов
2. Освоить понятия и приобрести навыки нелинейных операций над
векторами:
Научиться вычислять, используя определения и свойства скалярное,
векторное и смешанное произведение векторов. Освоить приложения
этих произведений в координатной форме.
2

3.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Опр. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и
называется число, обозначаемое символом (a, b) и равное
произведению длин векторов на косинус угла между ними:
( )
(
а, b = а b cos а b
)
Если один из векторов или оба нулевые, то скалярное произведение
полагается равным нулю.
Реальным прообразом скалярного произведения является работа А
постоянной силы F, действующей на тело под углом φ к направлению
движения при перемещении на прямолинейном участке пути,
характеризуемом вектором S:
A = F , S = F S cos
(
)
3

4.

Свойства скалярного произведения.
Теор.1. Необходимым и достаточным условием равенства нулю
скалярного произведения двух ненулевых векторов
( (a, b)=0) является их ортогональность
a ⊥ b (a,b ) = 0
Теор.2. Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b равно
произведению модуля одного из них на проекцию другого на ось,
определяемую первым вектором.
( а, b ) = а b cos ( а b ) =
= b прв а = a прa b
1,2 свойства – геометрические свойства.
4

5.

( а, b ) = (b, а ) – переместительное свойство,
4) ( а, b ) = ( а, b )
– постоянный множитель
3)
можно выносить за знак скалярного произведения.
5)
( а + b, c ) = ( а, c ) + (b, c )
– распределительное свойство.
Рассмотренные свойства позволяют при скалярном перемножении
линейных комбинаций векторов действовать по тем же законам, что и
при перемножении алгебраических многочленов.
Пример.
(а − 2в + 4с,3а + 5в − 7с) = 3(а, а) + 5(а, в) − 7(а, с) − 6(в, а) −
−10(в, в) + 14(в, с) + 12(с, а) + 20(с, в ) − 28(с, с) =
= 3(а, а) − (а, в) + 5(а, с) − 10(в, в) + 34(в, с) − 28(с, с)
5

6. Геометрия расщепленной дислокации

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах
Геометрия расщепленной дислокации
Теор. Скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений их одноименных декартовых координат
относительно одного и того же базиса.
(a,b ) = х х + y y + z z
1 2
1 2
1 2
Док-во.: Пусть векторы a и b заданы в одном и том же декартовом базисе
(i,j,k):
a = x1 i + y1 j + z1 k = x1 , y1 , z1
b = x2 i + y2 j + z2 k = x2 , y2 , z2
( a , b ) = х х (i, i) + x y (i, j ) + x z (i, k ) +
1 2
1 2
1 2
+ y1 x2 ( j , i ) + y1 y2 ( j , j ) + y1 z1 ( j , k ) +
+ z1 x2 (k , i ) + z1 y2 (k , j ) + z1 z2 (k , k ) =
= х1 х2 + y1 y2 + z1 z2
6

7.

Энергия и сила взаимодействия расщепленных
Приложения скалярного произведения
дислокаций с атомом примеси
1. Вычисление работы силы F по перемещению S.
Реальным прообразом скалярного произведения является работа А
постоянной силы F, действующей на тело под углом φ к направлению
движения при перемещении на прямолинейном участке пути,
характеризуемом вектором S
.
F = ( x1 , y1 , z1 )
S = ( x2 , y 2 , z 2 )
A = F , S = F S cos = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
(
)
7

8.

Энергиядлины
и сила
взаимодействия
расщепленных
2. Вычисление
вектора,
заданного в прямоугольной
системе
дислокаций с атомом примеси
координат
2
2
2
а = x +y +z ,
2
(а, а) = а а = (а, а)
где а = ( x, y, z )
3. Нахождение угла между векторами
а, b )
(
( а, b ) = а b cos ( а b ) cos ( а b ) =
а b
a = x1 , y1 , z1
cos ( а в ) =
.
b = x2 , y2 , z2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22
8

9.

Зависимость
максимальной
энергиина
взаимодействия
скользящей
4. Нахождение
проекции вектора
вектор
дислокации с атомами примеси от величины расщепления дислокаций .
Из выражения скалярного произведения
( а, b ) = а b cos ( а b ) = b пр а
в
(а , в )
прв а =
в
x
x
+
y
y
+
z
z
(
а
,
в
)
1
2
1
2
1
2
прb а = =
2
2
2
в
x2 + y2 + z2
5. Проверка условия перпендикулярности векторов
( )
а ⊥ b а, b = а b cos ( / 2 ) = 0
( )
а ⊥ b а, b = 0 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
9

10.

Задача. Даны точки А (-1, 3, 7), В (2, -1, 5), С (0,1,-5).
Вычислить
(
2 AB − CB, 2 BC + BA
)
Первый способ.
Найдем координаты AB, CB, BC, BA и воспользуемся свойствами
скалярного произведения:
(
AB = 3, −4,12 , BA = −3, 4, −12 , BC = −2, 2, −10 , CB = 2, −2,10
2 AB − CB, 2 BC + BA = 4 AB, BC + 2 AB, BA − 2 CB, BC − CB, BA =
) (
) (
) (
) (
)
= 4 ( −6 − 8 − 120 ) − 2 ( −4 − 4 − 100 ) + 2 ( −9 − 16 − 144 ) − ( −6 − 8 − 120 ) = −524
Второй способ.
Зная координаты векторов AB, CB, BC, BA , найдем координаты
векторов - сомножителей:
2 AB − CB = 4, −6,14
2 BC + BA = −7,8, −32
Тогда их скалярное произведение будет равно сумме произведений
соответствующих координат
(
2 AB − CB, 2 BC + BA = 4 ( −7 ) + ( −6 ) 8 + 14 ( −32 ) = −524 10
)

11.

Задача. Даны вершины четырехугольника А (1, -2, 2),
В (1, 4, 0), С (-4, 1, 1), D (-5, -5, 3). Доказать, что его диагонали AC и BD
взаимно перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим векторы AC и BD , совпадающие с
диагоналями четырехугольника. Если эти векторы взаимно
перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно 0.
Найдем координаты векторов и и вычислим их скалярное
произведение:
BD = −6, −9,3
,
AC , BD = ( −5) ( −6 ) + 3 ( −9 ) + ( −1) 3 = 0 AC ⊥ BD
AC = −5,3, −1 ;
(
)
Задача. Вычислить, какую работу производит сила F= {3,-2,-5}, когда
точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из
положения А (2, -3, 5) в положение В (3,-2,-1).
Решение. Работа будет равна скалярному
произведению
вектора - силы F на вектор - путь AB , т.е. A = F , AB = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
(
)
Найдем координаты вектора АВ = {1, 1, -6}
A = F , AB = 3 1 + ( −2 )1 + ( −5)( −6 ) = 31 ед. раб.
(
)
11

12.

Задача. Вычислить направляющие косинусы (орт) вектора a = 6, −2,3
z
х
у
Решение. Используем формулы: cos = , cos = , cos =
а
а
а
Так как
а = x2 + y 2 + z 2 = 36 + 4 + 9 = 49 = 7
2 cos = 3
6
cos = , cos = − ,
7
7
7
Задача. Даны вершины треугольника А (2,-1,3), В(1,1,1), С(0,0,5). Найти
внутренний угол при вершине С.
,
Решение. Внутренний угол при вершине С образуется векторами CA и
CB, исходящими из общей точки - вершины С треугольника АВС. Угол
между двумя векторами находится по формуле (для нашего случая):
(CA, CB)
cos C = cos CA CB =
CA CB
(
)
12

13.

Найдем координаты векторов CA и CB :
CA = 2, −1, −2 , CB = 1,1, −4 .
CB = 1 + 1 + 16 = 18 = 3 2
CA = 4 + 1 + 4 = 9 = 3
CA, CB = 2 − 1 + 8 = 9
(CA, CB)
9
1 C = arccos 1 = 450
cos C =
=
=
2
2
CA CB 3 3 2
(
)
Задача. Даны три вектора: a = 1, 2, −1 , b = 3, 0, 2 , c = 2, −2,1 .
Вычислить: 1) пр 2а + b ; 2) пр b .
c
( a −2c )
(
)
Решение. Первая проекция будет находиться по формуле
2а + b , c
прс 2а + b =
c
(
)
(
)
13

14.

Найдем координаты вектора 2а + b = 5, 4,0 .
2а + b , c = 5 2 + 4 ( −2 ) + 0 1 = 10 − 8 = 2
(
)
2а + b , c
2
2
прс 2а + b =
=
=
c
4 + 4 +1 3
(
)
(
)
Аналогично для второй проекции имеем
Координаты вектора
b = 3,0, 2
а − 2c = −3,6, −3
b , а − 2c
пр( a − 2c )b =
а − 2c
(
)
а − 2c = 9 + 36 + 9 = 54 = 3 6
3 ( −3) + 0 6 + 2 ( −3) −15
5
пр( a −2c )b =
=
=−
3 6
3 6
6
14

15.

Векторное произведение векторов
Три некомпланарных вектора a, b и c , взятые в указанном порядке,
образуют правую тройку, если с конца вектора c кратчайший поворот от
первого вектора a ко второму вектору b виден против часовой стрелки,
и левую, если по часовой.
Опр. Векторным произведением векторов двух векторов и
называется третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1) вектор c перпендикулярен векторам a и b;
2) длина вектора численно равна площади параллелограмма,
построенного на векторах a и b, и равна произведению длин этих
векторов на синус угла φ между ними
с = а , в = а в sin
15

16.

3) вектор направлен так, что из его конца кратчайший поворот от вектора
a к вектору b виден против часовой стрелки (векторы a, b и c образуют
правую тройку) .
Механический смысл векторного произведения.
Пусть т.О неподвижная т. твердого тела. К нему приложена сила F к т.
А. Момент этой силы относительно неподвижной т. О равен
векторному произведению векторов ОА и F:
m0 = ОА, F
16

17.

Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак,
так как при повороте от вектора b к a меняется на противоположное
направление вектора c.:
а, в = − в , а ,
.
2. Векторное произведение коллинеарных векторов (φ=0) равно
нулевому вектору (sin φ=0).
Отсюда следует, что
а, в = 0 a b.
а, а = 0.
17

18.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак векторного
Геометрия
расщепленной дислокации
произведения:
а, в = а, в .
4. Векторное произведение подчиняется распределительному закону
a + b , c = a , c + b , c .
5. Из определения векторного произведения следует, что векторные
произведения единичных векторов будут соответственно
[i,i] = [j,j] =[k,k] = 0,
[i,j] = k, [j,k] =i , [k,i] = j.
18

19.

Выражение
произведения через
координаты
Энергия
и векторного
сила взаимодействия
расщепленных
векторов вдислокаций
прямоугольной
декартовой
системе координат.
с атомом
примеси
Пусть даны два вектора a = (х1, у1,z1) и b = (х2, у2,z2). Учитывая
свойства векторного произведения, найдем
а, в = x1i + y1 j + z1k , x2i + y2 j + z2 k =
= x1 x2 i , i + x1 y2 i , j + x1 z2 i , k + ... =
= i ( y1 z2 − z1 y2 ) − j ( x1 z2 − .z1 x2 ) + k ( x1 y2 − y1 x2 ) =
i
а , в = x1
x2
j
k
y1
y2
z1
z2
19

20.

векторного произведения
Энергия Приложения
и сила взаимодействия
расщепленных
1. Нахождение площадей
параллелограмма
и треугольника.
дислокаций
с атомом примеси
S парал. = а , в
1
S треуг . = а , в
2
2. Нахождение вектора, перпендикулярного двум другим векторам.
Если требуется найти вектор, перпендикулярный одновременно двум
векторам, то в качестве такого вектора можно взять вектор,
пропорциональный векторному произведению заданных векторов, т.е.
c = а, в
где α – некоторое число.
.
3. Нахождение момента силы.
Пусть т.О неподвижная т. твердого тела. К нему приложена сила F к т. А.
Момент этой силы относительно неподвижной т. О равен векторному
20
произведению векторов ОА и F:

21.

Решение задач.
Задача. Даны векторы a = {2, 1,-1} и b= {3, 0, 4}. Найти
координаты векторных произведений a , b , a
− 2b ,3a + b .
Решение. Векторное произведение может быть представлено в виде
определителя третьего порядка, в нашем случае
i
j
a , b = x1 y1
x2 y2
k
i j k
z1 = 2 1 −1 .
z2 3 0 4
Разлагая определитель по элементам первой строки , получаем:
i j k
1 −1
2 −1 2 1
2 1 −1 = i
−j
+k
= 4i − 11 j − 3k
0 4
3 4
3 0
3 0 4
a , b = 4, −11, −3 .
21

22.

Пользуясь свойствами векторного произведения, имеем
a − 2b ,3a + b = 3 a , a − 6 b , a + a , b − 2 b , b =
= 6 a , b + a , b = 7 a , b ,
a, a = 0, b , b = 0, b , a = − a, b
Окончательно получаем такой результат:
a − 2b ,3a + b = 7 4i − 11 j − 3k = 28, −77, −21 .
(
)
Координаты этого векторного произведения можно было найти другим
способом, а именно: сначала найти координаты векторов a – 2b и 3a + b,
а затем найти векторное произведение полученных векторов с помощью
определителя, т.е.
a − 2b = −4,1, −9 , 3a + b = 9,3,1 .
22

23.

a − 2b = −4,1, −9 , 3a + b = 9,3,1 .
i
j k
a − 2b ,3a + b = −4 1 −9 =
9 3 1
,
1 −9
−4 −9 −4 1
=i
−j
+k
=
3 1
9 1
9 3
= 28i − 77 j − 21k .
23

24.

Задача. Сила Q={3,4, -2} приложена к точке А (4, 2, -3). Определить
величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно
В (2, 2, 0).
Решение. По определению момент силы относительно точки В
равен
mom QB = BА, Q .
Найдем координаты вектора ВА:
BА = 2,0, −3 .
i j k
BА, Q = 2 0 −3 = 12i − 5 j + 8k .
3 4 −2
Теперь найдем модуль и направляющие косинусы для полученного
вектора по известным ранее формулам:
2
mom QB = BА, Q = 122 + ( −5 ) + 82 = 233.
8
12
5
cos =
, cos = −
, cos =
233
233
233
24

25.

Задача. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах
a = 3i − 2 j + k , b = 5 j − k
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b,
исходящих из общей точки, равна модулю векторного произведения
этих векторов. В нашем случае векторы имеют координаты
a = {3, -2, 1}, b= {0, 5, -1}. тогда
i
j k
a , b = 3 −2 1 = −3i + 3 j + 15k
0 5 −1
S = а, в =
( −3) + 3 + 15 = 3 27
2
2
2
25

26.

Задача. Даны вершины треугольника А (1, 2, 3), В (4, 0, 5), С (-3, 1, 2).
Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Решение.
Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах-сторонах треугольника, исходящих из общей
вершины В. Например, так:
1
S = BA, BC
2
1
S = BC h
2
BA
,
BC
2S
h =
=
BC
BC
BA = −3, 2, −2 , BC = −7,1, −3 .
Найдем координаты
векторов
i
j k
BА, BC = −3 2 −2 = −4i + 5 j + 11k .
−7 1 −3
BC = 49 + 1 + 9 = 59
26

27.

1 1
162 9 2
2
2
2
S = BA, BC =
−
4
+
5
+
11
=
=
.
( )
2
2
2
2
BA, BC 9 2
2S
h =
=
=
59
BC
BC
27

28.

Смешанное произведение векторов
Опр. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется
число, равное скалярному произведению вектора a на векторное
произведение векторов b и c .
Обозначается оно так:
( а , в , с ) = ( а , в , с ) .
Свойства смешанного произведения
1. Геометрический смысл смешанного произведения.
Смешанное произведение по абсолютной величине численно равно
объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.
Пусть векторы a, b и c не компланарны. Перенесем векторы так, чтобы
начала их находились в одной точке О. Построим на этих векторах как на
ребрах параллелепипед.
( а, в , с ) = S h = Vпар
28

29.

Замечание: Объем пирамиды, построенной на векторах a, b,c равен
шестой части объема параллелепипеда, т.е.
Vпир = (1/ 6 ) ( а , в , с ) .
2. Выражение смешанного произведения через координаты его
сомножителей в декартовой
системе
координат.
Пусть даны векторы a = x i + y j + z k b = x 2 i + y 2 j + z 2 k
c = x3 i + y3 j + z3 k
Найдем
1
1
1
*
*
*
а
,
в
,
с
=
x
x
+
y
y
+
z
z
( ) 1
1
1 .
i
j k
y2
в , с = x2 y2 z2 = y
3
x3 y3 z3
*
*
*
=x i +y j+z k
z2 x2
i−
z3
x3
z2
x2
j+
z3
x3
y2
k=
y3
29

30.

*
*
*
( а, в , с ) = x1x + y1 y + z1z .
y2
( а, в , с ) = x1
y3
z2
z3
+ y1
x2
z2
x3
z3
+ z1
x2
y2
x3
y3
x1
y1
z1
= x2
y2
z2
x3
y3
z3
3. При циклической перестановке векторов величина смешанного
произведения не изменяется. Если поменять местами 2 соседних вектора,
смешанное произведение изменит знак.
( а, в , с ) = ( в , с , а ) = ( с , а , в ) .
( а, в , с ) = − ( в , а, с ) = − ( а, с , в ) = − ( с , в , а ) .
Доказательство следует из свойств определителя.
30

31.

4. Векторы
a,b,cикомпланарны
тогда и только расщепленных
тогда, когда их
Энергия
сила взаимодействия
смешанное произведение
равно
нулю. примеси
дислокаций
с атомом
Следствие. Если в смешанном произведении участвуют два
одинаковых вектора, то смешанное произведение равно нулю.
Отсюда следует, что если определитель матрицы, составленной из
координат векторов равен нулю, то векторы компланарны
x1
y1
z1
x2
y2
z2 = 0
x3
y3
z3
.
5. Если смешанное произведение трех векторов положительно, то
векторы образуют правую тройку; если отрицательно - левую.
31

32.

Еще раз подчеркнем, если векторы перпендикулярны,
то их скалярное произведение равно нулю
( )
а ⊥ b а, b = 0 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
если a и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны
х1 у1 z1
a b а , в = 0. х = у = z
2
2
2
.
если a,b,c компланарны, то их смешанное произведение равно
нулю.
x1
( а, в , с ) = x2
y1
z1
y2
z2 = 0
x3
y3
z3
32

33.

Энергия Приложения
и сила взаимодействия
расщепленных
смешанного произведения
дислокаций с атомом примеси
1. Вычисление объемов параллелепипеда и пирамиды
1
Vпараллелепипеда = ( а , в , с ) , Vпирамиды = ( а , в , с ) .
6
2. Проверка линейной независимости системы 3-х векторов (или
проверка условия, что три вектора образуют базис в пространстве).
Если (a,b,c)≠ 0, то совокупность векторов является линейно
независимой, следовательно
образует базис в пространстве. В этом
.
случае векторы не компланарны. Если (a,b,c)= 0 , то векторы являются
линейно зависимыми и компланарными.
33

34.

Энергия и сила взаимодействия
расщепленных
Решение задач
дислокаций с атомом примеси
Задача. Определить, какой является тройка векторов (правой или левой)
1) a = j , b = i , c = k .
2) a = i + j , b = j , c = j + k .
Решение. Если смешанное произведение трех векторов
положительно, то векторы. образуют правую тройку;
если отрицательно - левую. В нашем случае
(
)
1) ( а , в , с ) = ( а , в , с ) = j , i , k =
2
= j , ( − j ) = − ( j , j ) = − j = −1
(
)
тройка левая.
Здесь было использовано векторное произведение ортов декартова
базиса.
34

35.

(
)
1 1 0
2) ( а , в , с ) = ( а , в , с ) = i + j , j , j + k = 0 1 0 = 1
тройка правая.
0 1 1
Задача. Показать, что векторы компланарны
a = i + j + 4k , b = i − 2 j , с = 3i − 3 j + 4k
Решение. Условием компланарности векторов является равенство
нулю их смешанного произведения.
1
1
4
( а, в , с ) = 1 −2 0 = 0
3 −3 4
35

36.

Показать, что точки А (3, 1, 0), В (6, 1, -1), С (-1, 5, 4) и
D (1, 0, 0) лежат в одной плоскости.
Решение. Одну из данных точек примем за общее начало, например,
точку А.
Найдем координаты векторов AB = 3, 0, −1 , AС = −4, 4, 4 , AD = −2, −1, 0
(
3
AB, AC , AD = −4
)
0
−1
0
0
−1
4
4 = 8
4
4 =0
−2 −1
0
−2 −1
0
Смешанное произведение трех векторов равно нулю, значит, они
компланарны. Тогда точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.
36

37.

Задача. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах
a,b,c, если за основание взят параллелограмм, построенный на
векторах b и c .
a = 3i + 2 j − 5k , b = i − j + 4k , с = i − 3 j + k
Решение.
,
Vпар. = Sосн. H
а
Vпар. ( , в , с )
H=
=
Sосн.
b , c
i
j k
b , c = 1 −1 4 = 11i + 3 j − 2k .
1 −3 1
2
2
2
Sосн. = b , c = 11 + 3 + ( −2 ) = 134
37

38.

3 2 −5
( а, в , с ) = 1 −1 4 = 49
1 −3 1
,
Vпар. = 49
Vпар. ( а , в , с )
49
H=
= =
Sосн.
134
b , c
38

39.

Задача. Даны вершины тетраэдра А (2, 1, -1), В (3, 2, 0), С (4, 1, -2),
D (0, 5, 3). Найти длину его высоты, опущенной из вершины А.
Решение. Сделаем схематический чертеж.
Длину высоты пирамиды можно найти, пользуясь формулой
,
1
1
Vпир. = Sосн. H Sосн. = S BCD = BC , BD
2
3
1
1
Vпир. = Vпар. =
BA, BC , BD
6
6
(
)
1
1
BA, BC , BD = BC , BD H
6
6
BA, BC , BD
H=
39
BC , BD
(
(
)
)

40.

Найдем координаты векторов:
BC = 1, −1, −2 , BA = −1, −1, −1 , BD = −3,3,3 .
i
j k
BC , BD = 1 −1 −2 = 3i + 3 j .
−3 3 3
(
BC, BD = 18 = 3 2.
−1 −1 −1
1 1
−3 3
1 −1 −1
1
BA, BC , BD = 1 −1 −2 = 3 1 −1 −2 = −6
)
3
BA, BC , BD
6
2
H=
=
= 2
=
3 2
2
BC , BD
(
)
40