Лекция_14_Скаляр,_вектор,_смеш_произведения_векторов

1. Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов

2. Скалярное произведение векторов

Пусть постоянная сила F действует на прямолинейно
перемещающуюся точку М под углом φ к направлению движения
Как известно из физики, работа силы F по
перемещению точки М определяется по
формуле:
A F S cos
F
М
S
Таким образом, двум векторам: силе и перемещению оказался
сопоставлен скаляр – работа.
Этот скаляр А и называется скалярным произведением силы F на
перемещение S
Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними.

3. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов a и b обозначатся:
a, b a b ab
a b a b cos
Если векторы a и b не нулевые:
a b 0
cos
a
a b a bПр
cos
b aПр
bПрa b
ab
a a a a cos 0 a a
o
2
2
a b
Прb a
Скалярный квадрат
вектора
равен
квадрату его модуля:

4. Скалярное произведение векторов

Свойства скалярного произведения
1) a b b a
Коммутативность скалярного произведения очевидна.
2)
(a b ) c a c b c
Доказательство. Используем свойства проекций:
(a b ) c a b c cos (a b ) c
c Прс a b c Прс a Прc b
c a cos a c c b cos b c
a c b c

5. Скалярное произведение векторов

3)
(a b ) ( a ) b a ( b )
Доказательство. Используем определение
произведения и свойства проекций:
скалярного
( a ) b a b cos a b b Прb a
b Прb a b a cos a b (a b )

6. Скалярное произведение векторов

7. Скалярное произведение векторов

Для координатных ортов декартовой системы координат
справедливо:
i i j j k k 1
i j i k j k 0
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы
векторы:
a x1 i y1 j z1 k
b x2 i y 2 j z2 k
Найдем скалярное произведение:
a b x1 i y1 j z1 k x2 i y 2 j z2 k
z y 0
j k x z k0 i y z 0j k z z k1
x1x2 i12 y 1x2 i0 j z1x2 i 0 k x1y 2 j0 i y1y 2 j12
2
1
2
1 2
1 2
1 2
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z2

8. Скалярное произведение векторов

Из формулы скалярного произведения векторов следует формула
для нахождения угла между векторами:
a b
cos
a b
x1 x 2 y 1 y 2 z1 z2
x12 y 12 z12 x 22 y 22 z22
Найти косинус угола между векторами:
a b 1 6 2 4 3 2 8
a i 2 j 3k
b 6i 4 j 2k
a 12 22 3 2 14
b 62 42 2 56 2 14
8
2
cos
14 2 14 7
2

9. Векторное произведение векторов

левой
Тройка некомпланарных векторов a; b ; c называется правой
если наименьший поворот с конца третьего вектора c от первого
вектора a ко второму вектору b виден против
часовой стрелки
по
c
c
b
a
c a b a , b
a
b
Векторным произведением вектора a на вектор b называется
вектор c , определяемый следующим образом:
c a b sin( a b ) .
c a; c b
Вектор c направлен так, что тройка векторов
a; b ; c - правая.

10. Векторное произведение векторов

11. Векторное произведение векторов

Модуль вектороного произведения равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах
S c a b sin
c
b
a
a b 0
a II b

12. Векторное произведение векторов

Свойства векторного произведения
1)
b , a a , b
Это свойство называют антикоммутативностью.

13. Векторное произведение векторов

a b , c a , c b , c
3) a , b a , b a , b
2)
4) a a 0

14. Векторное произведение векторов

Для координатных ортов декартовой системы координат
справедливо: i i j j k k 0
k 900 j0 1
j i k k i - j sin
i j k sin 90 0 1
j k i sin 90 1
k j i
j k i
k i; k j i
i j; i k
; j i
i k j i ; j ;jk kправая
k i j
тройка
j ; k ; i правая тройка
k ; i ; j правая тройка
произведение двух разноименных
i j k
k
i
+
j
Векторное
ортов, следующих друг за другом в направлении
положительного
обхода
окружности,
равно
Пусть
в
декартовой
прямоугольной
системе
заданы
третьему
орту
со
знаком
плюс,координат
в
векторы:
противоположном же случае - знаком минус.
a x1 i y1 j z1 k
b x2 i y 2 j z2 k
Найдем векторное произведение:

15. Векторное произведение векторов

x x i 0 i y x
j ki z x k j i x y i
k j
y y j0 j z y k i j x z i jk
y z ji k z z 0k k
a b x1 i y1 j z1 k x2 i y 2 j z2 k
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
y1x2 k z1x2 j x1y 2 k z1y 2 i x1z2 j y1z2 i
y1
z1
x1
z1
x1
y1
y2
z2
x2
z2
x2
y2
y1z2 z1y 2 i x1z2 z1x2 j x1y 2 y1x2 k
i
j
k
a b x1 y 1 z1
x 2 y 2 z2

16. Векторное произведение векторов

Найти векторное произведение векторов:
a 2i 3 j k
i j k
b 3i j 4k
a b 2 3 1
3 1 4
3 1
2 1
2 3
i
j
k
1 4
3 4
3 1
12 1 i 8 3 j 2 9 k 11i 5 j 7k

17. Векторное произведение векторов

Найти площадь треугольника с вершинами:
A 2; 3; 1
B 5; 6; 3
C 7; 1; 10
В
Найдем координаты векторов:
AB 5 2; 6 3; 3 1 3; 3; 2
А
AC 7 2; 1 3; 10 1 5; 2; 9
1
S a b
2
i
j
k
a b 3 3 2 31i 17 j 21k
5 2 9
1
1
2
2
2
1691 20.6
S
31 ( 17) ( 21)
2
2
С

18. Векторное произведение векторов

19. Смешанное произведение векторов

Векторно-скалярным или смешанным произведением трех
векторов a; b ; c называется произведение, которое получается
скалярным умножением векторного произведения двух векторов
на третий вектор, т.е. произведение вида:
a b c
Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним
его геометрический смысл.
Построим
на d
векторах
Обозначим:
, ; b; c
a h высоту
ba
Обозначим
через
параллелепипед,
тогда
площадь основанием,
параллелепипеда,
тогда
h которого
c
cos
будем
считать
основания
будет
равна:
объем будет
равен:
параллелограмм со
V сторонами
d cVS cos
a
Sd; b h. dd ch
d c
h b
a
V (a b ) c

20. Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих векторах, в том случае,
если векторы a; b ; c образуют правую тройку векторов (как в
предыдущем примере).
В случае, если векторы образуют левую тройку, то смешанное
произведение равно объему параллелепипеда, взятому со знаком
«-»:
a b c V
Таким образом, объем параллелепипеда, построенного на трех
векторах, всегда равен абсолютной величине их смешанного
произведения:
V a b c

21. Смешанное произведение векторов

Законы смешанного произведения
1) Сочетательный закон следует из геометрического
смысла смешанного произведения:
V a b c
a b c a (b c )
V a (b c )
Учитывая сочетательный закон, смешанное произведение
обозначают: (a ; b ; c ) или a b c .
2) Закон круговой переместительности:
a b c b c a c a b a c b c b a b a c
c
b
a
При перестановке множителей не нарушающей их кругового
порядка, смешанное произведение не меняется, при
перестановке
же
множителей,
нарушающей
круговой
порядок, смешанное произведение меняет свой знак

22. Смешанное произведение векторов

3) Распределительный закон
a a b c a b c a b c
1
2
1
2
4) При перестановке любых двух сомножителей смешанное
произведение меняет знак.
Это свойство очевидно, так как меняется ориентация тройки
векторов.
abc 0
a ; b ; c компланарны
В частности, смешанное произведение равно нулю, если в нем
два множителя одинаковы: a a c 0

23. Смешанное произведение векторов

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат заданы
векторы: a x i y j z k
b x i y j z k
1
1
1
2
2
2
c x3 i y 3 j z3 k
i
j
k
b c x 2 y 2 z2
x 3 y 3 z3
a (b c )
y2
z2
y3
z3
y2
z2
y3
z3
x1
x2
z2
x3
z3
i
x2
z2
x3
z3
y1
x2
y2
x3
y3
x1 y 1 z1
a b c x 2 y 2 z2
x3 y 3 z3
j
x2
y2
x3
y3
z1
k

24. Смешанное произведение векторов

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:
A 2; 2; 2 B 4; 3; 3 C 4; 5; 4 D 5; 5; 6
Найдем координаты векторов:
AB 4 2; 3 2; 3 2 2; 1; 1
AC 4 2; 5 2; 4 2 2; 3; 2
AD 5 2; 5 2; 6 2 3; 3; 4
А
D
В
2 1 1
0
0 1
2 1
AB AC AD 2 3 2 2 1 2
7
5 1
3 3 4 5 1 4
1
V abc
6
Объем треугольной
7 пирамиды
равен
1/6 V части
объема
параллелепипеда, 6построенного
на векторах a; b ; c
С

25. Смешанное произведение векторов