Скалярное, векторное и смешанное произведение

1.

Лекция 9. Скалярное, векторное
и смешанное произведение
векторов
1. Направляющие косинусы.
2. Скалярное произведение.
3. Векторное произведение.
4. Смешанное произведение.

2.

п.1. Направляющие косинусы.
Рассмотрим вектор a ( x, y ).
y
|a|
x
Пусть
— угол между a и
осью Ox;
— угол между a и
осью Oy.

3.

Очевидно
или
x | a | cos , y | a | cos
x
y
cos , cos .
|a|
|a|
Числа cos , cos называются направляющими
косинусами вектора a.
Так как
то
т.е.
2 2
2
|a| x y ,
2 2
2
2
2
| a | | a | cos | a | cos ,
cos 2 cos 2 1.

4.

Замечание.
Если
то
a ( x, y, z ),
x
y
z
cos , cos , cos .
|a|
|a|
|a|
При этом
cos cos cos 1.
2
2
2

5.

Разложение вектора по ортам координатных
осей
Рассмотрим случай на плоскости.
Векторы
i (1,0),
j (0,1)
называются ортами координатных осей.
Пусть a ( x, y ) —
произвольный вектор.
y N
j
O i
Рассмотрим векторы
a
M
x
OM ( x,0), ON (0, y).

6.

Очевидно
Так как
то
OM xi , ON yj .
a OM ON ,
a xi yj
— формула разложения вектора по ортам
координатных осей.
Замечание.
Запись
a xi yj
равносильна записи
a ( x, y ).

7.

Замечание.
В пространстве ортами координатных осей
являются
векторы
i (1,0,0),
j (0,1,0), k (0,0,1).
Формула разложения вектора по ортам
координатных осей примет вид
a xi yj zk .
Пример. Найти направляющие косинусы
вектора
a i 2 j 2k .
Решение.
2
2
2
a (1, 2,2), | a | 1 ( 2) 2 3,
1
2
2
cos , cos , cos .
3
3
3

8.

п.2. Скалярное произведение.
Скалярным произведением
двух ненулевых
векторов a и b называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними
b
a
a b | a | | b | cos .
Угол между векторами
ab
cos .
| a || b |

9.

Свойства скалярного произведения
a b b a.
2)
( a )b (ab ), R.
Доказательство. Пусть 0.
Тогда углы между векторами a , b и a , b равны,
( a )b | a || b | cos | a || b | cos (a b ).
Пусть 0.
Тогда углы между векторами a , b и a , b
1)
являются смежными,
( a )b | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) (a b ).

10.

a (b c ) ab ac .
2 2
a | a | .
3)
4)
Доказательство.
2
2
a | a || a | cos 0 | a | .
Векторы называются ортогональными, если
угол между ними равен 900.
5) (критерий ортогональности).
Два вектора ортогональны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение
равно
нулю.
Доказательство. Пусть a b , т.е. 90 .
a b | a | | b | cos
90 0.
ab
Если a b 0, то cos 0, 90 .
| a || b |

11.

Выражение скалярного произведения через
координаты векторов
Замечание.
i i 1; i j 0; i k 0;
j j 1; j k 0; k k 1.
Пусть
a ( x1, y1, z1 ) x1i y1 j z1k ,
b ( x2 , y2 , z2 ) x2i y2 j z2 k .
Тогда

12.

ab ( x1i y1 j z1k )( x2i y2 j z2 k )
x1 x2i i x1 y2i j x1 z2i k
y1 x2 j i y1 y2 j j y1 z2 j k
z1 x2 k i z1 y2 k j z1 z2 k k x1 x2 y1 y2 z1 z2 ,
ab x1 x2 y1 y2 z1 z2 .
Пример. Найти угол между
векторами
a (1, 2,1), b (4,1, 1).
Решение. ab 1 4 ( 2) 1 1 ( 1) 1,
2
2
2
| a | 1 ( 2) 1 6 ,
ab
1
3
cos
.
| a || b |
6 3 2 18
| b | 42 12 ( 1) 2 3 2 ,

13.

п.3. Векторное произведение.
Три вектора в пространстве называются
компланарными, если они лежат в одной
плоскости или в параллельных плоскостях.

14.

Три некомпланарных вектора a , b и c , взятые
в указанном порядке, образуют правую тройку,
если с конца третьего вектора c кратчайший
поворот от первого вектора a ко второму b
совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой.
c
a
b
правая тройка
a
c
левая тройка
b

15.

Три некомпланарных вектора a , b и c , взятые
в указанном порядке, образуют правую тройку,
если с конца третьего вектора c кратчайший
поворот от первого вектора a ко второму b
совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой.
c
a
c
b
правая тройка
b
a
левая тройка

16.

Векторным
на
a
произведением вектора
вектор b называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям:
1) c a , c b ;
2) | c | | a | | b | sin( a , b );
3) a , b , c — правая тройка.
Обозначается:
a b , [a , b ].

17.

Свойства векторного произведения
1)
Доказательство.
a b (b a ).
a b || (b a );
| a b | | (b a ) | .
Так как
a , b , a b — правая тройка,
a , b , b a — левая тройка,
то
a b , (b a ) противоположно направлены.
Значит,
a b (b a ).

18.

2)
(a b ) ( a ) b a ( b ), R.
3)
a || b a b 0.
Доказательство самостоятельно.
4)
(a b ) c a c b c .

19.

Выражение векторного произведения через
координаты векторов
k
Замечание.
i
i i 0;
i j k;
i k j;
j
j i k ;
j j 0;
j k i;
k i j;
k j i ;
k k 0.

20.

Пусть
Тогда
a ( x1, y1, z1 ) x1i y1 j z1k ,
b ( x2 , y2 , z2 ) x2i y2 j z2 k .
a b ( x1i y1 j z1k ) ( x2i y2 j z2 k )
x1x2 (i i ) x1 y2 (i j ) x1z2 (i k )
y1x2 ( j i ) y1 y2 ( j j ) y1z2 ( j k )
z1x2 (k i ) z1 y2 (k j ) z1z2 (k k )

21.

0 x1 y2 k x1z2 j y1x2 k 0 y1z2i z1x2 j z1 y2i 0
( y1z2 z1 y2 )i ( x1z2 j z1x2 ) j ( x1 y2 k y1x2 )k
y1
y2
Поэтому
z1 x1
i
z2
x2
z1 x1
j
z2
x2
i
a b x1
x2
j
y1
y2
y1
k.
y2
k
z1 .
z2

22.

Геометрический смысл векторного
произведения
a
b
S | a | | b | sin
S | a b |
a
b
1
S | a | | b | sin
2
1
S | a b |
2

23.

п.4. Смешанное произведение.
Смешанным произведением векторов a ,b и c ,
взятых в указанном порядке называется
скалярное произведение векторного
произведения первых двух векторов a и b на
третий вектор c .
Обозначается:
Таким образом
ab c .
ab c (a b ) c .

24.

Свойства смешанного произведения
1)
(a b ) c (b c ) a (c a ) b .
2)
(a b ) c a (b c ).
3)
ab c ac b ;
ab c b a c ;
ab c c b a.
4)
a, b , c компланарн ы ab c 0.

25.

Выражение смешанного произведения через
координаты векторов
Пусть
Тогда
a ( x1, y1, z1 ) x1i y1 j z1k ,
b ( x2 , y2 , z2 ) x2i y2 j z2 k .
c ( x3 , y3 , z3 ) x3i y3 j z3k .

26.

ab c (a b ) c
y1
y2
z1 x1
i
z2
x2
z1 x1
j
z2
x2
y1 z1
x1
x3
y2 z 2
x2
Поэтому
y1
k ( x3i y3 j z3k )
y2
z1
x1
y3
z2
x2
y1
z3.
y2
x1
ab c x2
y1
y2
z1
z2 .
x3
y3
z3

27.

Приложения смешанного произведения
1) Если
то
a, b , c
если
то
ab c 0,
— правая тройка;
ab c 0,
a , b , c — левая тройка.

28.

2)
d
Пусть
тогда
c
b
a
d a b,
ab c (a b ) c d c | d | прd c.

29.

Но
| d | | a b | S ,
прd c H .
Значит,
ab c S H V
V | ab c | .
или
Объем треугольной пирамиды
1
1
V SH | ab c | .
3
6