логар ур-я - 19.10 — детям

1. «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Учиться можно только весело…Чтобы переваривать знания, надо
поглощать их с аппетитом
Французский писатель
Анатолий Франц
«Решение
логарифмических
уравнений и неравенств»

2.

1.Повторить:
*Определение логарифма
*Свойства логарифмов
*Решение логарифмических уравнений

3.

b>0
a>0
a≠1

4.

5.

6. 1 метод: решение уравнений, основанное на определении логарифма.

logax = b
x = ab
НАПРИМЕР:
log5(x – 2) = 1

7.

8.

► Методы решения логарифмических
уравнений
► 1. Метод потенцирования.
► 2. Метод разложения на множители.
► 3. Метод замены переменной.
► 4.Применение основного
логарифмического тождества
► 5. Применение свойств логарифма.
► 6. Метод логарифмирования.
► 7.Функционально-графический
метод.

9.

► Особенности решения
логарифмических уравнений
► Применять простейшие свойства логарифмов.
► Распределять слагаемые, содержащие неизвестные, при
применении простейших свойств логарифмов, таким
образом, чтобы не возникали логарифмы отношений.
► Применять цепочки логарифмов: цепочка раскрывается
на основании определения логарифма.
► Применение свойств логарифмической функции.

10. Важные замечания

► При применении свойств
логарифмов нельзя сокращать логарифмы с
переменной в знаменателе или делить обе части
уравнения на выражение, содержащее переменную
(если есть риск потери корней).
► Если в уравнении есть логарифмы с разными
основаниями, может понадобиться формула
перехода к другому основанию.
► Всегда проверяйте найденные корни на соответствие:
подлогарифмическое выражение строго больше 0.

11.

12. 2 метод: потенцирование

logaf(x) = logag(x)
f(x) = g(x)
f(x) > 0, g(x) >0, a > 0, a ≠ 1
НАПРИМЕР:
log5x = log5(6 – x2)

13. Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 1
(
)
log3 x 2 − 3x − 5 = log3 (7 − 2x )
x 2 − 3x − 5 = 7 − 2x
7 − 2x 0
x 2 − x − 12 = 0
x 3,5
x1 = −3
x 2 = 4
x 3,5
x = −3
Ответ: -3.
Пример 2
log 2 (x + 4) + log 2 (2x + 3) = log 2 (1 − 2x)
log 2 (x + 4)(2x + 3) = log 2 (1 − 2x)
(x + 4)(2x + 3) = (1 − 2x )
x + 4 0
2x + 3 0
1 − 2x 0
2x 2 + 13x + 11 = 0
x −4
x −1,5
x 0,5
x 1 = −1
x 2 = −5,5
− 1,5 x 0,5
Ответ : − 1.

14. 2 метод Метод разложения на множители Алгоритм решения Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части остался

ноль.
Разложить левую часть на множители. Для этого можно
использовать разные приёмы: вынесение общего множителя за
скобку, группировка слагаемых.
Применить правило нулевого произведения: приравнять
каждый множитель к нулю и решить получившиеся уравнения.
!!!! Проверить найденные корни на соответствие условия:
подлогарифмическое выражение больше 0. Логарифм определён
только для положительных аргументов, поэтому все выражения
под знаком логарифма должны быть положительны, а основание
— положительно и не равно единице.

15. 2 метод

16.

17. 3 метод: приведение логарифмического уравнения к квадратному

Aloga2f(x) + Blogaf(x) + C = 0
A ≠ 0, f(x) > 0, a > 0, a ≠ 0
способ решения: подстановка
y = logaf(x)
тогда уравнение примет вид:
Ау2 + Ву + С = 0.
НАПРИМЕР:
log32x – log3x = 2

18. Алгоритм решения

19.

20.

21. 5 метод – применение свойств логарифма

22.

23.

24.

25. 5 метод: приведения логарифмов к одному основанию

Используют формулы:
logab =
log c b
log c a
logab =
logapb =
1
logab
p
1
log b a
НАПРИМЕР: log16x + log4x + log2x = 7

26. 6 метод: логарифмирование обеих частей уравнения.

НАПРИМЕР:
log
x
x
= 81
3

27.

28.

29. 7 метод: функционально – графический метод

◼ Алгоритм решения
1. Записать уравнение в виде f(x) = g(x).
2. В одной системе координат построить графики
двух функций: y = f(x) (левая часть уравнения)
и y = g(x) (правая часть).
3. Найти точку (или точки) их
пересечения. Абсцисса этой точки и есть
решение уравнения. Если графики не
пересекаются, уравнение не имеет решений.

30.

31.

◼ Этот метод особенно полезен, когда
аналитическое решение затруднительно, а
графический подход помогает наглядно понять
суть задачи. Однако стоит помнить о его
ограничениях: точность результата сильно
зависит от аккуратности построения графиков, а
в некоторых случаях аналитическое решение
может быть слишком громоздким.

32.

33.

34. РЕШИТЕ УРАВНЕНИЯ

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
lg(x + 3) = 2lg2 + lgx
lg(lgx) = 0
log7x + logx7 = 2,5
xlgx + 2 = 100x
logx2 5 - logx5 5 + 1,25 = 0
Log42x – log4x – 2 = 0
Log3(2x + 1) = 2
Logx-6(x2 – 5) = logx-6(2x + 19)
xlog2 x = 16
Log2(3x – 6) = log2(2x – 3)
Logx+1(2x2+1) = 2
X1+log3 x = 9

35. СПАСИБО ЗА УРОК