Решение логарифмических уравнений

1. Решение логарифмических уравнений.

РЕШЕНИЕ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ.

2. Устно:

УСТНО:
Что значит решить уравнение ?
Что такое корень уравнения ?
Что называется логарифмом числа?
Какие уравнения называются
логарифмическими ?
Какие методы решения логарифмических
уравнений мы уже рассматривали ?
1.Метод решения с помощью определения.
2.Метод потенциирования.
3.Метод замены переменной.

3. Цель урока:

ЦЕЛЬ УРОКА:
Систематизировать
методы
решения логарифмических
уравнений различных видов.

4. Рассмотрим более подробно каждый из методов.

РАССМОТРИМ БОЛЕЕ ПОДРОБНО
КАЖДЫЙ ИЗ МЕТОДОВ.
Решим устно несколько уравнений, используя
определение логарифма.

5. Определение логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ЛОГАРИФМА
Логарифм числа b по основанию a (logab)
определяется как показатель степени, в
которую надо возвести число a, чтобы получить
число b (Логарифм существует только у
положительных чисел).
Обозначение: logab.
logab = x, ax = b.
Десятичный логарифм - lg b (Логарифм по
основанию 10, а = 10).
Натуральный логарифм - ln b (Логарифм по
основанию e, а = e).

6. Пример 1

ПРИМЕР 1
Решить уравнения:
a) log2 x = 3,
b) log3 x = -1,
Решение. Используя утверждение 1,
получим
a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3;
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение
Logax=b
при любом действительном b имеет
единственное решение x = ab.

7. Решите устно:

РЕШИТЕ УСТНО:
Log9x=1/2
Log8x=1/3
logx4=2
3log38
23+log29
71+log74
lg x=1
lgx=-2
logx27=3
4log423

8. Формулы и свойства логарифмов

ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1° Основное логарифмическое тождество alogab = b;
2°
loga1 = 0;
3°
logaa = 1;
4°
loga(bc) = logab + logac;
5°
loga(b/c) = logab - logac;
6°
loga(1/c) = loga1 - logac = - logac;
7°
loga(bc) = c logab;
8°
log(ac)b = (1/c) logab;
9°
Формула перехода к новому основанию logab = (logcb)/(logca);
10°
logab = 1/logba;

9. ..

Уравнения
вида loga x = b, a > 0,
a ≠ 1 (решение с помощью
определения).
Пример. Решить уравнение
log2 x = 3.
Решение. Область определения уравнения x >
0. По определению логарифма x = 23, x = 8
принадлежит области определения уравнения.
Ответ: x = 8.

10. Уравнения вида                                      loga f(x) = loga g(x) ,  а > 0

УРАВНЕНИЯ ВИДА
LOGA F(X)
= LOGA G(X) , А > 0
Переход от уравнения loga f(x) = loga g(x) к
уравнению
f(x) = g(x) называется потенциированием.
Нужно отметить, что при таком переходе
может нарушиться равносильность уравнения.
Поэтому из найденных корней уравнения f(x) =
g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат
области определения данного уравнения.
Остальные корни будут посторонними.

11. Пример. (решение с помощью потенциирования)

ПРИМЕР.
(РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ)
Решить уравнение
log2(3x – 6) = log2(2x-3).

12. Пример. (решение с помощью потенциирования).

ПРИМЕР.
(РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ).
Решить уравнение
log2(3x – 6) = log2(2x-3).
Решение. Область определения уравнения
найдётся из системы неравенств (3x – 6) >0
(2x-3)>0
Потенцируя данное уравнение, получаем
3х –6= 2х-3,
3х– 2х =6-3
X=3 подставим в уравнение
log2(3*3 – 6) = log2(2*3-3).- верно
Ответ. х = 3.

13. Cведение уравнений к виду log a f(x) = log a g(x) с помощью свойств логарифмов по одному основанию.

CВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К ВИДУ LOG A F(X) = LOG A G(X)
С ПОМОЩЬЮ СВОЙСТВ ЛОГАРИФМОВ ПО ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Если уравнение содержит логарифмы по
одному основанию, то для приведения их к
виду log a f(x) = log a g(x) используются
следующие свойства логарифмов:
logb a + logb c = logb (ac), где a > 0; c > 0; b > 0
logb a – logb c = logb (a/c), где a > 0; c > 0; b > 0
m logb a = logb a m, где a > 0; b > 0

14. Решите уравнение, используя метод потенциирования.

РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ, ИСПОЛЬЗУЯ МЕТОД
ПОТЕНЦИИРОВАНИЯ.
Log2(x+4)+log2(2x+3)=log2(1-2X)

15. logb a + logb c = logb (ac),

LOGB A
+ LOGB C = LOGB (AC),
Log2(x+4)+log2(2x+3)=log2(1-2X)
ПОТЕНЦИИРУЯ, ПОЛУЧАЕМ:
(x+4)(2X+3)=(1-2X)
2X2+8X+3X+12=1-2X
2X2+13X+11=0
D=169-88=81
X1=-1; X2=-5,5
проверим найденные корни по условиям x+4> 0 1-2x>0
2x+3>0
значение X=-1 УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЭТОЙ СИСТЕМЕ
значение X=-5,5 НЕ УДОВЛЕТВОРЯЕТ ЭТОЙ
СИСТЕМЕ
Ответ:x=-1

16. Введение новой переменной

ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0

17. Введение новой переменной

ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Пример 1. Решить уравнение lg 2 x – lg x – 6 = 0.
Решение. Область определения уравнения (0;+∞)
Введём новую переменную t = lg x,
Уравнение примет вид:
t 2 –t -6=0
lg x = –2 или lg x = 3,
х = 10 –2 или х = 10 3. Оба значения x удовлетворяют
области определения данного уравнения (х > 0).
Ответ. х = 0,01; х = 1000.

18. Решите самостоятельно.

РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО.
1.Log5(3x+1)=2
2. Решите и выберите правильный ответ:
log2 5x+log5x-2=0

19. решить

РЕШИТЬ
32log37--------- Log268-log217