16第一章习题课

1.

习题课 无穷小量与连续函数

2.

无穷小量及连续函数内容回顾
1 无穷小量
1 无穷小量的概念
若 lim f ( x ) = 0, 则称 f ( x ) 为 x → x 0 时的无穷小量。
x → x0
2) 无穷小的比较
设 ( x ) → 0, ( x ) → 0 且 ( x ) 0
( x)
= 0 记为 ( x ) = ( ( x ));
1 高阶 若 lim
( x)
( x)
= C 0;
2 同阶 若 lim
( x)
( x)
3 等价 若 lim
= 1 记为 ( x ) ~ ( x );
( x)
( x)
= C 0 称 ( x ) 是
4 无穷小的阶: 若 lim
k
[ ( x )]
( x ) 的 k 阶无穷小.

3.

3) 无穷小的主要性质:
1 无穷小量与有界量的积仍是无穷小.
即:若 | f ( x ) | M , g( x ) → 0, 则 f ( x ) g( x ) → 0
2 若 ( x ) = o[ k ( x )], 则 ( x ) = o[ m ( x )], (1 m k ).
3 ( x ) ( x ) = + o( )
(
x
)
(
x
)
(
x
)
(
x
)
lim
4 若
存在,
lim = lim
.
则

4.

2 求极限常用方法
1) 利用有理运算法则求极限
注意:参加运算的函数只能是有限个,而且每个函
数的极限必须存在.
2) 利用基本极限求极限
0
sin x
sin f ( x)
lim
= 1 lim
= 1 (lim f ( x) = 0) “ ”
x →0
0
x
f ( x)
1
1 x
x
lim(1 + x ) = e;
lim(1 + ) = e;
“
1
”
x →0
x →
x
1 f ( x)
lim(1 +
)
= e (lim f ( x) = )
f ( x)
ax −1
lim
= ln a;
x →0
x

5.

3) 利用等价无穷小代换求极限
( x ) ( x ) ( x ) ( x ) lim = lim .
0
“ ”
0
注意:该法求极限只能对所含的无穷小因子进行
等价代换,绝不能对所含相加减的无穷小项进行.
当 x → 0 时,
x ~ sin x ~ tanx ~ arcsin x ~ arctanx ~ ln(1 + x ) ~ e x − 1;
1 2
a x − 1 ~ x ln a ,
1 − cos x ~ x , (1 + x ) − 1 ~ x,
2
4) 利用无穷小量的性质求极限
(1) | f ( x ) | M , g( x ) → 0 f ( x ) g( x ) → 0
(2) ( x ) = o[ k ( x )] ( x ) = o[ m ( x )], (1 m k ).

6.

5) 利用两个充要条件
lim f ( x ) = a lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = a.
x → x0
x → x0
x → x0
lim f ( x ) = a lim f ( x ) = lim f ( x ) = a .
x →
x → +
x → −
注意: (1)该法常用于求分段函数在分界点的极限;
(2)待求函数中含有绝对值,指数函数,正切与
反正切,余切与反余切等.
1
x
1
x
lim− e = 0, lim+ e = + ;
x →0
x →0
lim tan x = + , lim tan x = − ;
x→ −0
2
x→ +0
2

7.

f ( x ) = f ( x0 ).
6) 利用函数的连续性 xlim
→x
0
7) 求复合函数的极限
设 y = f ( g( x )) 是由 y = f (u) 与 u = g( x ) 复合而成
0
(1)若 lim g( x ) = u0 , lim f ( x ) = a, 且 x U ( x 0 ) 时,有
x → x0
g( x ) u0 ,
u→ u0
f ( g ( x)) = lim f (u) = a
则 xlim
→x
u →u
0
0

8.

8)幂指函数的极限可利用对数转化
lim f ( x)
x → x0
g ( x)
= lim e
x → x0
g ( x ) ln f ( x )
=e
lim g ( x ) ln f ( x )
x → x0
3 连续的定义: 若 lim f ( x ) = f ( x 0 ),称 f ( x ) 在 x0 处连续。
x → x0
4 间断点及其分类
1 第一类间断点: 左,右极限均存在的间断点
可去间断点: 左极限= 右极限
跳跃间断点: 左极限 右极限
2 第二类间断点: 左,右极限中至少有一个不存在
无穷间断点、
振荡间断点

9.

5 连续函数性质
1 连续函数的和、差、积、商 分母不为零 及复
合仍为连续函数
2) 基本初等函数在其定义域内是连续
初等函数在其定义区间内是连续
3 有界性 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续,则 f ( x ) 在 [a , b]上有界。
4 最值性: 若 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 则 f ( x )在 [a , b] 上必有
最大值和最小值。
5 介值性: 若 f ( x ) 在 [a , b] 上连续,且 f (a ) f (b), 则对
f (a ) 与 f (b ) 之间任一数C, 至少存在一个
(a , b), 使得 f ( ) = C .
6 零点定理: 若 f ( x ) 在 [a , b]上连续,且 f (a ) f (b) 0 ,则必
(a , b) 使 f ( ) = 0.

10.

典型例题
1 两个重要极限
− 2 x)
例1 求极限 lim(3
x →1
3
x −1
+ (2 − 2 x)]
解 原式 =xlim[1
→1
= lim{[1 + (2 − 2 x)]
=e
x →0
1
2− 2 x
x →1
−6
lim(1 + x) = e
3
x −1
= lim{[1 + (2 − 2 x)]
x →1
1
x
3(2 − 2 x )
x −1
}
1
2− 2 x
}
3( 2−2 x )
lim
x→1 x−1

11.

例 2 计算
解
2 x + 3 x +1
)
x → 2 x + 1
lim (
2 x + 3 x +1
2 x +1
) = lim(1 +
)
x → 2 x + 1
x →
2x + 1
lim(
= lim(1 +
x →
例3 求极限
sin x
lim ln
x →0
x
1
1
x+
2
)
1 1
( x + )+
2 2
解 lim ln sin x = ln[ lim sin x ] = ln 1 = 0
x →0
x →0
x
x
=e

12.

2 有关无穷小
tan x − sin x = 1, 求a.
lim
例4 已知 x →0 a sin 3 x
1 −1
解
lim tan x − 3sin x = 1 lim cos x2
x →0
a x →0 sin x
a sin x
1 x2
= 1 lim 1 − cos x2 = 1 lim 2 2 = 1 = 1,
a x →0 cos x sin x a x →0 x
2a
a = 1 .
2

13.

例5. 求下列极限
(1) lim (sin x + 1 − sin x )
x →+
2
1− x
(2) lim sin
x
sin − sin = 2 cos
+
x →1
2
sin
−
提示: (1) sin x + 1 − sin x
x +1 − x
x +1 + x
= 2 sin
cos
2
2
1
x +1 + x
= 2 sin
cos
2( x + 1 + x )
2
无穷小
有界
2

14.

例
1− x2
lim
x →1 sin x
令

15.

(3 1 − x 3 − ax) = 0
例6. 试确定常数a使 lim
x →
解:
1
令t=
则
x

16.

例7. 试确定常数 a 和b使
解:
x2
lim (
− ax − b) = 0
x → x + 1
x2
x 2 − (ax + b)( x + 1)
lim (
− ax − b) = lim
x → x + 1
x →
x +1
x 2 − ax 2 − (a + b) x − b)
= lim
x →
x +1
a = 1, b = −1

17.

例8. 当 x → 0 时, 3 x 2 + x 是
解: 设其为
3
lim
的 阶无穷小, 则 lim
x →0
2
x + x
x →0
= lim
x →0
1
k=
6
k
= lim 3
x →0
1 − 3k
2
3
2
x
3
的几阶无穷小?
x
(1 + x )
2
x + x
x3k
3
x2 + x
x
k
=C 0

18.

例9 已知 lim
x →0
解
lim
1 + f ( x) sin 2 x − 1
e −1
1 + f ( x) sin 2 x − 1
3x
e −1
3x
x →0
求
=2
=2
lim f ( x )
x→ 0
lim(e 3 x − 1) = 0
x →0
lim( 1 + f ( x ) sin 2 x − 1)
x →0
1 + f ( x ) sin 2 x − 1 3 x
= lim
(e − 1)
3x
x →0
e −1
= 2 0 = 0
lim 1 + f ( x ) sin 2 x = 1
x →0
lim f ( x ) sin 2 x = 0
x →0

19.

从而由等价无穷小的代换性质得
(1 + x ) − 1 ~ x
1 + f ( x ) sin 2 x − 1
2 = lim
x →0
e3 x − 1
1
f ( x ) sin 2 x
1
sin 2 x
= lim f ( x )
= lim 2
3 x →0
2x
x →0
3x
sin 2 x
由lim
=1
x →0 2 x
lim f ( x )存在 且 lim f ( x ) = 6
x →0
x →0

20.

x 3 − ax 2 − x + 4
例10 设 xlim
具有极限l,求a和l的值.
→ −1
x +1
x 3 − ax 2 − x + 4
lim ( x + 1) = 0 lim
解
x →−1
x →−1
x +1
lim( x 3 − ax 2 − x + 4) = 0
x →−1
存在
a=4
将 a = 4 代回原极限式有
x 3 − ax 2 − x + 4
x3 − 4 x2 − x + 4
= lim
lim
x →−1
x →−1
x +1
x +1
( x − 4)( x − 1)( x + 1) = lim ( x − 4)( x − 1) = 10
x →−1
x →−1
x +1
= lim
l = 10

21.

例11. 求极限 lim (
x →0
1+ x
1− x
)
cot x
1
解 lim ( 1 + x )cot x = lim ( 1 + 2 x )cot x
x →0
x →0 1 − x
1− x
=e
lim(cot x ln(1+ 12−xx ))
x →0
2x
lim sin
x
= e x →0
=e
2
x 2x )
lim ( cos
sin x 1− x
= e x →0
2x
2x
ln( 1 +
)~
1− x 1− x

22.

3 有关间断点
例12 求 f ( x ) =
tan x + x
在 ( − 1, ) 内的间断点及类型.
ln( 1 + x )
解 由函数的表达式可知,间断点只能在无定义处.
sin x
间断点为
x = 0, x =
( tan x =
)
2
tan x + x
tan x + x
lim
= lim
=2
x → 0 ln( 1 + x )
x →0
x
x=0是第一类间断点.
tan x + x
lim
=
ln(1 + x )
x→
2
该点是第二类间断点.
cos x
ln( 1 + x ) ~ x

23.

例13
确定函数 f ( x) =
解: 间断点x=0,1
lim f ( x) =
x →0
0为无穷间断点;
lim f ( x ) = 1
x →1+
lim f ( x) = −
x →1−
故 1为无穷间断点.
1
1− e
x
1− x
间断点的类型.

24.

例14 设
x1−1
f ( x ) = e , x 0
,
ln( 1 + x ) , − 1 x 0
求 f ( x) 的
间断点,并说明间断点所属类型.
解: f ( x ) 间断点只能在无定义的点或分界
点处. x = 1 为间断点; x = 0 为可能间断点.
lim+ f ( x ) = lim+ e
x →1
1
x −1
x →1
= +
所以 x = 1 是第二类无穷间断点.
lim f ( x ) = lim e
x →0+
x →0+
1
x −1
= e −1 , lim f ( x ) = lim ln( 1 + x ) = 0
x →0−
所以 x = 0 是第一类跳跃间断点.
x →0−

25.

例15 设
1
x
sin
, x 0
f ( x) =
, 要使 f ( x )在 ( − ,+ )内连续
x
a + x 2 , x 0
试确定a的值
分析 f (x) 在 x 0 和 x 0 内均连续,因此只需讨论在
x = 0 处的连续性.
1
f ( x ) = lim x sin = 0
解:因为 xlim
→0+
x →0+
x
lim f ( x ) = lim (a + x 2 ) = a
x →0 −
x →0 −
已知 f ( x ) 在 ( − ,+ )内连续 所以要在 x = 0 处连续
则有
lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (0)
x →0+
所以 a = 0
x →0−

26.

例16 求 y = e
x+
1
x
的连续区间 若有间断点
指出间断点的类型.
分析 初等函数在其定义区间上都是连续区间
所以只要弄清了间断点 也就清楚了连续区间 .
x = 0 为其间断点.
解 函数为初等函数
所以连续区间为 (− ,0) 和 (0,+ )
因为
1
1
x+
lim+ e
x
x →0
lim− e
x →0
x+
= lim+ e x lim+ e x = +
x →0
1
x
x →0
1
x
= lim− e x lim− e = 0
x →0
x →0
所以 x = 0为第二类无穷间断点.

27.

1 − x 2n
x
例17 求函数 f ( x ) = lim
2
n
n→ 1 + x
的所有间断点并指出类型.
分析 所给函数是极限的形式,首先应求出不同区间的极限,
给出函数的分段函数表达式,然后再研究间断点及其类型.
解:当
| x |时
1
1
当 | x | 时
=1
当 | x |时
所以
x, x 1
f ( x ) = − x , x 1
0, x = 1
1 − x 2n
f ( x ) = lim
x=x
n→ 1 + x 2 n
1
−1
2n
1 − x 2n
x
f ( x ) = lim
x
=
lim
x = −x
n→ 1 + x 2 n
n→ 1
+1
2n
x
1 − x 2n
f ( x ) = lim
x=0
n→ 1 + x 2 n

28.

4 闭区间上连续函数的性质
证明: 令
则 f (x
在)
f ( x ) = x 7 + 4 x 4 − x − 3,
[0上连续,
,1]
又
f (0) = −3 0, f (1) = 1 0
0,1)
由零点定理 至少 (,使得
即
7 + 4 4 − = 3.
x7 + 4x4 − x = 3
f ( ) = 0

29.

证明:令
F ( x) = f ( x + a) − f ( x)
F (0) = f (a ) − f (0), F (a ) = f (0) − f (a );
而当 f (a ) − f (0) 0 时,
F (0) F (a ) = −[ f (a ) − f (0)]2 0;
由零点定理 至少 (0, a ), 使得 F ( ) = 0
即 f ( ) = f ( + a ) .

30.

练习 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续, 且 f (0) = f (1), 证明在
1
[0,1]内至少存在一点 , 使 f ( ) = f ( + )
4
.
1
证明: 令 F ( x ) = f ( x ) − f ( x + )
4
3
3
x [0, ]
[0, ]
)
显然 F ( x 在
上连续,若对任何
4
4
3
[
0
,
都有 F ( x ) 那么在
上必有 ]
F ( x ) 0或F ( x ) 0
0
4
从而
1
1
1
1
f (0) − f ( ) = F (0) 0, f ( ) − f ( ) = F ( ) 0
4
4
2
4
1
3
1
3
3
f ( ) − f ( ) = F ( ) 0, f ( ) − f (1) = F ( ) 0
2
4
2
4
4
f矛盾 故存在
(0) = f (1)
f (0) , 这与
f (1)
3
1
[0, ]使F ( ) = 0 即 f ( ) = f ( + )
4
4

31.

解 lim [ ax 2 + bx + c − x − ] = 0
x → +
lim
x → +
ax 2 + bx + c − x −
=0
x
ax 2 + bx + c x +
lim
−
x → +
x
x
b c
= lim a + + 2 − − = 0
x → +
x x
x

32.

= a
ax + bx + c − x
= lim ax + bx + c − a x
= lim
2
x → +
2
x → +
= lim
bx + c
ax 2 + bx + c + a x
= lim
c
b
x
=
b c
2 a
a+ + 2 + a
x x
x → +
x → +
b+