10_math_1.1_Прямая в пространстве

1. Прямая в пространстве

1. Уравнения прямой в пространстве
Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения
любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют
одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями
системы
A 1x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0 ,
(1)
A x + B y + C z + D = 0.
2
2
2
2
Систему (1) называют общими
пространстве.
L2
уравнениями
l
L1
прямой
в

2.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве –
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве,
проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору s = {m; n; p}
Помнить!
направляющий вектор
пропустить 15 клеточек
Уравнение
r = r0 + t s
(2*)
x = x0 + t m ,
и систему уравнений y = y0 + t n ,
(2)
z = z0 + t p .
называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме).
пропустить 10 клеточек

3.

Уравнения
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
m
n
p
(3)
называют каноническими уравнениями прямой
Частный случай канонических уравнений
Пусть прямая проходит через точки
M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .
M1M 2 = s = {x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}.
M1
M2
x − x1
y − y1
z − z1
Уравнения
(4)
=
=
x 2 − x 1 y 2 − y1 z2 − z1
называют уравнениями прямой, проходящей через две точки

4.

Уравнения прямой в пространстве
Название
Уравнение
Параметры
общее уравнение
прямой
A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0, N1={A1;B1;С1}, N2={A2;B2;С2}
– векторы нормали двух
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0.
2
2
2
2
пересекающихся плоскостей
уравнение прямой в
параметрической
форме
x = x0 + t m ,
y = y0 + t n ,
z = z0 + t p .
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
m
n
p
уравнение прямой в
канонической форме
уравнение прямой по
двум точкам
Примеры
s={m;n;p} – направляющий
вектор, M0={x0;y0;z0} – точка
на прямой
s={m;n;p} – направляющий
вектор, M0={x0;y0;z0} – точка
на прямой
x − x1
y − y1
z − z1 M ={x ;y ;z }, M ={x ;y ;z }
=
=
1
1 1 1
2
2 2 2
x 2 − x 1 y 2 − y1 z2 − z1 – точки, через которые
проходит прямая
пропустить 15 клеточек

5. 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями:
A 1x + B 1 y + C 1z + D 1 = 0 ,
(1)
A x + B y + C z + D = 0.
2
2
2
2
Ннеобходимо найти ее направляющий вектор и координаты
какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор s = [N1 , N 2 ],
где N̄1 = {A1; B1; C1} и N̄2 = {A2; B2; C2} – нормальные
векторы к плоскостям L1 и L2 , уравнения которых входят в
общие уравнения прямой.
пропустить 20 клеточек

6. 3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:
x − x 1 y − y1 z − z1
x − x 2 y − y 2 z − z2
1 :
=
=
, 2 :
.
=
=
m1
n1
p1
m2
n2
p2
1) ℓ1 и ℓ2 параллельны.
s2
l2
Прямые параллельны
когда
их направляющие
векторы
s1 = {m1; n1; p1} и s2 = {m2 ; n2 ; p2 }
коллинеарны, т.е. выполняется условие:
m1
m2
=
n1
n2
=
p1
p2
.
l1
s1

7.

2) ℓ1 и ℓ2 пересекаются.
пропустить 0,5 страницы
3) ℓ1 и ℓ2 скрещиваются, если для них не выполняется
условие пересечения прямых.

8. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

→
расстояние между прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые → а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые → а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
1) параллельные прямые

9.

Пусть даны 2 прямые:
x − x1 y − y1 z − z1
1 :
=
=
m1
n1
p1
2 :
x − x2 y − y2 z − z2
=
=
m2
n2
p2
s i = {m i ; n i ; p i }
Mi(xi;yi;zi) ℓi
ЗАДАЧА 2. Найти угол между скрещивающимися прямыми.
ОПР. Углом между двумя
скрещивающимися прямыми
ℓ1 и ℓ2 называется угол между
прямой ℓ1 и проекцией прямой
ℓ2 на плоскость, проходящую
через прямую ℓ1 параллельно ℓ2 .
Место для картинки
Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между
двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
cos 1,2 =
( s1 , s2 )
1
2
знак плюс - для острого угла, а знак минус – для тупого.
пропустить 10 кл

10.

Пусть 1 :
x − x1 y − y1 z − z1
- прямая и точка M1(x1;y1;z1) ℓ
=
=
m1
n1
p1
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки М1 до прямой ℓ .
пропустить 20 клеточек
Пусть заданы две прямые 1 :
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
m1
n1
p1
2 :
x − x2 y − y2 z − z2
=
=
m2
n2
p2
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ1 и ℓ2 .
ОПР. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми
называется длина их общего перпендикуляра.
пропустить 30 клеточек

11.

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых.
Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых.
Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений
x − x1 y − y1 z − z1
m = n = p ,
1
1
1
x − x
y − y2 z − z 2
2
=
=
,
m2
n2
p2
пропустить 10 клеточек
или
x = x1 + t m1 ,
y = y1 + t n1 ,
z = z1 + t p1 ,
x = x + m ,
2
2
y = y2 + n2 ,
z = z2 + p2 .

12. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут
1) параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
,
m
n
p
Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
s = {m; n; p} – направляющий вектор прямой ℓ .
Пусть L: Ax + By + Cz + D = 0 и :
пропустить 25 клеточек
быть

13.

ОПР. Углом между прямой ℓ и плоскостью L называется
угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость L .
Из определения: угол между прямой и плоскостью всегда
острый.
ℓ1
N ψ
s
L
M0
N, s
sin = cos =
.
N s
(
)